Нестандартные задачи в курсе школьной математики (неполное и избыточное условие)
ение того, какие выводы можно сделать из
выполненного решения, – на всё это уже не остаётся ни сил, ни времени, ни
желания, а ведь это едва ли не главные аспекты решения задач.
В школе невозможно, да и не нужно, рассматривать все виды
математических задач. Сколько бы задач ни решали в школе, всё равно
учащиеся в своей будущей работе встретятся с новыми видами задач. Поэтому
школа должна вооружать учащихся общим подходом к решению любых задач.
Одной из особенностей математики является алгоритмичность решения
многих её задач. Алгоритмом, как известно, называется определённое указание
относительно того, какие операции и в какой последовательности надо
выполнить, чтобы решить любую задачу определённого типа. Конечно, очень
большое количество задач не алгоритмизируется и решается с помощью
специальных, особых приёмов. Поэтому способность находить пути решения, не
подходящие под стандартное правило, является одной из существенных
особенностей математического мышления, как об этом пишет в своей книге
академик Колмогоров. [7, с.76]
Необходимость специальных способностей для изучения и понимания
математики часто преувеличивают. Впечатление исключительной трудности
математики иногда создаётся её плохим, чрезмерно формальным изложением на
уроке.
Умение последовательно, логически рассуждать в незнакомой обстановке
приобретается с трудом. На математических олимпиадах самые неожиданные
трудности возникают именно при решении задач, в которых не предполагается
никаких предварительных знаний из школьного курса, но требуется правильно
уловить смысл вопроса и рассуждать последовательно. [7, с.80]
Многие нарекания вызывает и подготовка школьников как абитуриентов,
поступающих в ВУЗы на физико–математические специальности. Многолетняя
практика приёмных экзаменов показывает, что воспитанные в традиционной
школе абитуриенты обладают знаниями, достаточными для поступления в ВУЗ,
однако интеллектуальное развитие большинства из них и, прежде всего,
уровень абстрактного и логического мышления недостаточен для эффективного
обучения по выбранной специальности.[11, с. 92]
Итак, как показывает вышеизложенный анализ литературы, наборы задач
имеющихся школьных учебников пока ещё не удовлетворяют требованиям,
предъявляемым к результативности математического образования. Чаще всего,
эти задачи относятся к алгоритмически разрешимым, не развивают у учеников
вариативного мышления, не учат множеству навыков, столь необходимых для
решения задач, как школьных, так и бытовых, производственных, научных и т.
д.
Рассмотрим более детально, как обстоит дело с задачами,
представленными в действующих учебниках математики.
Анализ школьных учебников математики показывает, что с 5–го по 11–й
класс ученики решают более 7000 задач. [11, с.171]
Если взглянуть на задачи, представленные в школьных учебниках
математики, то все задачи, содержащиеся в них, внутри одной темы
классифицированы по степени сложности и расположены, как правило, в порядке
её возрастания.
Среди предлагаемых учащимся задач представлены задачи разных
классификаций (по крайней мере, к этому стремятся авторы учебников): по их
назначению – тренировочные и развивающие, по наличию алгоритма решения –
стандартные и нестандартные, по характеру требования – доказательные,
вычислительные и конструктивные. Есть и другие классификации, находящие то
или иное отражение в школьных учебниках.
3. Формулировка проблемы
Но одна из классификаций почти не находит отражения в действующих
учебниках за редкими исключениями. Речь идёт о классификации по характеру
условия задачи – определённые, неопределённые и переопределённые.
Школьникам преимущественно предлагаются задачи определённые, т.е. задачи,
содержащие в условии ровно столько данных, сколько их требуется для
получения ответа, не больше и не меньше. Но почему не больше и не меньше?
Если учитель ставит целью научить своих учеников решать задачи из
жизни, а не из учебников, то он должен научить их: 1) математизировать
ситуацию (т.е. переводить задачу бытовую, производственную и др. на язык
математики); 2) выбирать необходимые для решения величины из их чрезмерного
множества или осуществлять вариативный поиск данных, недостающих для
решения задачи; 3) решать полученную математическую задачу; 4)
анализировать найденные решения, сравнивать их, выбирать наиболее
экономичные; 5) разматематизировать ситуацию (т.е. переводить полученный
ответ на язык бытовой, производственной и прочей практики).
Из перечисленных видов деятельности школа учит разве что третьему.
Остальные затрагиваются в такой ничтожной мере, что говорить даже о
частичном обучении здесь вряд ли следует. Например, если вспомнить о
задачах неопределённых и переопределённых, то таких в современных учебниках
насчитывается не более полупроцента, да и тех учителя чаще всего не
замечают.
Приятным исключением из указанного правила является учебник [18]. Его
автор, профессор Н.Рогановский, предлагает задачи под рубриками, среди
которых есть и такие: «Все ли возможные случаи рассмотрены?», «Достаточно
ли данных для решения задачи?», «Сколько решений имеет задача?» и т. п.
Естественно, задачи, предлагаемые под этими рубриками, соответствуют
поставленному вопросу, т.е. имеют несколько вариантов реализации условия,
несколько возможных путей решения, и количество данных в условии не
обязательно является необходимым и достаточным для получения ответа.
Но, как уже сказано, этот учебник – исключение. Большинство авторов
других учебников такие задачи игнорируют. Может быть, считают их
бесполезными и ненужными в обучении?
Однако, многие известные педагоги–исследователи считают использование
таких задач полезным и необходимым.
Например, М.Крутецкий в своей книге "Психология математических
способностей школьников" приводит такую классификацию:
1. Задачи с несформированным условием – задачи, в которых имеются все
данные, но вопрос задачи лишь подразумевается.
2. Задачи с избыточным условием – задачи, в которых имеются лишние
данные, не нужные для решения, а лишь маскирующие необходимые для решения
задачи данные.
3. Задачи с неполным составом условия – задачи, в которых отсутствуют
некоторые данные, необходимые для решения задачи, вследствие чего дать
конкретный ответ на вопрос задачи не всегда представляется возможным.
4. Задачи с противоречивым условием – задачи, содержащие в условии
противоречие между данными. [9, с. 124-150]
В.А.Крутецкий описывает исследование, которое он с группой
исследователей проводил во многих школах СССР в течение 12 лет с 1955 по
1966 годы. