Некоторые дополнительные вычислительные методы
и a0=a, a1=a+h, a2=a+2h, …, an=a+nh+b,
где n=0,1, …, k и [pic] Положим f(xn)=yn=f(a+nh).
Формула прямоугольников: [pic]
Погрешность формулы определяется выражением
[pic] где [pic]
Формула трапеций: [pic]
Погрешность формулы определяется выражением
[pic] где [pic]
Формула Симпсона: [pic] где [pic]
Погрешность формулы определяется выражением
[pic] где [pic]
Если длина интервала [a, b] велика для применения простейших квадратурных
формул, то поступают следующим образом:
1) интервал [a, b] разбивают точками xi, [pic] на n интервалов по
некоторому правилу;
2) на каждом частичном интервале [xi, xi+1] применяют простейшую
квадратурную формулу, находят приближенное значение интеграла [pic]
3) из полученных выражений Qi составляют (отсюда и название составная
формула) квадратурную формулу для всего интервала [a, b];
4) абсолютную погрешность R составной формулы находят суммированием
погрешностей Ri на каждом частичном интервале.
5. Приближенное вычисление обыкновенных дифференциальных уравнений
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется равенство [pic], в
котором [pic] - независимая переменная, изменяющаяся в некотором отрезке
[pic], а [pic] - неизвестная функция от [pic], которую и надо найти.
Различают два типа обыкновенных дифференциальных уравнений - уравнения без
начальных условий и уравнения с начальными условиями. Уравнения без
начальных условий - это как раз то, что было только что определено. А
уравнение с начальными условиями - это записанное выше уравнение
относительно функции [pic], но в котором требуется найти лишь такую функцию
[pic], которая удовлетворяет при некотором [pic] следующим условиям:
[pic], т.е. в точке [pic] функция [pic]и ее первые [pic] производных
принимают наперед заданные значения. В этой ситуации число [pic]называется
порядком уравнения.
Метод Рунге-Кутта
Изложим идею метода на примере: [pic]
Интегрируя это уравнение в пределах от x до x + h (0 < h <1), получим
равенство [pic] которое посредством последнего интеграла связывает значения
решения рассматриваемого уравнения в двух точках, удаленных друг от друга
на расстояние шага h. Для удобства записи данного выражения используем
обозначение
?y=y(x+h)–y(x) и замену переменной интегрирования t=x+(h. Окончательно
получим:
[pic] Указав эффективный метод приближенного вычисления интеграла в
выражении [pic], мы получим при этом одно из правил численного
интегрирования уравнения [pic]
Постараемся составить линейную комбинацию величин (i, i = 0, 1, ..., q,
которая будет являться аналогом квадратурной суммы и позволит вычислить
приближенное значение приращения (y: [pic] где
[pic]
Метод четвертого порядка для q = 3, имеет вид [pic] где
[pic]
Особо широко известно другое вычислительное правило Рунге-Кутта четвертого
порядка точности: [pic] где
[pic]
Метод Рунге-Кутта имеет погрешность четвертого порядка (~ h4 ).
Правило Рунге. Если приближенный метод имеет порядок погрешности m, то
погрешность можно приближенно оценить по формуле [pic]
В формуле O(xi) – главный член погрешности, [pic]и [pic] - приближенные
решения в точке xi, найденные с шагом h и 2h соответственно.
Экстраполяционные методы Адамса
Широко распространенным семейством многошаговых методов являются методы
Адамса. Простейший из них, получающийся при [pic], совпадает с
рассмотренным ранее методом Эйлера первого порядка точности. В практических
расчетах чаще всего используется вариант метода Адамса, имеющий четвертый
порядок точности и использующий на каждом шаге результаты предыдущих
четырех. Именно его и называют обычно методом Адамса. Рассмотрим этот
метод.
Пусть найдены значения [pic] в четырех последовательных узлах [pic]. При
этом имеются также вычисленные ранее значения правой части [pic]. В
качестве интерполяционного многочлена [pic] можно взять многочлен Ньютона.
В случае постоянного шага [pic] конечные разности для правой части в узле
[pic] имеют вид [pic].
Тогда разностная схема четвертого порядка метода Адамса запишется в виде
[pic].
Сравнивая метод Адамса с методом Рунге — Кутта той же точности, отмечаем
его экономичность, поскольку он требует вычисления лишь одного значения
правой части на каждом шаге. Но метод Адамса неудобен тем, что невозможно
начать счет по одному лишь известному значению [pic]. Расчет может быть
начат лишь с узла [pic]. Значения [pic] необходимые для вычисления [pic],
нужно получить каким-либо другим способом , что существенно усложняет
алгоритм. Кроме того, метод Адамса не позволяет изменить шаг [pic] в
процессе счета; этого недостатка лишены одношаговые методы.
