Математика и физика в средней школе
этих сил на вертикальную ось y и запишем
соответствующее уравнение динамики:
[pic], так как [pic]
поскольку [pic], то [pic].
Между тем для проекций на ось х уравнение динамики имеет вид:
[pic]
откуда (поскольку [pic] и [pic]) получим:
[pic], или [pic] (где [pic] и [pic] - модули векторов [pic] и [pic]).
Искомую величину - время – можно определить из уравнений кинематики:
[pic]
Если теперь выразить проекции векторов через их модули, то получим:
[pic]
Откуда находим, что [pic], или [pic]. Поскольку [pic], то [pic].
Обычно учащиеся поступают по другому: они записывают уравнения согласно
учебнику так:
[pic]
Откуда получают [pic] или [pic]. Если заранее не сделать разъяснений,
то ученики считают, что величины, входящие в формулы, - модули
соответствующих векторов и тогда знак минус вызывает у них недоумение. Если
же произвести дальнейшее преобразования и подставить в последнюю формулу
[pic], то получиться [pic].
Этот результат вызывает у школьников ещё большее неумение, так как им
не ясно, как избавиться от знака минус.
В данной задаче легко найти выход из затруднительного положения. Однако
в более сложных задачах можно не заметить этого и получить неправильный
ответ.
Поэтому имеет смысл на первом этапе решения по динамике рассматривать
только случаи равноускоренного движения тел, а затем, после приобретения
учащимися прочных знаний навыков, осторожно перейти к анализу и решению
задач на равнозамедленное движение.
Глава 3. развитие понятия функции в школьном курсе физике.
§3.1. Функция как важнейшее звено межпредметных связей.
В общей системе теоретических знаний учащихся по физике и математике в
средней школе большое место занимает понятие «функция». Оно имеет
познавательное и мировоззренческое значение и играет важную роль в
реализации межпредметных связей [13].
Функция является одним из основных понятий математики, выражающих
зависимость одних переменных величин от других. Как и остальные понятия
математики, оно сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития, опираясь
в начале на представление о переменной величине, а затем на понятия теории
множеств.
Трактовка функции как зависимости одних переменных величин от других
вводится следующим образом. Если величины x и y связаны так, что каждому
значению х соответствует определенное значение y, то y называют функцией
аргумента х.
Соотношение между x и y записывают так: [pic]. Если связь между х и y
такова, что одному и тому же значению х соответствует несколько значений y,
то у называют многозначной функцией аргумента х.
Иными словами, это можно сформулировать следующим образом [11], чтобы
задать функцию [pic], следует указать: 1) множество значений Х, которое
может принимать х (область задания функции); 2) множество значений Y,
которое может принимать у (область значения функции); 3) правило, по
которому значения х из Х соотносятся со значениями у из Y. В физике чаще
всего правило отнесения значениям х соответствующих им значений у задается
формулой, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести
над х, чтобы получить у.
Функция [pic] иногда задается своим графиком, те есть множеством точек
х, у – плоскости, у которой х принадлежит области задания функции, а [pic].
Развитие математики в XIX-XX вв. привело к необходимости дальнейшего
обобщения понятия функции. Оно заключалось, с одной стороны, в перенесении
этого понятия с переменных действительных чисел на переменные объекты любой
природы, с другой стороны, в определении понятия «функция» без упоминания о
её аналитическом изображении. Такое определение функции стало возможным
благодаря развитию теории множеств.
Понятие «множество» можно представить себе [10] как совокупность
некоторых объектов, объединенных между собой по какому-либо признаку.
Важным вопросом, возникшим в применении к множествам, был вопрос об их
количественном сравнении между собой. Возможность сравнительной оценки
множеств опирается на понятие взаимно однозначного соответствия между двумя
множествами [11]. Если каждому элементу множества Х поставлен в
соответствие в силу какого-либо правила или закона некоторый определенный
элемент множества Y и при этом каждый элемент множества Y оказывается
поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества Х, то
говорят, что между множествами Х и Y установлено взаимно однозначное
соответствие.
