Математика и окружающая действительность
и развитии конструктивного направления в математике
важную роль сыграли работы А. А. Маркова, Н. А. Шанина, П. С. Новикова.
Известный советский ученый Н. А. Шанин в работе «О критике классической
математики» [20; 284-298] дает конструктивистскую критику классической
математики и акцентирует внимание исследователей на том, что многие теоремы
классической математики не обладают удовлетворительной связью между ними и
эмпирическим материалом в области естествознания.
Предшественником интуиционистской концепции существования в некотором
смысле можно считать А.Пуанкаре. Рассматривая вопрос о существовании
натурального ряда чисел, А.Пуанкаре высказывал взгляды, близкие к
интуиционистским. Например, он считал, что о существовании чисел можно
судить лишь с помощью их построения. Но для математических объектов,
отличных от натуральных чисел, А.Пуанкаре считал доказательство
непротиворечивости доказательством их существования. "В математике
существовать может иметь только один смысл, - оно означает устранение от
противоречия" [18; 124].
Представление о самостоятельном существовании математических объектов
подвергалось критике не только интуиционизмом. Субъективный идеалист
Дж.Беркли, чья философия сжато сформулирована в знаменитом афоризме
"существовать - значит быть воспринимаемы", рьяно выступал против
представления о самостоятельном существовании математических объектов. В
своем памфлете "Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему
математику…" Дж.Беркли отрицал существование бесконечно малых величин на
том основании, что они чувственно не воспринимаемы. [1; 395]
Б.Рассел начал свою философскую деятельность с идеализма типа
Дж.Беркли, но затем изменил свою концепцию под влиянием Д.Мура, который
подверг критике философию Дж.Беркли и сформулировал принцип
нетождественности объекта восприятию. В своем труде «Принципы математики»
Б.Рассел переходит на позиции реализма и высказывает мысль, что нельзя
обосновать математику, не признавая математические объекты, существующими
независимо от сознания. [16; 87]
Абстрактные объекты не существуют в качестве самостоятельного объекта,
стоящего между субъектом и реальным объектом, ибо они являются лишь формами
выражения действительности. Сама же действительность выступает не как
совокупность единичных фактов, созерцая которые, субъект выделяет то общее,
что есть в них, а как сложная, расчлененная внутри себя целостность.
Неверно превращать математические средства выражения предмета математики в
сам предмет. Абстрактные объекты являются не объектами познания, а тем, что
должно быть в голове человека, чтобы можно было в реальной действительности
увидеть те или иные аспекты количественных отношений.
Представления, что математика имеет дело с реальной действительностью
только через посредство абстрактных объектов, которые понимаются как
существующие лишь во внутреннем мире субъекта, замыкает математика в рамки
уже идеализированных фрагментов действительности и не может объяснить факта
увеличения математического знания. Математическое познание имеет дело не с
абстрактными объектами, а с пространственными формами и количественными
отношениями действительности. Манипулирование абстрактными объектами в
отрыве от объективной реальности не может привести к новым результатам.
Абстрактные объекты сами по себе – застывший продукт познания и только
обращение к новым аспектам действительности приводит к обогащению
математического знания. Все это прекрасно понимал и выразил еще Р.Декарт. В
«Правилах для руководства ума» он писал, что «мысля о числе, не нужно
делать вывод, будто измеряемая вещь считается исключенной из нашего
представления, как это делают те, кто приписывает числам чудесные
свойства…». [7; 149]
В этом случае мы сможем по мере надобности обращаться и к другим
свойствам предмета, которые еще не выражены в числах. Тот, кто превращает
математические средства выражения предмета математики в сам предмет,
превращается , по словам Р.Декарта, из математика в счетчика, бессмысленно
оперирующего со знаками и символами, загораживающими непроницаемой реальный
предмет математики.
А.Гейтинг замечает, что «мы не могли бы сравнивать натуральные числа
друг с другом, если бы не фиксировали их какими-либо средствами
материального представления, почему они и продолжают существовать после
акта их построения» [6; 24].
