Метод последовательных уступок (Теория принятия решений)
ниченным.
Следовательно, существует точка u*(US , в которой функция [pic]
достигает наибольшего на Us значения. Нетрудно убедиться в том, что
u* эффективна.
Таким образом, при решении почти всякой прикладной многокритериальной
задачи метод последовательных уступок выделяет в качестве оптимальных и
эффективные стратегии. Однако необходимо отметить, что выделенные
эффективные стратегии не обязаны быть эквивалентными (см. пример 1); но
нетрудно проверить, что это возможно лишь при S(3.
Если нельзя гарантировать, что при решении рассматриваемой
многокритериальной задачи метод последовательных уступок приводит к
получению лишь эффективных стратегий (в частности, если по выполняется
вышеприведенное условие единственности), то для выделения эффективной
стратегии среди решений задачи S) достаточно, как показывает только что
проведенное доказательство,
найти [pic] (2)
Однако практически более удобно применять такой прием : заменить
в S) критерий Ks на [pic] ,
где ( — положительное число;
в результате получится задача:
[pic] (3)
Нетрудно доказать, что любая стратегия, являющаяся решением задачи (3),
эффективна; более того, всякая максимизирующая последовательность, служащая
решением этой задачи, также эффективна.
Смысл указанного приема заключается в том, что при достаточно малом
числе (>0 для любой полученной в результате решения задачи (3)
стратегии w значение критерия KS(w) будет весьма близким к Qs*) и эта
стратегия эффективна, в то время как при решении S) задачи (1) может быть
получена стратегия и, которую выгодно заменить некоторой эффективной
стратегией v>u, существенно лучшей, чем и, но одному или даже нескольким
частным критериям. А поскольку величины уступок А, на практике
устанавливаются приближенно, то замена Ks на K*s при малых (>0 в силу
указанной причины оказывается допустимой и оправданной.
Таким образом, понятие эффективной стратегии позволило уточнить
вычислительную процедуру отыскания оптимальных стратегий методом
последовательных уступок.
С другой стороны, метод последовательных уступок позволяет указать
характеристическое свойство эффективных стратегий.
Теорема 1.
Для любой эффективной стратегии u* существуют такие числа (*r, что эту
стратегию можно выделить методом последовательных уступок, т. е.
при (r=(*r, r=1, 2,...,S—1, стратегия u* является единственным (с точностью
до эквивалентности) решением S) задачи (1).
Теорема 1 характеризует эффективные стратегии с помощью последовательности
задач (1). В частности, она показывает, что метод последовательных уступок
можно использовать для построения множества эффективных стратегий.
Более того, теорема 1 позволяет исследовать и сам метод последовательных
уступок. Действительно, она показывает, что при любом фиксированном
расположении частных критериев, по степени относительной важности одним
лишь выбором величин уступок можно обеспечить выделение любой эффективной
стратегии в качестве оптимальной (так что проблема отыскания оптимальной
стратегии, т. е. проблема выбора эффективной стратегии из всего множества
U°, формально эквивалентна проблеме назначения надлежащих величин уступок
при произвольном фиксированном упорядочении критериев).
Следовательно, для решения многокритериальной задачи нужно так
ранжировать критерии, чтобы потом удобнее было выбирать величины уступок.
Учитывая вышеизложенное и внимательно рассмотрев порядок назначения величин
уступок, можно сделать следующий вывод: метод последовательных уступок
целесообразно применять для решения тех многокритериальных задач, в которых
все частные критерии естественным образом упорядочены по степени важности,
причем каждый критерий настолько существенно более важен, чем последующий,
что можно ограничиться учетом только попарной связи критериев и выбирать
величину допустимого снижения очередного критерия с учетом поведения лишь
одного следующего критерия.
Особенно удобным является случай, когда уже в результате
предварительного анализа многокритериальной задачи выясняется, что можно
допустить уступки лишь в пределах «инженерной» точности (6—10% от
наибольшей величины критерия).
Решение многокритериальной задачи методом последовательных уступок —
процедура довольно трудоемкая, даже если заранее выбраны величины всех
уступок. Поэтому большой интерес представляет вопрос: можно ли при заданных
(i получить оптимальную стратегию за один этап, сведя последовательность
задач (1) к одной экстремальной задаче?
Мы можем указать лишь приближенный способ одноэтапного решения для S=2.
Он основан на следующем утверждении:
Лемма 1.
