Методы решения некорректно поставленных задач

остранство F отображается на метрическое пространство U и Uo — образ множества Fo, Fo? F, при этом отображении. Если отображение F>U непрерывно, взаимно однозначно и множество Fo компактно на F, то обратное отображение Uo>Fo множества Uo на множество Fo также непрерывно по метрике пространства F. Доказательство. Пусть z — элементы множества F (z?F), а u—элементы множества U (u?U). Пусть функция u=?(z) осуществляет прямое отображение F>U, а функция z=?(u)—обратное отображение U>F. Возьмем произвольный элемент u0 из Uo. Покажем, что функция ?(u) непрерывна на u0. Предположим, что это неверно. Тогда существует такое число ?1 > 0, что для всякого ? > 0 найдется элемент и1 из Uo, для которого ?U(и1, и0) = ?1. Здесь z=?(u1), z0=?(u0) и z1?Fo, z0?F0. Возьмем последовательность {?n} положительных чисел ?n , сходящуюся к нулю при п>?. Для каждого ?n найдется элемент un1 из Uo, для которого ?U(иn1, и0)< ?n , но ?F(zn1,z0)>= ?1 , где zn1=?(un1). Очевидно, последовательность {un1} сходится к элементу u0. Так как zn1 принадлежат компактному на F множеству Fo, то из последовательности {zn1} можно выбрать подпоследовательность {Z1nk}, сходящуюся по метрике F к некоторому элементу z0 ?F. При этом z01?z0 , так как для всякого nk ?F(Z1nk,z0)>= ?1 , следовательно и ?F(z10,z0)>= ?1 . Этой подпоследовательности {Z1nk} отвечает последовательность элементов u1nk= ? (Z1nk) из Uo, сходящаяся к u10= ?(z10) и являющаяся подпоследовательностью последовательности {u1n}. Так как последовательность {u1n} сходится к и0 =?(z0), то u10=?(z10)=u0=?(z0) , т. е. ?(z0)= ?(z10). В силу взаимной однозначности отображения F>U z10=z0, что противоречит ранее установленному неравенству z10?z0. Лемма доказана. Эту лемму можно сформулировать короче. Если отображение Fo(Uo компакта Fo на множество Uo взаимно однозначно и непрерывно, то обратное отображение Uo(Fo также непрерывно. Эквивалентность этих формулировок следует из того, что замыкание F*0 множества Fo, компактного на F, является компактом. Таким образом, минимизирующая последовательность {zn} в методе подбора сходится к zT при n(?, если: а)zT принадлежит классу возможных решений М; б) множество М — компакт. Пусть оператор А непрерывен и вместо точной правой части uT мы имеем элемент u? такой, что ?U(u?,uT )<= ?, причем u? принадлежит множеству AM (образу множества М при отображении его с помощью оператора A) и М есть компакт. Пусть {?n} — последовательность положительных чисел таких, что ?n (0 при n(оо. Для каждого п методом подбора можно найти такой элемент z?n , что ?U(A z?n ,u?)<=?n . Элементы z?n будут близки к решению zT уравнения Az=uT. В самом деле, при отображении с помощью непрерывного оператора образ AM компакта М есть компакт и, следовательно, по лемме обратное отображение, осуществляемое оператором A-1, непрерывно на AM. Так как ?U(A z?n ,u)<= ?U(A zn ,u?)+?U(u?,uT), то ?U(A z?n ,uT)<=?n+?=??n. Из этого неравенства и из непрерывности обратного отображения АМ ( М следует, что ?F(z?n ,zT)<= ?( ??n) , причем ?( ??n)(0 при ??n(0. Таким образом, при нахождении приближения z?n к zT надо учитывать уровень погрешности ? правой части u?. 2.1.3. На основе изложенных соображений М. М. Лаврентьев сформулировал понятие корректности по Тихонову. В применении к уравнению (2; 0,1) задача называется корректной по Тихонову, если известно, что для точного значения u=uT существует единственное решение zT уравнения (2; 0,1), AzT=uT, принадлежащее заданному компакту М. В этом случае оператор А-1 непрерывен на множестве N=AM и, если вместо элемента uT нам известен элемент u? такой, что ?U( uT, u?)<=? и u??N, то в качестве приближенного решения уравнения (2; 0,1) с правой частью u= u? можно взять элемент z?=A-1u? . При ?(0 (u??N) z? будет стремиться к zT. Множество F1 (F1 ? F), на котором задача нахождения решения уравнения (2; 0,1) является корректно поставленной, называют классом корректности. Так, если оператор А непрерывен и осуществляет взаимно однозначное отображение, то компакт М, к которому принадлежит zT, является классом корректности для уравнения (2; 0,1). Таким образом, если задача (2; 0,1) корректна по Тихонову и правая часть уравнения u?AM, то метод подбора с успехом может быть применен к решению такой задачи. На первый вопрос дан исчерпывающий ответ. Рассмотрим задачу решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода [pic] (2;1,1) на множестве М1 монотонно убывающих (возрастающих) и равномерно ограниченных функций |z(s)|<=B. Она корректна по Тихонову, так как множество M1 — компакт в пространстве L2. Действительно, возьмем любую последовательность E= {z1(s), z2(s), .... zn(s), ...} из M1. Согласно теореме Хелли о выборе существуют подпоследовательность E1 = {Zn1 (s), Zn2 (s), ..., Znk (s), ...