Общее определение однозначной функции можно сформулировать следующим
образом: пусть А и В – два множества, составленные из элементов любой
природы, и М – множество упорядоченных пар[pic], такое, что каждый элемент
х, принадлежащий А [pic], входит в одну и только одну пару из М; тогда М
задает на А функцию [pic] [11]. Множество А называют областью определения
функции [pic], а множество В – областью значения этой функции.
Понятие функции играет в физике исключительно важную роль. По существу
любой физический закон лишь тогда считается четко сформулирован, когда ему
придана математическая форма, точнее – если он записан в виде некоторой
функциональной зависимости между физическими величинами.
Важно учитывать и другой факт. Не всякая формула, связывающая
физические величины, выражает причинно-следственную зависимость между ними.
В ряде случаев аналитическая запись отражает лишь определенное соответствие
между физическими величинами. Примерами могут служить формулы для расчета
плотности твердых тел ([pic]), удельной теплоты плавления ([pic]). На
основании, например, первой формулы можно, казалось бы, сказать, что [pic]
при [pic], но такое (математически правильное) высказывание неверно с
физической точки зрения.
Функциональное соответствие, связывающее давление Р и объем V
идеального газа при постоянной температуре (закон Бойля - Мариотта),
записывается так: [pic].
При изотермическом процессе причиной изменения давления идеального газа
служит изменение его объема, и наоборот. Причинно-следственную связь между
физическими величинами для этих и аналогичных случаев назовем взаимной.
§3.2. Формирование физико-математических понятий: производная,
первообразная и интеграл в школе.
Как могут быть реализованы межпредметные связи физики и математики при
формировании таких понятий, как функция, величина, производная,
первообразная и интеграл. Причины, побудившие обратится к этому вопросу
следующие. Во-первых, позднее изучение в курсе математики названных понятий
затрудняет преподавание, например, механики в курсе физики. Во-вторых,
изучению всего курса физики препятствует недостаточное использование
математического аппарата, которое происходит либо из-за позднего его
формирования у учащихся, либо из-за отсутствия согласованности действий
преподавателей физики и математики в использовании общих физико-
математических понятий.
Выход из создавшейся ситуации состоит в совместном формировании у
учащихся понятий математического анализа в курсе физики и математики.
Именно при параллельном изучении основ механики и основ математического
анализа открываются наибольшие возможности для формирования как физических
понятий – мгновенная скорость, мгновенная ускорение, перемещение, работа и
т. д., так и математических – производная, первообразная и интеграл.
Согласно такой методике реализация межпредметных связей предпочтение
следует отдать скорей наглядности физики, чем строгости математических
доказательств. Поэтому на уроках математики, например, производную сумму
вводить при помощи закона сложения скоростей; при выводе формулы
производной функции, основанном на использовании на индукции,
математические выкладки подтверждаются примерами из физики. Рассмотрение
физического примера – движение тела, брошенного вертикально вверх –
облегчает задачу формирования понятий возрастающей и убывающей функций,
позволяет мотивированно ввести понятие второй производной и на этой основе
получить правило определения выпуклости графика. Что касается понятий
«первообразная» (неопределенный интеграл) и «интеграл» (определенный
интеграл), то их формирование целесообразно проводить с широким
использованием физических примеров, начиная с их определения, получения
основного свойства первообразной и интеграла и кончая правилами
интегрирования многочлена [14].
Для курса физики знание производной и интеграла открывает перспективы в
плане возможности более строгого определения рода физических величин:
точной записи второго закона Ньютона и закона электромагнитной индукции;
получения формулы работы силы тяготения в сферически симметричном поле с
последующим выводом второй космической скорости; ЭДС индукции, возникающей
в рамке при вращении в магнитном поле; доказательства инвариантности
действия сил относительно инерциальных систем отсчета; упрощения работы с
графиками; и наконец, рассмотрения видов равновесия тел не только с позиций
действия сил, но и с энергетической точки зрения. Знание учащимися
производной и интеграла позволяет выработать у них общий подход к
определению физических величин и решению графических задач фи
| |  скачать работу |
Математика и физика в средней школе |
