Методика изучения числовых систем
Другие рефераты
Основные идея темы „Обыкновенные дроби".
1) введение дробных чисел ( новый этап расширения числовой области;
2) новое понятие числа требует введения нового определения понятия
равенства чисел, суммы и произведения;
3) введение дробных чисел снимает ограничения с действия деления целых
чисел (кроме деления на нуль);
4) дробные числа подчиняются всем законам арифметических действий,
установленным выше для чисел натуральных.
Изучение дробных чисел в школьном курсе разбивается на два этапа: на
первом рассматриваются понятие дроби, сложение и вычитание, а также
умножение и деление на натуральное число; на втором ( умножение и деление
на дробь. На первом этапе определения действий над дробями мало отличаются
от определений соответствующих действий над целыми числами; первое
расширение понятия об арифметическом действии дается на примере умножения
на дробь.
Многие вопросы, входящие в первый этап, хотя и не в полном объеме,
изучаются в начальной школе. В V классе средней школы прорабатывается
систематический курс дробей, включающий вопросы обоих этапов изучения.
Основные вопросы систематического курса дробей в средней школе:
1) образование дробей;
2) преобразования дробей;
3) действия над дробями.
Введение понятия дроби. Преобразования дробей
Хотя в курсе начальной школы учащиеся получили представление о
простейших дробях, необходимо эту тему начинать с углубления и закрепления
понятия о дроби. При этом следует исходить из рассмотрения конкретных
примеров величин. Необходимо учитывать, что исторически дроби возникли в
связи с потребностью измерять. В практике измерения простейшими задачами
являются определение отрезка, площади прямоугольника и объема
прямоугольного параллелепипеда. Для этих задач сначала нужны натуральные
числа, дробные числа (а потом и иррациональные числа). Поэтому для
иллюстрации различных вопросов школьного курса дробей лучше всего
пользоваться долями линейной единицы, квадратичной единицы и кубической
единицы.
Делая соответствующий рисунок в тетрадях, учащиеся могут сами находить
доли линейного дециметра, квадратного дециметра, чертить развертки
кубического дециметра и его долей и дома склеивать соответствующие модели.
Наглядные пособия при изучении дробей.
Рис. 2.
Рис.1.
Рис. 3. Рис. 4
В результате такой работы у учащихся создается отчетливое
представление о дроби как совокупности равных долей единицы, и
сами учащиеся составляют соответствующее определение. Многие
учебники сразу же рассматривают второй способ получения дроби
при делении целого числа на равные части. На ряде конкретных
примеров показывают, что при делении меньшего числа на большее
получается в частном одна или несколько долей единицы, т.е.,
согласно ранее веденному определению, рассуждения ведутся Рис.
5. так.
Чтобы разделить веревку длиной в 3 м на 4 равные части, можно мысленно
Рис. 6.
представить каждый метр веревки разделенным на 4 равные части, тогда
веревка будет содержать 12 четвертей метра, разделив 12 четвертей метра на
4 равные части, получим в каждой [pic] метра. Это рассуждение
иллюстрируется рисунком 6.
Рассматривается второй способ рассуждений: чтобы делить 3 яблока (или 3
листа бумаги) 4 детям, можно каждое яблоко разделить на 4 равные части и
каждому дать по одной четверти. Каждый ребенок получит [pic] яблока.
Основная мысль приведенных рассуждений та, что доли единицы можно взять
за новые счетные единицы и с полученными числами производить действия так
же, как, с целыми именованными числами. Но почему же начинать с деления?
Деление определяется как действие, обратное умножению. Удовлетворяет ли
рассмотренное деление этому определению? 3 : 4 = [pic]; [pic]·4 будет ли
равно 3? Все это требует обоснования. Без этого учащиеся не будут связывать
этот случай деления с определением деления.
После того как введено понятие дроби, необходимо ввести понятия
равенства и неравенства дробей. В теоретических курсах эти понятия вводятся
путем определений. В школьном курсе необходимо показать предварительно
целесообразность вводимых определений путем рассмотрения конкретных
примеров.
