Методика изучения числовых систем
т быть случаи? Как записать формулу решения в виде дроби? При этом
можно рассмотреть и сокращение дроби, когда числитель и знаменатель
представляют произведение.
Перейдем теперь к изложению той методики преподавания умножения на
дробь, которая получила в настоящее время признание в педагогической
практике и в учебно-методической литературе. Можно подвести учащихся к
новому определению умножения путем решения геометрической задачи на
вычисление площади прямоугольника.
Предварительно рассматривается вычисление площади прямоугольника, у
которого длины сторон ( дробные числа, путем подсчета долей квадратной
единицы, из которых может быть составлен прямоугольник, без знания
умножения дробей.
Далее предлагаются задачи примерно такого содержания:
Вычислить площадь прямоугольника, у которого
1) основание 10 см, высота 6 см,
2) основание 7[pic] см, высота 4 см.
Площадь первого прямоугольника учащиеся находят, пользуясь правилом для
вычисления площади прямоугольника. Для второго прямоугольника преподаватель
предлагает проверить справедливость правила. Учащиеся ив чертежа находят,
что в одном ряду укладывается 7[pic] кв. ед. и таких рядов получается 4.
Следовательно, для вычисления площади, достаточно 7[pic] умножить на 4.
Затем предлагается нарисовать прямоугольник, основание которого 4 см, а
высота 1 см; затушевать на этом чертеже прямоугольник, у которого основание
4 см, а высота [pic] см, и вычислить его площадь. Учащиеся находят площадь
затушеванного прямоугольника путем подсчета долей квадратной единицы. После
этого преподаватель указывает, что для того чтобы площадь прямоугольника
вычислялась по одному правилу, условились и в этом случае решение
записывать при помощи умножения длины основания на длину высоты, т.е.
[pic].
Чтобы выяснить смысл умножения 4 на [pic], предлагается с помощью
чертежа ответить на вопросы: какая площадь всего прямоугольника? какая
часть прямоугольника затушевана? какая площадь затушеванной части? Учащиеся
устанавливают, что искомая площадь составляет [pic] всей площади
прямоугольника, т. е. [pic] от 4 кв.см и равна 4 : 4 = 1 (кв. см).
Следовательно, 4·[pic] ( значит найти [pic] от 4.
После этого записывают 4·[pic] = 4 : 4 = 1 (кв. см).
Затем предлагается построить второй прямоугольник, основание которого 4,
а высота 1 см, затушевать на этом чертеже прямоугольник с основанием 4 см и
высотой [pic] см. Применить правило для вычисления площади этого
прямоугольника.
Рис.12 Рис.13
Учащиеся получают 4·[pic] . Чтобы выяснить, что это значит,
устанавливают по чертежу, что искомая площадь составляет [pic] от площади
всего прямоугольника и равна (4 : 4) · 3 = 3 (кв. см). Следовательно,
4·[pic] ( значит найти [pic] от 4.
[pic]
Следует повторить эти рассуждения с прямоугольником, основание которого
2 дм и высота 1 дм, и установить, что значит 2·[pic]; 2·[pic].
Вообще условились считать, что умножить число на дробь ( значит найти
эту дробь множимого. Умножить число на правильную дробь ( значит найти
часть числа, которая выражена этой дробью.
Можно показать целесообразность определения умножения на дробь на
решении следующих арифметических задач.
Автомобиль едет со скоростью 45 км в час. 1) Какое расстояние он пройдет
в 3 часа? в 7 часов? в [pic] часа? в [pic] часа?.
Записывается решение задач.
[pic]
Ведутся такие рассуждения.
Условие всех задач одинаково. Дана скорость автомобиля в час и требуется
узнать, какое расстояние автомобиль пройдет за некоторое число часов. Для
нахождения расстояния в 1-й и 2-й задаче скорость умножали на время. Чтобы
одинаковые по смыслу задачи решались одинаковыми действиями, условились и в
3-й и в 4-й задаче называть нахождение [pic] от 45 и [pic] от 45 умножением
45 на [pic] и 45 на [pic], тогда решение 3-й задачи запишется:
[pic]
Решение 4-й задачи:
[pic]
Умножить 45 на [pic] ( значит найти [pic] от 45, умножить 45 на [pic],
значит найти [pic] от 45. После этого устанавливается то же определение
умножения на дробь. Правило умножения целого числа на дробь выводится после
Решения ряда примеров на основании определения. Для вывода правила следует
взять такие упражнения, в которых знаменатель дроби и целое не имеют общего
множителя. Например.
[pic]
При умножении целого числа на смешанное число следует рассмотреть два
способа умножения, первый — множитель обращается в неправильную дробь, и
умножение производится на основании установленного определения; второй —
применяется распределительный закон умножения Предварительно устанавливаем
справедливость распределительного закона и в том случае, когда одно из
слагаемых суммы во множителе — дробь. Следует обратить внимание учащихся на
то, что второй способ короче для тех случаев, когда ответ требуется
получить в виде смешанного числа Умножение дроби на дробь прорабатывается
на основании определения умножения на дробь
Пример. [pic].
Ведутся такие рассуждения. Умножить [pic] на дробь [pic] ( значит найти
[pic] от [pic]. Для этого сначала находим [pic] от [pic] и делим [pic] на
3, получим [pic]. Потом, чтобы найти [pic] от [pic], умножаем [pic] на 2.
Это записывается так:
[pic]
Короче можно написать:
[pic]
Числитель полученной дроби получился от перемножения числителей данных
дробей, а знаменатель — от перемножения их знаменателей После рассмотрения
ряда примеров выводится правило: чтобы умножить дробь на дробь, достаточно
числитель первой дроби умножить на числитель второй и знаменатель на
знаменатель и первое произведение сделать числителем, а второе знаменателем
произведения.
Необходимо показать учащимся на частных примерах справедливость основных
законов умножения для дробных чисел. Приведем несколько упражнений,
убеждающих в справедливости сочетательного закона для дробных чисел.
Вычислить устно:
[pic]
Разбираются два способа вычисления:
[pic]
Результат получился одинаковый, следовательно,
[pic]
[pic]
При рассмотрении умножения смешанных чисел обычный прием путем обращения
смешанных чисел в неправильные дроби не вызывает затруднения. Следует
обратить внимание на другой способ умножения смешанных чисел — умножение по
частям, отдельно на целое число и на дробь. Этот способ удобен в некоторых
случаях при устном счете.
Например, при умножении 6[pic]·2[pic] выгоднее считать так:
[pic]
Необходимо обратить на этот способ внимание еще и потому, что учащиеся
часто при устном счете неправильно им пользуются, умножая целое на целое
число и дробь на дробь, и сумму полученных произведений считая за искомое
произведение. Неправильность таких вычислений следует показать на решении
конкретной задачи, лучше всего с геометрическим содержанием. Рассмотреть
следующую задачу.
Построить прямоугольник, основание и высота которого 2[pic]ед. и
3[pic]ед., и найти его площадь двумя способами:
1) вычисляя сразу всю площадь, 2) вычисляя по частям.
[pic] Рис.14
Учащиеся получают наглядное представление о втором способе умножения.
Полезно показать, что при вычислении вторым способом применяется
распределительный закон умножения.
[pic]
Следует подчеркнуть учащимся, что совпадение произведений, полученных 1-
м и 2-м способами, показывает на справедливость распределительного закона и
в том случае, когда оба сомножителя — смешанные числа.
Изучая умножение дробей, следует обратить внимание учащихся еще на одну
особенность умножения на дробь, отличающую его от умножения на целое число.
При умножении на правильную дробь полученное произведение меньше
множимого (или от умножения на правильную дробь данное число уменьшается).
Следует требовать обоснование этого вывода рассуждением и иллюстрировать
примерами.
Рассмотрим систему примеров на умножение на неправильную дробь.
[pic]
Вывод. При умножении на неправильную дробь, не равную единице,
произведение получается больше множимого.
После этого следует предложить учащимся сделать общий вывод относительно
того, в каком случае произведение получается больше множимого, в каком
случае меньше множимого, в каком случае оно равно множимому. Следует
задавать учащимся следующие контрольные вопросы. Например: на какое число
нужно умножить число 5, чтобы произведение получилось больше 5? равно 5?
меньше 5? Приведите примеры.
Деление на дробь
Делению на дробь предпосылается и в программе и в стабильном учебнике
нахождение числа по данной величине его дроби. Рассуждения ведутся по такой
схеме.
Пример. Найти число [pic] которого равны 20.
Обозначим неизвестное число буквой х, тогда условие задачи запишется:
[pic] от х равны 20.
Так как часть числа находится умножением, то вместо [pic] от х можно
написать х·[pic] или, пользуясь переместительным законом, [pic]· х.
Следовательно, можно написать: [pic] от х равны 20, или х·[pic] = 20, или
[pic]·х = 20
| |  скачать работу |
Методика изучения числовых систем |