Пусть множество U(Rp замкнуто и ограничено, K1и К2 непрерывны на U, (1(0 и
(( (1/M12, где
[pic](4)
Тогда для любой стратегии u*, доставляющей функции L=K1+(К2 наибольшее на U
значение, справедливо неравенство Q1-K1(u*)( (1 причем если K1(u*)( Q1, то
[pic]
Эта лемма, показывает, что если решить задачу максимизации на U
функции L=K1+(К2, в которой число ( назначено указанным образом, то для
полученной стратегии u* (она обязательно эффективна) значение K1(u*)
будет отличаться от максимального Q1 не более, чем на (1, a K2(u*) будет
тем ближе к Q2, чем точнее назначена оценка М12.
Однако даже если взять число М12, удовлетворяющее (4) как равенству, и
положить ( = (1/M12, то все равно нельзя гарантировать, что K2(u*)=Q2, так
что рассматриваемый способ действительно является приближенным.
Пример 4. Пусть U — четверть единичного круга, лежащая в положительном
квадранте: U={u: u(R2, u21+u22(1, u1(0, u2(0} K1(u)=u1, K2(u)=u2. Здесь Q1
= l и М12=1, если исходить из (4) как равенства. Примем (1=0,2; (=0,2.
Функция u1 + 0,2u2 достигает максимума на U в единственной точке [pic]так
что [pic] , однако [pic]
Пример 5. U={u: u(R2 , 0(u2(1, (1+()u2(1-u1} где ( — положительное число,
K1(u)=u1, K2(u)=u2 . Используя (4) как равенство, находим: М12 = 1. Положим
(1=1; (=1. Функция u1+u2 достигает на U максимума в единственной точке (1,
0). Возьмем теперь ; (=1 + (. где (— любое сколь угодно малое положительное
число. Тогда при (<( функция u1+(1+()u2 будет достигать максимума на U в
точке (-(, 1), так
что Q1-K1(-(, 1) = 1+( >(1=1.
Примечание. Для решения многокритериальных задач иногда применяют метод
выделения основного частного критерия. Этот метод состоит в том, что
исходная многокритериальная задача сводится к задаче оптимизации по одному
частному критерию КL, который объявляется основным, или главным, при
условии, что значения остальных частных критериев Кr должны быть не меньше
некоторых установленных величин («требуемых» значений) br, т. е. к задаче
найти [pic] (5)
причем оптимальной считается обычно всякая стратегия, являющаяся решением
задачи (5).
Выделение критерия Kt в качестве основного и назначение пороговых величин
br, для остальных частных критериев фактически означает, что все стратегии
разбиваются на два класса. К одному относятся стратегии, которые
удовлетворяют всем S—1 ограничениям Kr(u)(br; такие стратегии можно назвать
допустимыми. К другому классу относятся такие стратегии,
которые не удовлетворяют хотя бы одному из указаных S—1 неравенств.
Наконец, среди допустимых стратегий предпочтительнее считается та,
для которой значение Критерия Kl больше.
Необходимо отметить, что установившееся название — «основной», или
«главный» критерий — по существу весьма условно. Действительно, критерий Kl
максимизируется на множестве лишь допустимых стратегий; иначе
говоря, если для стратегии u значение некоторого «второстепенного»
частного критерия Kr оказывается хоть немного меньше, чем br, то она уже
не может «претендовать» на роль оптимальной, сколь бы большим ни было
для нее значение основного критерия. Сравнение (5) и (1) показывает,
что метод последовательных уступок формально можно рассматривать
как особую разновидность метода выделения основного частного критерия,
отличающуюся наличием специфической процедуры назначения величин
ограничений для задачи максимизации KS (это обстоятельство фактически
уже использовалось при доказательстве теоремы 1).
Поэтому все полученные выше результаты, связанные с вопросами выделения
эффективных стратегий методом последовательных уступок, переносятся и на
рассматриваемый метод. В частности, этот метод выделяет лишь эффективные
стратегии, когда решение задачи (5) единственно с точностью до
эквивалентности; если же справедливость указанного условия единственности
не установлена, то целесообразно в (5) заменить Kl на
[pic], где (>0 – достаточно малое число.
Выбор конкретной эффективной стратегии из множества U0 формально
эквивалентен назначению надлежащих величин br, причем в качестве основного
можно выбрать любой частный критерий.
Это означает, с одной стороны, что рассматриваемый метод универсален в том
смысле, что он позволяет для каждой ммногокритериальной задачи выделить в
качестве наилучшей любую эффективную стратегию.
Это же означает, с другой стороны, что вопросы о выборе одного из частных
критериев в качестве основного и назначении минимально допустимых величин
br для остальных критериев нужно решать совместно, ибо какой бы частный
критерий ни был выбр
| |  скачать работу |
Метод последовательных уступок (Теория принятия решений) |