Абстрактные объекты и есть формы, отлитые предшествующей деятельностью
человека в обществе. С точки же зрения каждого отдельного индивида они
выступают как независимо от него существующая реальность, а это значит, что
человек должен считаться с их природой как и с природой реально
существующих вещей. Только в этом смысле и можно говорить об особом
существовании абстрактных объектов.
3. Функция как отражение окружающей действительности
Функция представляет собой одно из основных математических понятий XX
в., когда функциональному анализу стала принадлежать в математике
выдающаяся роль. Но так было не всегда: после введения в математику понятия
функции понадобилось более двух столетий, чтобы было осознано его
действительное значение для развития математического познания.
Термин “функция” впервые был применен в конце XVII века Лейбницем (1646-
1716) и его учениками. Вначале этот термин употребляли еще в очень узком
смысле слова, связывая лишь с геометрическими образами. Речь шла об
отрезках касательных к кривым, их проекция на оси координат и о “другого
рода линиях, выполняющих для данной фигуры некоторую функцию” (от
латинского “функтус” - выполнять). Таким образом, понятие функции еще не
было освобождено от геометрической формы.
Лишь И. Бернулли дал определение функции, свободное от геометрического
языка: “Функцией переменной величины называется количество, образованное
каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных” [4; 17].
Оно привело в восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от
геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций.
Определение Бернулли опиралось не только на работы Лейбница и его
школы, но и на исследования великого математика и физика Исаака Ньютона
(1643-1727), который изучил колоссальный запас самых различных
функциональных зависимостей и их свойств. Вместо слова "функция" Ньютон
применял термин "ордината". Он сводил изучение геометрических и физических
зависимостей к изучению этих "ординат", а сами "ординаты" описывали
различными аналитическими выражениями.
Чтобы определение функции, данное И.Бернулли, стало полноценным, надо
было условиться, какие способы задания функций следует считать допустимыми.
Обычно считали, что допускаются функции, заданные выражениями, в которые
входят числа, буквы, знаки арифметических действий, возведение в степень и
извлечение корней, а также обозначения тригонометрических, обратных
тригонометрических, показательных и логарифмических функций. Такие функции
называли элементарными. Вскоре выяснилось, что интегралы от них не всегда
выражаются через элементарные функции. В связи с этим пришлось добавить
новые функции, получающиеся при вычислении интегралов от элементарных
функций, при решении дифференциальных уравнений и т. д. Многие из этих
функций нельзя было явно выразить с помощью ранее известных операций.
Поэтому один из самых замечательных математиков XVIII века Леонард Эйлер
(1707-1783) в одной из своих работ пишет: "Когда некоторые количества
зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они
подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых" [2; 18].
В 1834 году Н.И.Лобачевский писал: "Общее понятие функции требует,
чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с
х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим
выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и
выбрать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и
оставаться неизвестной." [11; 284]
Более общий подход к понятию функции, при котором отождествляются
понятия "функция", "отображение", "оператор", возник после того, как во
второй половине XIX века было введено общее понятие множества. И именно
творцы теории множеств Г. Кантор (1845-1918) и Р. Дедекинд (1831-1916) дали
общее определение отображения. Его можно сформулировать:
Пусть X и Y - два множества; говорят, что задано отображение f
множества X в (на) множество Y, если для каждого элемента x из X указан
соответствующий ему единственный элемент y из Y. Этот элемент y называют
образом элемента х при отображении f и обозначают f(x). Введение в
математику общего понятия об отображении множеств позволило прояснить и ряд
вопросов, относящихся к функциям, например, уточнить, что такое обратная
функция, сложная функция и т. д.
В результате систематического построения математического анализа на
основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории
множества возникла новая отрасль математики - теория функций
действительного переменного. Она оказала большое влияние на развитие мног
| |  скачать работу |
Математика и окружающая действительность |
