Механические колебания в дифференциальных уравнениях
Другие рефераты
Колебаниями называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Рассмотрим механические колебания. Гармонические колебания. Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых изменяющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса). Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в естественном состоянии равна [pic]. Груз слегка оттянут книзу и затем отпущен. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха. Решение Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза. Начало координат О выберем в положении равновесии груз, то есть в точке, в которой вес груза уравновешивается силой натяжения пружины. Пусть ( означает удлинение пружины в данный момент, а (ст—статическое удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения равновесия. Тогда (=(ст+х, или (-(ст=х. Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона: F=ma, где m=P/g—масса груза а—ускорение движения и F—равнодей-ствующая приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы натяжения пружины и силы тяжести. По закону Гука сила натяжения пружины пропорциональна её удлинению: Fупр=-с(, где с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый жесткостью пружины. [pic] Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины уравновешивается весом тела, то P= с(ст. Подставим в дифференциальное уравнение выражение Р и заменим (-(ст через х, получится уравнение в виде: [pic] или, обозначив с/m через k2, [pic] (1) Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение: [pic] имеет мнимые корни [pic], соответственно этому общее решение [pic] Для выяснения физического смысла решения удобнее привести его к другой форме, введя новые произвольные постоянные. Умножив и разделив на [pic], получим: [pic] Если положить [pic] [pic] [pic] то [pic] (2) График гармонических колебаний имеет вид: [pic] Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения равновесия. Величину А называют амплитудой колебания, а аргумент [pic] — фазой колебания. Значение фазы при t=o т.e. величина [pic], называется начальной фазой колебания. Величина [pic] есть частота колебания. Период колебания [pic] и частота k зависят только от жесткости пружины и от массы системы. Так как с = Р/(ст = mg/(ст, то для периода можно получить также формулу: [pic] Скорость движения груза получается дифференцированием решения по t: [pic] Для определения амплитуды и начальной фазы необходимо задать начальные условия. Пусть, например, в начальный момент t = 0 положение груза x=x0 и скорость (=(0. Тогда [pic] [pic], откуда [pic], [pic] Из формул для амплитуды и начальной фазы видно, что в отличие от частоты и периода собственных колебаний они зависят от начального состояния системы. При отсутствии начальной скорости ((0=0) амплитуда А=х0, а начальная фаза (=(/2 и, таким образом, [pic] или [pic] Затухающие колебания. Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшают- ся. Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи, но с учетом сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости движения. Решение К силам, действующим на груз, прибавляется здесь сила сопротивления воздуха [pic] (знак минус показывает, что сила R направлена противоположно скорости (). Тогда дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Ox имеет вид [pic] или если положить [pic], [pic], то [pic] (3) Это уравнение также является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение: [pic] имеет корни [pic] (4) Характер движения целиком определяется этими корнями. Возможны три различных случая. Рассмотрим сначала случай, когда [pic]. Это неравенство имеет место, когда сопротивление среды невелико. Если положить [pic], то корни (4) имеют вид [pic]. Тогда общее решение можно записать в виде [pic] или, преобразовав, умножая и деля на [pic], получим: [pic] положим, что [pic] [pic] [pic], тогда [pic] (5) График зависимости отклонения от положения равновесия от времени имеет вид: [pic] Если заданы начальные условия: [pic] при t = 0, то можно определить А и (. Для этого находим [pic] и подставляем t = 0 в выражения для [pic]и [pic] получим систему уравнений [pic] Разделелив обе части второго уравнения на соответствующие части первого получим [pic] откуда [pic] или [pic] а [pic] Так как [pic] то [pic] Решение (5) показывает, что имеют место затухающие колебания. Действии- тельно, амплитуда колебания [pic] зависит от времени и является монотонно убывающей функцией, причем [pic] при [pic]. Период затухающих колебаний определяется по формуле [pic] Моменты времени, в которые груз получает максимальное отклонение от начала координат (положения равновесия), образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной полупериоду Т/2. Амплитуды затухающих колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем, равным [pic] или [pic]. Эта величина называется декрементом затухания и обычно обозначается буквой D. Натуральный логарифм декремента lnD = - пТ/2 называется логарифмическим декрементом затухания. Частота колебаний [pic]в этом случае меньше, нежели в предыдущем ([pic]), но, как и там, не зависит от начального положения груза. Если сопротивление среды велико и [pic], то, положив [pic], получим корни (4) в виде [pic] Так как [pic], то оба корня отрицательны. Общее решение уравнения в этом случае имеет вид [pic] (6) Отсюда видно, что движение апериодическое и не имеет колебательного характера. Аналогичный характер будет иметь движение и в случае [pic], когда общее решение имеет вид [pic] (7) Легко заметить, что в обоих последних случаях при [pic] имеем [pic]. Если заданы начальные условия [pic] и [pic], то в случае, когда [pic], имеем [pic], а [pic]. Решая эту систему относительно [pic] и [pic], получим [pic], [pic] и, следовательно [pic] [pic] В случае же, когда [pic], получаем [pic], [pic] и следовательно, [pic] Вынужденные колебания без учета сопротивления среды. Вынужденными колебаниями называют колебания, вызванные внешней периодической возмущающей силой. Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в ненагруженном состоянии равна [pic]. На груз действует периодическая возмущающая сила [pic] где Q и р — постоянные. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением среды. Решение Как и для гармонических колебаний, получаем уравнение [pic] Полагая, как и прежде, [pic] и, кроме того, [pic] перепишем уравнение в виде [pic] (8) Это—неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, причем однородным уравнением, соответствующим уравнению (8), является (1). Поэтому [pic]; остается найти х. Если предположить, что [pic], то частное решение х, нужно искать в виде [pic], где М и N — коэффициенты, подлежащие определению. Итак, [pic][pic] Производя вычисления, получаем [pic] [pic] откуда М=0 и [pic] Полученное таким образом частное решение [pic] (9) определяет так называемые вынужденные колебания, созданные возмущаю- щей силой [pic]. Вынужденные колебания, имеют тот же период, что и возмущающая сила, совпадают с ней по фазе (т. е. имеют одинаковую начальную фазу) при k>p, либо отличаются на (, если k<0. Закон движения представляется общим решением [pic]. (10) Оно слагается из собственно вынужденных колебаний (9), которые определяются внешней возмущающей силой, и собственных колебаний (2), обусловленных исключительно внутренними причинами: жесткостью пружины и массой груза. Если заданы начальные условия: [pic] и [pic], то можно определить произвольные постоянные А и (. Для этого продифференцируем функцию (10): [pic] и подставим в выражения х и [pic] значение аргумента t = 0; получим систему уравнений относительно A и (: [pic] Преобразуем её так: [pic] возведем в квадрат обе части каждого из этих уравнений и сложим. Тогда [pic] Для нахождения ( разделим обе части первого уравнения на соответствую- щие части второго; получим [pic] откуда [pic] при этом [pic], [pic] Итак, искомым частным решением, удовлетворяющим заданным начальным условиям, является функция [pic] или [pic] Частное решение (9), характеризующее собственно вынужденные колебания, было получено в предположении, что [pic], т. е. что частота внешней силы не совпадает с частотой собственных колебаний. Если же [pic], то дело будет обстоять совсем иначе. Действительно, уравнение (8) можно переписать теперь в виде [pic] (11) Частное решение следует искать в форме [pic], где М и N — коэффициенты, подлежащие определению. Итак, [pic][pic] откуда получаем [pic], [pic], и следовательно, частное решение имеет вид [pic] Общее решение в этом случае [pic] (12) Найдем [pic] и подставим в выражения х и [pic] значение t=0; получим [pic] [pic] [pic] или [pic] Из последних двух равенств находим [pic], [pic] откуда [pic] [pic] [pic] Перепишем общее решение так: [pic] тогда искомое частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, запишется в виде. [pic] Выражение (12) показывает, что амплитуда вынужденных колебаний [pic] в этом случае может стать неограниченно большой даже тогда, когда q невелико. Иначе говоря, возможно получение сколь угодно больших амплитуд при малых возмущающих силах.
| |  скачать работу |
Другие рефераты
|
