Некоторые дополнительные вычислительные методы
ина натяжения, возникающая
в струне вследствие ее изгиба, подчиняется закону Гука, а сами колебания
достаточно малы. Тогда величина смещения u (x, t) удовлетворяет уравнению
колебания струны: [pic]. Для однозначности процесса необходимо задать еще
начальное смещение и начальное распределение скоростей. Математически это
соответствует заданию начальных условий: [pic]. Требуется найти
классическое решение уравнения, удовлетворяющие начальным условиям.
Сформулированная таким образом задача называется задачей Коши для
гиперболического уравнения.
Исследуем теперь процесс распределения температуры в тонком бесконечном
стержне. Предполагается, что тепловой поток подчиняется закону Фурье, а
изменение температуры тела пропорционально количеству теплоты, сообщаемой
телу. Предположим, что внутри стержня может выделяться и поглощаться
теплота, характеризуемая плотностью тепловых источников f. Тогда
распределение температуры в стержне описывается уравнением
теплопроводности: [pic]. Для однозначного задания процесса необходимо
указать начальное распределение температуры. Это соответствует заданию
начального условия: [pic]. Требуется найти классическое решение уравнения,
удовлетворяющие начальным условиям. Сформулированная таким образом задача
называется задачей Коши для параболического уравнения.
2. Стационарная задача (задача без начальных данных). Рассмотрим
установившийся
режим распределения температуры в ограниченной тонкой пластине произвольной
формы с гладкой границей. Пусть функция u(x, y) выражает температуру каждой
точки пластины. При обычных законах распространения тепла функция u(x, y)
удовлетворяет уравнению Пуассона: [pic], где функция а задает плотность
тепловых источников пластины. В случае отсутствия источника (f=0) данное
уравнение называется уравнением Лапласа: [pic]. Для однозначного описания
процесса необходимо задать тепловой режим на границе пластины. Это может
быть сделано с помощью задания распределения температуры на границе или
распределения теплового потока. Возможен также режим теплового равновесия
излучающего тела с окружающей средой.
В зависимости от теплового режима на границе получаются три граничных
условия для функции u(x, y). Пусть Г – граница рассматриваемой области D –
определения уравнения Лапласа. Математическая формулировка граничных
условий может быть задана в следующем виде:
граничное условие I рода: [pic];
граничное условие II рода: [pic];
граничное условие III рода: [pic].
Производная берется по внешней нормали к кривой Г; ?>0 – коэффициент
теплопроводности; ?0, ?1, ?2 – заданные на Г функции, причем ?2 есть
произведение коэффициента теплопроводности на температуру внешней среды,
соприкасающейся с телом.
Таким образом, краевая задача заключается в том, чтобы найти классическое
решение уравнения Пуассона или Лапласа, удовлетворяющее одному из граничных
условий.
3. Смешанная краевая задача. Рассмотрим задачу распространения тепла в
тонком
стержне единичной длины. Поместим один из концов в точку x=0, а другой – в
точку x=1. Распределение температуры в таком стержне в течение некоторого
интервала времени 0
| |  скачать работу |
Некоторые дополнительные вычислительные методы |
