 |
|
Механические колебания в дифференциальных уравнениях
Это явление называется резонансом. Таким образом, резонанс наступает тогда, когда частота возмущающей силы совпадает с частотой собственных колебаний. Впрочем, в действительности точное совпадение этих частот не является необходимым. Выражение (9) для вынужденного колебания показывает, что при близости частот амплитуда [pic] может быть очень большой, хотя и ограниченной при фиксированных частотах k и р. Возможностью создания колебаний с значительной амплитудой часто пользуются в различных усилителях, например в радиотехнике. С другой стороны, в большом числе случаев появление больших амплитуд является вредным, ибо может приводить к разрушению конструкций (скажем, мостов или перекрытий). Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды. Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи с учетом сопротивления среды, пропорционального скорости движения. Решение Как и выше, имеем [pic] или положив[pic], [pic]и [pic] [pic] (13) Однородным уравнением, соответствующим (13), является уравнение (3) с корнями характеристического уравнения (4). Предположим, что сопротивление среды невелико, т. е. [pic]. При этом общее решение однородного уравнения имеет вид (5): [pic] где [pic]. Это решение определяет свободные колебания, которые будут затухающими. Для отыскания вынужденных колебаний ищем частное решение в виде [pic] Имеем: [pic] [pic] Сравнивая коэффициенты, получаем систему [pic] Так как [pic] [pic] [pic][pic] [pic] [pic] [pic][pic][pic] то [pic] и [pic] и мы находим частное решение [pic] Преобразуем выражение [pic] следующим образом: [pic]. Обозначив [pic] [pic] [pic] (14) перепишем [pic] виде [pic] (15) Выражение [pic] (16) носит название сдвига фазы. Общее решение, как и в предыдущей задаче, слагается из свободных колебаний [см. формулу (5)] и собственно вынужденных колебаний (15): [pic] (17) Первое слагаемое, как было сказано выше, определяет затухающие колебания, которые, особенно при большом [pic], довольно скоро становятся мало ощутимыми. Что касается вынужденных колебаний (15), то их амплитуда (14) не зависит от времени и пропорциональна амплитуде Q периодического возмущения, так как [pic]. Она отличается от q множителем [pic] (18) характеризующим зависимость амплитуды вынужденного колебания от частоты возмущающей силы. Определим максимум этой амплитуды. Для этого найдем производную функции (18) [pic] Положив [pic], получим уравнение [pic] (случай р = 0 отбрасывается как невозможный), корень которого дает частоту внешних сил: [pic] при которой, как показывает проверка достаточных условий экстремума, амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной. Максимальное значение амплитуды равно [pic] (19) Формула (19) показывает, что амплитуда колебаний тем больше, чем меньше п. При малых п частота р близка к частоте собственных колебаний k. Решение (15) существует всегда, когда [pic] В случае [pic]получаем p=k и n= 0, и уравнение (13) превращается в уравнение (11). Здесь вновь наступает явление резонанса, при котором, как было рассмотрено выше, вынужденные колебания имеют вид (12). -----------------------
| |  скачать работу |
Механические колебания в дифференциальных уравнениях |
|
|
|
Погода в Алматы |
на 10 дней |
другой город |
|
