Математика и окружающая действительность
их
других отделов математики
В начале XX века на базе этой теории функций возникла новая ветвь
математики - функциональный анализ. В нем изучают множества, состоящие из
функций, последовательностей, линий, в которых определены операции сложения
и умножения на числа. Эти операции обладают свойствами, похожими на
свойства операций над векторами. Однако в отличие от нашего пространства,
имеющего лишь три измерения, изучаемые в функциональном анализе,
пространства могут быть бесконечномерными. Это не мешает специалистам по
функциональному анализу применять в своих исследованиях геометрический
язык.
Хотя функциональный анализ кажется очень абстрактной наукой, он находит
многочисленные приложения в вычислительной математике, физике, экономике,
позволяя с единой точки зрения трактовать самые различные вопросы и
вскрывать геометрическую сущность проблем, которые на первый взгляд очень
далеки от геометрии. Говоря о связи абстрактной науки с практикой, видный
математик Р. Курант (1888-1972) писал:
“Мы стартуем с Земли и, сбросив балласт излишней информации,
устремляемся на крыльях абстракции в заоблачные высоты, разреженная
атмосфера которых облегчает управление и наблюдение. Затем наступает
решающее испытание - приземление; теперь нужно установить, достигнуты ли
поставленные цели...” [4; 25]
В XX веке понятие функции подверглось дальнейшим обобщением. Возникло
понятие функции, отражавшее свойства физических величин, сосредоточенных в
отдельных точках, на линиях или поверхностях. Потребности физики привели к
изучению функций, принимавших случайные значения. Но методы математического
анализа позволили справиться и с проблемами теории случайных функций,
нашедшей многочисленные приложения в физике и технике.
Современная трактовка понятия функции выглядит следующим образом:
"функцией называется отношение двух (группы) объектов, в котором изменению
одного из них сопутствует изменение другого" [13; 615-616]
Но как бы далеко ни отходило то или иное обобщение понятия функции от
определений И.Бернулли и Л.Эйлера, к каким бы сложным объектам оно ни
прилагалось, в основе всех построений лежала одна и та же мысль о
существовании взаимозависимых величин, знание значения одной из которых
позволяет найти значение другой величины.
В результате изучения различных функций в математике появились новые
теории. Так немецкий математик Ф.Клейн и французский математик А.Пуанкаре
создают теорию автоморфных функций, в которой находит замечательные
применения геометрия Лобачевского. Французские математики Э.Пикар,
А.Пуанкаре, Ж.Адамар, Э.Борель глубоко разрабатывают теорию целых функций.
Геометрическую теорию функций и теорию римановых поверхностей развивают
А.Пуанкаре, Д.Гильберт, Г.Вейль, немецкий математик К.Каратеодори, теорию
конформных отображений - советские математики И.И.Привалов, М.А.Лаврентьев,
Г.М.Голузин и др. На основе комплексных чисел возникает теория функций
комплексного переменного. Общие основы этой теории были заложены О.Коши.
Выше приведенные примеры теорий функции показывают нам важность данного
понятия в современной науке. Однако можно сделать ошибочный вывод (в силу
множества абстрактных понятий, связанных с функцией) о том, что все эти
теории не имеют никаких связей с окружающим миром. В действительности же
эти связи имеют более сложные формы. Многие эти теории возникли не из-за
запросов естествознания и техники, а из внутренних потребностей самой
математики. Т. е. непосредственного отношения к окружающему миру эти теории
не имеют. Они играют вспомогательную роль для прикладных наук.
Как мы уже выяснили, понятие «функция» в математике играет значительную
роль. Посмотрим теперь на то, какую же роль играет это понятие в философии.
Прежде всего следует заметить, что в философских словарях трактовки этого
понятия трудно найти. Следовательно, можно сделать вывод, что это понятие в
философии играет второстепенную роль. Однако, зависимость между элементами
некоторых множеств, - как одна из смысловых сторон «функции», имеет
непосредственное отношение к окружающему миру.
В. И. Ленин писал: «Первое, что бросается нам в глаза при рассмотрении
мира в целом – это взаимная связь всего существующего» (см.
Ленин В.И. Пол. собр. соч. – Т. 20, с. 20).
Но далеко не все связи могут быть отражены в виде функциональных
зависимостей (формул). Наиболее наглядно демонстрируют подобные связи в
окружающем мире законы физики, которые могут быть записаны в виде формул.
Это, например, второй закон Ньютона [pic], закон Гука [pic], законы Кеплера
и многие другие законы, отражающие взаимозависимость окружающего мира.
Таким образом, функция, как и любое другое математическое понятие,
непосредственно или опосредованно отражает окружающую нас действительность.
Заключение
Таким образом, проблемы реальности и существования в математике имеют
неоднозначное истолкование в философии. Вопрос о соотношении понятий и
утверждений математики и окружающей действительности был освещен с разных
философских позиций. А именно, с точки зрения материализма и субъективного
и объективного идеализма, эмпиризма и неопозитивизма. Каждое из
вышеперечисленных философских течений имели разные взгляды на разрешение
поставленного вопроса.
Проблема существования в математике также была представлена несколькими
философскими направлениями: интуиционизмом, конструктивным материализмом и
субъективным идеализмом. Каждое из этих направлений имело свою точку зрения
на данную проблему. Разносторонность подходов к решению поставленных
проблем говорит об их сложности и неоднозначности в толковании и
разрешении.
В качестве примера одного из математических абстракций было рассмотрено
понятие “функция”. Описана история возникновения данного понятия,
неоднозначность в его толковании, роль и значение в современной науке.
Литература
1. Беркли Дж. Сочинения. - М.: Мысль, 1978.
2. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М.: Наука, 1963.
3. Вейль Г. О философии математики. - М. - Л., 1934.
4. Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике. - М.: Просвещение, 1985.
5. Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики. - М., 1936.
6. Гейтинг А. Интуиционизм. - М.,1965.
7. Декарт Р. Избранные произведения. - М.: Госполитиздат, 1950.
8. Колмогоров А. Н. Современные споры о природе математики // Науч. слово.
- 1929. - №6.
9. Ленин В.И. Философские тетради. - Полн. собр. соч. - Т. 29.
10. Лобачевский Н. И. Полн. собр. соч. - Т. 5. - М. - Л., 1951.
11. Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. - Т. 3.
12. Математика в современном мире. - М.: Мысль, 1967.
13. Математический энциклопедический словарь./ Под ред. Ю.В.Прохорова. М.:
Советская энциклопедия, 1988.
14. Милль Дж.Ст. Система логики силлогистической и индуктивной. - М., 1914.
15. Молодший В. Н. Очерки по философским вопросам математики. - М.:
Просвещение, 1969.
16. Нысанбаев А., Шляхин Г. Развитие познания и математика. - Алма-Ата:
Казахстан, 1971.
17. Ойзерман Т.И. Проблемы историко-философской науки. - М.: Мысль, 1982.
18. Пуанкаре А. Наука и метод. - С.-Пб., 1910.
19. Рассел В. История западной философии. - М.: Изд. иностр. лит., 1959.
20. Труды математического института им. В. А. Стеклова. Т. 67. - М., 1962.
21. Эйлер Л. Исследования по баллистике. - М.: Физматгиз, 1961.
| |  скачать работу |
Математика и окружающая действительность |