}, последовательности Е и функция z*(s) из множества M1, z*(s) ?L2, такие, что [pic] всюду, кроме, может быть, счетного множества точек разрыва функции z*(s). Из поточечной сходимости подпоследовательности Е1 к функции z*(s) всюду, кроме, может быть, счетного множества точек, следует, как известно, сходимость подпоследовательности E1 к функции z*(s) по метрике L2. Таким образом, в качестве приближенного решения на множестве М1 уравнения (2; 1,1) с приближенно известной правой частью u1 ? АМ1 можно брать точное решение этого уравнения с правой частью u=u1 . Эта последняя задача эквивалентна задаче нахождения на множестве M1 функции, минимизирующей функционал N[z,u1]=|| A1z – u1 ||2L2 . Пусть ?U(uT, u1)<= ?. Тогда, очевидно, в качестве приближенного решения уравнения (2; 1,1) можно брать функцию z?, для которой || A1z? – u1 ||2L2<= ?2 . (2;1,2) Если заменить интегральный оператор A1z интегральной суммой на фиксированной сетке с n узлами и обозначить значения искомой функции в узловых точках через zi , то задача построения приближенного решения уравнения (2; 1,1) сведется к задаче нахождения конечномерного вектора, минимизирующего функционал N[z,и1] и удовлетворяющего неравенству (2; 1,2). В ряде других случаев компактные классы корректности можно указать эффективно, что дает возможность строить устойчивые приближенные решения. 2.1.4. В силу погрешности исходных данных элемент и может не принадлежать множеству AM. В этих условиях уравнение (2; 0,1) не имеет решения (классического) и возникает вопрос: что надо понимать под приближенным решением уравнения (2; 0,1)? В этом случае вводится понятие квазирешения и метод подбора при условии компактности множества М позволяет найти приближение к квазирешению. В следующем параграфе вопрос о квазирешении рассматривается подробнее. 2.2. Квазирешения 2.2.1. Пусть оператор А в уравнении (2; 0,1) — вполне непрерывный. Построение устойчивого к малым изменениям правой части и приближенного решения уравнения (2; 0,1) по формуле z=A-1u (2; 2,1) возможно в тех случаях, как отмечалось в 2.1. , когда решение ищется на компакте М?F и правая часть уравнения принадлежит множеству N = AM. Обычно не существует эффективных критериев, позволяющих установить принадлежность элемента и множеству N. Это приходится предполагать известным априори. В практических задачах часто вместо точного значения правой части иT нам известно ее приближенное значение u1, которое может не принадлежать множеству N=AM. В этих случаях нельзя строить приближенное решение уравнения (2; 0,1) по формуле (2; 2,1), так как символ А-1u может не иметь смысла. 2.2.2. Стремление устранить затруднения, связанные с отсутствием решения уравнения (2; 0,1) при неточной правой части, привело В. К. Иванова к понятию квазирешения уравнения (2; 0,1) — обобщению понятия решения этого уравнения. Элемент z1?М, минимизирующий при данном и функционал ?U(Az1,и) на множестве М, называется квазирешением уравнения (2; 0,1) на М, [pic] Если М — компакт, то квазирешение, очевидно, существует для любого и?U и если, кроме того, и?AM, то квазирешение z1 совпадает с обычным (точным) решением уравнения (2; 0,1). Квазирешение может быть и не одно. В этом случае под квазирешенпем будем разуметь любой элемент из множества квазирешений D. Можно указать достаточные условия, при которых квазирешение единственно и непрерывно зависит от правой части и. Напомним определение. Пусть элемент у и множество Q принадлежат пространству U. Элемент q множества Q называется проекцией элемента у на множество Q, q=Ру, если выполняется равенство где [pic] Теорема 1. Если уравнение Аz=u может иметь на компакте М не более одного решения и проекция каждого элемента u?U на множество N = AM единственна, то квазирешение уравнения (2; 0,1) единственно и непрерывно зависит от правой части u. Доказательство. Пусть z1 — квазирешение и и1=Аz1. Очевидно, и1 есть проекция элемента u на множество N = AM. По условию теоремы она определяется однозначно. Отсюда, в силу взаимной однозначности отображения множества М на множество N, следует единственность квазирешения z1. Очевидно, что z1 = А-1u=А-1Ри. Согласно лемме о непрерывности обратного отображения компакта (см. предыдущий параграф) оператор А-1 непрерывен на N. Оператор проектирования Р непрерывен на U. Поэтому А-1P — непрерывный на U оператор и, следовательно, квазирешение z1 непрерывно зависит от правой части и. Таким образом, при переходе к квазирешению восстанавливаются все условия корректности, т. е. задача нахождения квазирешения уравнения (2; 0,1) на компакте М является корректно поставленной. Если условие единственности решения уравнения (2; 0,1) не выполнено, то квазирешения образуют некоторое множество D элементов компакта М. В этом случае без упомянутых в теореме 1 ограничений на множество N имеет место непрерывная зависимость множества квазирешений D от и в смысле непрерывности многозначных отображений. Для случая, когда уравнение (2; 0,1) линейно, легко получить более общие результаты, содержащиеся в следующей теореме . Теорема 2. Пусть уравнение (2; 0,1) линейно, однородное уравнение Az=0 имеет только нулевое решение, множество М выпукло, а всякая сфера в простран

скачать работу


Погода в Алматы	на 10 дней	другой город

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы

Модератор сайта RESURS.KZ