Составляя дроби из долей одной и той же единицы, учащиеся убеждаются,
что дроби могут быть меньше единицы, равны единице, больше единицы. Эти
наблюдения и следует положить в основу определений и классификации дробей
на неправильные и правильные. Формальный же признак, указывающий на
соотношение между числителем и знаменателем у правильных и неправильных
дробей, следует установить, как следствие определения. Обращение смешанного
числа в равную ему неправильную дробь и исключение целого числа из
неправильной дроби следует начать с рассмотрения конкретных примеров. При
составлении отрезков из долей линейной единицы, возникает вопрос: сколько
целых линейных единиц содержится в данном отрезке? При составлении
прямоугольников из долей квадратной единицы возникает вопрос: сколько
квадратных единиц можно составить из данного прямоугольника? Решение этих
вопросов приводит к исключению целого числа из неправильной дроби.
Не следует спешить с выводом формального правила для этих,
преобразований, следует заставлять учащихся проводить соответствующие
рассуждения, основанные на составе единицы из долей этой единицы. Например,
при обращении смешанного числа 2[pic] в неправильную дробь ведутся
следующие рассуждения: в единице 3 третьих доли, в двух единицах 3·2
третьих долей, всего (3·2+2).
Отсюда
[pic]
В методической литературе поднимался вопрос о включении в школьный курс
обращения смешанного числа в неправильную дробь и обратного преобразования
после изучения деления дроби на целое число и деления дробей с одинаковыми
знаменателями, так как при первом преобразовании производится умножение
дроби на целое число и сложение дробей, при втором — деление дробей с
одинаковыми знаменателями. Но принятое обычно расположение материала имеет
преимущество: возможно рассматривать действия над всеми видами дробей и
смешанными числами одновременно, причем эти преобразования не нарушают
системы изучения действий, связаны с конкретными представлениями дробей и
сводятся к действиям над целыми числами.
При рассмотрении различных долей единицы и дробей естественно поставить
вопрос о сравнении их по величине, также кладется сравнение величин,
измеряемых данными дробями. Для иллюстрации сравнительной величины долей
единицы полезно на выбранной линейной единице от одного из ее концов
отложить отрезки, соответствующие долям единицы (рис.7).
[pic]
Рис.7
Для вывода формальных признаков сравнения дробей можно рекомендовать
проводить работу по следующему плану: 1) сравнение долей единицы, 2)
сравнение дробей с одинаковыми знаменателями, с одинаковыми числителями (не
устанавливая, во сколько раз одна дробь больше другой), основное свойство
дроби. Вывод основного свойства следует построить на том положении, что
дроби, измеряющие одну и ту же величину при одной и той же единице
измерения, равны. Таким образом, основное свойство получится как следствие
определения равенства дробей, что соответствует научному построению
изучения дробей. Следует при этом воспользоваться следующим наглядным
пособием в виде таблицы:
[pic]
Рис.8
[pic]
Для вывода основного свойства дроби в ряде учебников и методик
предлагается предварительно изучить изменение величины дроби с увеличением
(или уменьшением) числителя или знаменателя в несколько раз, причем
устанавливается, во сколько раз увеличивается или уменьшается при этом
дробь. Выводится правило увеличения и уменьшения дроби в несколько раз, т.
е. умножения и деления дроби на целое число. После этого рассматривается
одновременно увеличение (или уменьшение) членов дробей в одно и то же число
раз и устанавливается основное свойство дроби.
Рассмотрение увеличения или уменьшения дроби в несколько раз следует
увязывать с прохождением умножения и деления дроби на целое число, так как
эти задачи тождественны. Если же этот вопрос рассматривать до действий, то
необходимо показать, что, увеличивая дробь в несколько раз, мы ее умножаем
на целое число, уменьшая ( делим на целое число, но тогда нарушится
систематичность изложения. Очень часто эта связь не подчеркивается, и
учащиеся не осознают тождественность задач — увеличить дробь в несколько
раз и умножить дробь на целое число, и не решаются применять правила
увеличения и уменьшения дроби при умножении и делении дроби на целое число.
Такое изучение увеличения и уменьшения дроби в несколько раз приносит вред
учащимся, создавая путаницу в их умах.
После этого следует перейти к преобразованиям дробей: к сокращению
дробей, затем к приведению дробей к общему знаменателю, связав это
преобразование с задачей сравнения дробей с разными числителями и
знаменателями.
Для сознательного усвоения преобразования дробей следует привести
чертеж. Например, сокращ
| |  скачать работу |
Другие рефераты
| 
