Лекции по механике
|
шему пути вращается к направлению второго вектора f, а движение оси
буравчика
| z Mz |при этом вращении показывает направление вектора М. |
|f | |
|f |Моментом силы относительно произвольной оси z |
| |называется векторное произведение радиуса-вектора r |
|O f |и составляющей f силы f , приложенной в точке А: |
|r ( |М = [ r f ] , ( 4-3 )|
| | |
|А |где составляющая f представляет собой проекцию си-|
| | |
|Рис.12. Момент силы от- |лы f на плоскость, перпендикулярную оси z и |
|носительно оси. |проходящую через точку А , а r - радиус- вектор |
| |точки А, ле- |
| |жащий в этой плоскости . |
( 4-3. Основное уравнение динамики вращательного
движения.
| О1| Пусть имеется твердое тело произвольной формы (см. |
| |рис 13), которое может вращаться вокруг оси О1О2 . |
| |Разбивая тело на малые элементы, можно заметить, что все |
| |они вращаются вокруг оси О1О2 в плоскостях, |
|ri |перпендикулярных оси вращения с одинаковой угловой |
|mi |скоростью (. Движение каждого из отдельных элементов |
| |малой массы m описывается вторым законом Ньютона. Для i |
| |-го элемента имеем: |
| |mi ai = [pic] fi1+ fi2 + ..... +fiN + Fi , |
| |( 4-4 ) |
|О2 | |
|Рис.13 Вращение | |
|твердого тела. | |
где fik ( k = 1,2, ...N) представляют собой внутренние силы взаимодействия
всех элементов с выбранным, а Fi - равнодействующая всех внешних сил,
действующих на i - элемент. Скорость vi каждого элемента вообще говоря
может меняться как угодно, но поскольку тело является твердым, то смещения
точек в направлении радиусов вращения можно не рассматривать. Поэтому
спроектируем уравнение ( 4-4 ) на направление касательной и умножим обе
части уравнения на ri :
ri( mi ai )t= ri([pic]ri(fi1)t + ri(fi2)t + .....
+ri(fiN)t + ri(Fi)t . ( 4-4a )
В правой части получившегося уравнения произведения типа ri(fi1)t
представляют собой (согласно ( 4-3)) моменты внутренних сил относительно
оси вращения, т.к. ri и (f i)t взаимно перпендикулярны. Аналогично
произведения ri(Fi)t являются моментами внешних сил, действующих на i-
элемент. Просуммируем уравнения дви-
| |жения по всем элементам, на которые было разбито тело. |
|1 O1 | |
|(f12) |Сумму моментов внутренних сил можно разбить по парам |
| |слагаемых, обязанных своим возникновением |
|f12 r1 |взаимодействию двух элементов тела между собой. На |
| |рис.14 пред- |
| |ставлена пара, состоящая из 1-го и 2-го элементов. |
|( |Проводя плоскость через линию, соединяющую эти |
| |элементы, параллельно оси вращения О1О2, нетрудно |
|l12 |заметить, что моменты сил взаимодействия этих элементов|
| |равны по величине и противоположно направлены, т.е. они|
| |компенсируют друг друга. Действительно, силы f12 и f21 |
| |равны между собой; равны и их составляющие (f12) = |
|f21 |(f21) . Кроме того равны и их плечи [8]( l12= l21 ), |
| |т. к. каждое из них |
|l21 |перпендикулярно проведенной плоскости. Поэтому момен- |
| | |
|(f21) ( . | |
|2 r2 | |
| | |
|O2 Рис.14. | |
|Компенсация | |
|моментов внут- | |
|ренних сил . | |
ты сил М1 = ( f12) r1sin(900 - () = (f12) l12 и M2 = (f21) r2 sin(900
- () = (f21) l21 равны и противоположно направлены. На основании этого
можно сделать вывод, что при сложении всех моментов внутренних сил они
попарно уничтожатся. Суммарный момент всех внешних сил обозначим ( Мi , где
Mi = [ ri Fi].
Левая часть уравнения ( 4-4а ) с учетом (3 -7) представится в таком
виде:
[pic]=[pic]=[pic], ( 4-5
)
где величину [pic] принято называть моментом инерции твердого тела
относительно заданной оси. Эта величина характеризует распределение массы
тела относительно определенной оси. Как следует из определения момента
инерции - это величина аддитивная. Момент инерции тела складывается из
моментов инерции его отдельных элементов, которые можно рассматривать как
материальные точки, т.е.
I =[pic], где ji = mi [pic] - момент инерции
материальной точки.
При практическом вычислении моментов инерции вместо суммирования
используется интегрирование ( суммирование бесконечно малых величин). Если
ось, относительно которой вычисляется момент инерции, проходит через центр
симметрии тела, то вычисление такого интеграла представляет сравнительно
несложную задачу, но в общем случае задачу решить трудно. Для упрощения
вычислений полезной оказывается теорема о параллельном переносе осей
инерции (теорема Гюйгенса - Штейнера), формулировка которой гласит, что
момент инерции относительно любой оси равен сумме момента инерции
относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения
массы тела на квадрат расстояния между осями, т.е.
Iпроиз = Iцм + m
d 2 . ( 4-6)
Для некоторых тел правильной формы значение моментов инерции относительно
осей, проходящих через центр их симметрии приведены в таблице 2.
Таблица 2.
|Форма тела Расположение | На основании изложенного уравне-ние|
|Величина |(4-4а) с учетом (4-5) приводится к |
|оси момента |виду: |
|инерции |[pic] , ( 4-7 ) |
|Обруч |которое называется уравнением динамики|
|m R2 |вращательного движения твердого тела |
| |или уравнением моментов. Дело в том, |
|Цилиндр |что левую часть этого уравнения можно |
|[pic] |представить по другому, т.к. по |
| |аналогии с правой частью величину |
|Шар |[riaimi]=[[pic]=[pic] |
|[pic] | |
| | |
|Примечание: m- масса тела, R - его | |
|радиус | |
называют изменением момента импульса (радиус ri внесен под знак
дифференцирования, т.к. все точки вращаются по окружностям постоянного
радиуса ) . Если
обозначить [ ri mi vi] = [ri pi] = Li , a cyмму [pic] = L , то уравнение (4-
7) можно за-
писать так: [pic].
( 4-8 )
| |Рис.15 поясняет определение момента импульса |
|L |точечной массы относительно точки О, который |
| |вычисляется также как момент силы [ ri mi vi] = |
| |[ri pi] = Li . Направление момента импульса |
| |определяется правилом правого буравчика - вектор r |
|O mv |вращается по кратчайшему пути к вектору mv, а |
|r ( |направление движения оси буравчика указывает |
|A |направление вектора L . Момент импульса |
| |относительно оси также определяется аналогично |
|Рис.15.Момент импуль- |моменту силы относительно оси: |
|са материальной точки. | |
L = [ r p ] ,
( 4-9 )
где значения r и р соответствуют обозначениям рис.12 ( с заменой f на р ).
Для вращател
| |  скачать работу |
Лекции по механике |