Метод Милна
Пусть на отрезке [a, b] требуется найти численное решение дифференциального
уравнения [pic] с начальным условием [pic]. Разобьем отрезок [a, b] на n
равных частей точками [pic], где h=(b-a)/n – шаг интегрирования. Используя
начальные данные, находим каким-либо способом последовательные значения
[pic] искомой функции y(x). Таким образом, становится известным [pic].
Приближения [pic] и [pic] для следующих значений [pic] последовательно
находятся по формулам Милна
[pic] – где [pic].
Абсолютная погрешность значения [pic] приближенно равна [pic].
Пример. Дано дифференциальное уравнение y’=y-x, удовлетворяющие начальному
условию x0=0, y(x0)=1,5. Вычислить с точность до 0,01 значение решения
этого уравнения при x=1,5.
Решение. Выберем начальный шаг вычисления. Из условия h4<0,01 получим
h=0,25 Составим таблицу
| | | | | | | | |
| | | |y’i=f(x| |y'i= | | |
| | | |i, |[pic] |f(xi, |[pic] | |
|i|xi |yi |yi)=yi-| |yi)=yi-x| |?i |
| | | |xi | |i | | |
|0|0 |1,5000|1,5000 | | | | |
| |0,25| |1,6420 | | | | |
|1| |1,8920|1,8243 | | | | |
| |0,50| |2,0584 | | | | |
|2| |2,3243| |3,3588 |2,3588 |3,3590 |7*10-5 |
| |0,75| | |3,9947 |2,7447 |3,9950 |10-5 |
|3| |2,8084| |4,7402 |3,2402 |4,7406 |1,4*10-|
| |1,00| | | | | |5 |
|4| | | | | | | |
| |1,25| | | | | | |
|5| | | | | | | |
| |1,50| | | | | | |
|6| | | | | | | |
Получаем ответ y=(1,5)=4,74.
Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
На практике приходится часто решать задачи, когда условия задаются при двух
значениях независимой переменной (на концах рассматриваемого отрезка).
Такие задачи, называемые краевыми, получаются при решении уравнений высших
порядков или систем уравнений. Стандартная постановка краевой задачи для
обыкновенных дифференциальных уравнений выглядит следующим образом
[pic], а дополнительные условия ставятся более, чем в одной точке отрезка
интегрирования уравнений (в этом случае порядок системы не может быть
меньше второго): [pic], [pic], [pic].
Общая классификация методов решения краевых задач: существуют точные,
приближенные и численные методы.
6. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений с частными
производными
Кроме обычных дифференциальных уравнений существуют так называемые
дифференциальные уравнения с частными производными. Далее они будут
рассмотрены более подробно.
Классификация дифференциальных уравнений второго порядка
Рассмотрим уравнение второго порядка [pic], где [pic] - функции [pic] и
[pic]. Говорят, что указанное уравнение в области [pic] принадлежит
гиперболическому типу, если в этой области [pic]. Если [pic], то уравнение
в области [pic] принадлежит параболическому типу. Если [pic], то уравнение
принадлежит эллиптическому типу.
Уравнение [pic] называется каноническим уравнением гиперболического типа.
Уравнение [pic] называется каноническим уравнением параболического типа.
Уравнение [pic]называется каноническим уравнением эллиптического типа.
Дифференциальное уравнение [pic] называется уравнением характеристик
уравнения [pic].
Если последнее уравнение гиперболического типа, то уравнение характеристик
имеет два интеграла: [pic] т.е. существуют два семейства вещественных
характеристик.
С помощью замены переменных [pic], [pic] дифференциальное уравнение [pic]
приводится к каноническому виду: [pic]. Для уравнения параболического типа
оба семейства характеристик совпадают, т.е. уравнение характеристик дает
лишь один интеграл [pic].
В этом случае осуществляем замену переменных [pic], [pic], где [pic] —
какая-нибудь функция, для которой [pic]. После замены переменных получаем
уравнение [pic]. Для уравнения эллиптического типа интегралы уравнения
характеристик имеют вид [pic], где [pic] и [pic] — вещественные функции.
Полагая [pic] и [pic], приводим уравнение [pic] к виду [pic].
Постановка краевых задач
Классическим решением краевой задачи называются всяка функция,
удовлетворяющая дифференциальному уравнению в каждой точке внутри области
задания этого уравнения и непрерывная в рассматриваемой области, включая
границу. Соответствующую постановку краевой задачи называют классической.
Существует несколько таких задач:
1. Задача Коши для бесконечной области. Рассмотрим эту задачу на примере
уравнения колебания струны и уравнения теплопроводности.
Рассмотрим процесс колебания тонкой бесконечной струны под действием
непрерывно распределенной внешней силы с плотностью f. Предположим, что
сила действует в одной плоскости – плоскости колебания струны (x, u), а
струна является гибкой упругой нитью. Пусть велич
| |  скачать работу |
Некоторые дополнительные вычислительные методы |
