Математическая теория захватывания
Другие рефераты
Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы
с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие
движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию
таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно
замечательно здесь явления так называемого "захватывания". Это явление
заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к
периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы
"захватывает" автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с
периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от
амплитуды "исчезнувших" автоколебаний. Интервал захватывания зависит от
интенсивности сигнала и от автоколебательной системы.
Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически
недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного
вида - кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать случай
произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных.
В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным
периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в
стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы,
например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе,
или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об
устойчивости при больших отклонениях
Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре,
которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно
близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр (
таким образом, чтобы при ( = 0 уравнение превращалось в линейное и
колебания делались синусоидальными. Этот параметр (, который мы
предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от
выбора системы.
Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых
отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения
обладали "устойчивостью по Ляпунову".
В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов,
с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по
Пуанкаре.
В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и
4 посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие
формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть
применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается
случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми,
которые получил нестрогим путем Ван дер Поль.
§ 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной
расстройки.
Уравнение, которое нас будет интересовать:
[pic]
При ( = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение
[pic]
Рассмотрим случай, когда ( бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем
искать решение (1) в следующем виде:
[pic]
Начальные условия выберем так:
[pic]
F2 - степенной ряд по (1 (2, ( начинающийся с членов второго порядка.
Подставим (3) в (1):
Сравнивая коэффициенты при (1 (2, ( получим уравнение для А, В, С.
Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3).
[pic]
Решая задачи Коши, получим:
[pic]
Для того, чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и
достаточно, чтобы [pic]
Введем обозначения [pic]; для остальных функций аналогично.
Тогда (6) запишется в виде:
[pic]
Если в этой системе можно (1 (2 представить в виде функции ( так, чтобы
(1 (2, ( исчезли из системы (7) , то (3) - периодическое решение уравнения
(1). Иначе Х- не периодично. Достаточным условием существования
периодического решения при малых ( служит неравенство 0 Якобиана.
В нашем случае: [pic]
Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых ( и любых f. Искомое
периодическое решение может быть найдено в виде.
[pic]
§ 2 Исследование устойчивости периодического решения
Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем
замену: x = Ф(t) + ( ; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие
квадраты и высшие степени ( и ('.
Воспользуемся тем фактом, что Ф (t) - решение уравнения. Получим уравнение
первого приближения:
Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами.
Его решение мы будем искать в виде [pic] [pic] функции времени[pic]
Удовлетворяют тому же уравнению, что и (, то есть (10). Начальные условия
для них определены следующим образом.
[pic]; аналогичным образом можно показать, что [pic] (11).
Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по (.
[pic]
[pic]будем искать в виде: [pic] (12).
Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях
(, получим:
[pic]
Начальные условия для Ао , Во, …. Следует выбрать так, чтобы выполнялись
условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты
при соответствующих степенях (, получим
[pic]
Для В'о и Во аналогично. Для остальных же как видно из уравнений условия
будут нулевые. Итак:
[pic](14)
Решение (13) можно найти при помощи квадратур:
[pic](15)
Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими
коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:
[pic]
S1, S2 - периодические функции с тем же периодом, что и Ф (t). (1, (2 -
характеристические показатели.
Если все [pic] , т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется
теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение
уравнения первого приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре
характеристические показатели можно определить из следующего уравнения:
[pic]=0 (16) Полагаем [pic];
[pic]
Тогда определитель будет:
[pic]
Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком Re ((), или что
все равно ( (( . Если ( (( < 1 имеет место устойчивость ( (( = 1 этот
случай для нашей задачи не представляет интереса. ( ((> 1 имеет место
неустойчивость.
При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р2; q < р2; В первом случае
(-комплексные; ((2 (=q; (20) если q<1; устойчивость q>1 - неустойчивость.
Случай второй - ( - действительные: [pic] ; (21) устойчивость соответствует
[pic] p и q нетрудно получить в виде рядов по степени ( из формул (19)
(12).
[pic](22)
Если принять во внимание (15)
[pic](22a)
[pic](23)
Мы видим, что при достаточно малом ( и ((n; n ( Z вопрос об устойчивости
решается величиной q и следовательно знаком b, если b < 0- имеет место
устойчивость, b > 0 - неустойчивость.
В нашем случае b имеет вид:
[pic] (23a)
§ 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.
Тогда ((((о; (2 = 1+ aо (, (24) (aо , ( - расстройка , реальный физический
резонанс наступает при aо ( 0).
Тогда исследуемое уравнение имеет вид :
[pic] (25)
При ( = 0 периодическое решение будет иметь вид : [pic](26)
Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде:
[pic] (27);
Начальные условия возьмем как и раньше:
[pic]
Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем
(27) в (25) и, сравнивая коэффициенты при (1 (2, ( и других интересующих
нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A, B, C, D, E, F.
Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27).
[pic] (29)
Запишем условия периодичности для (27):
[pic]
Делим на (:
[pic] ( 30a )
Необходимым условием существования периодического решения является:
[pic]
Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому
устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в раскрытой
форме :
[pic]
(31)
Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство 0
детерминанта: (см. § 1).
[pic]
D, Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных (15).
Заметим, что (30) мы можем определить (1, (2, в виде рядов по степеням (.
Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда.
[pic](33)
P,Q-определяются формулами (31) (32).
§ 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса
Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение первого
приближения, порожденное решением (33).
[pic]
Решение опять будем искать в виде [pic]. Однако нет необходимости
проделывать все выкладки заново. Воспользуемся результатами § 2, приняв:
[pic]
Из формул (22) [pic] [pic] (34) , тогда [pic] ( - тот же Якобиан, что и
(32). Распишем его:
[pic]
[pic] (36)
[pic];
Тогда, зная функцию f, мы можем вычислить ( в виде функции P, Q и aо.
Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:
[pic] ; (37)
Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть
при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых ()
1) p2 - q < 0 [pic]
2) p2 - q > 0 [pic]
В первом случае устойчивость характеризуется условием q < 1 или, что то же
самое b < 0.
Во втором случае [pic] (*) последнее может быть выполнено только, если b <
0, а ( > 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих
случаях является b < 0, ( > 0. (Это можно получить из неравенства (*) ).
§ 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах,
| |  скачать работу |
Другие рефераты
| 
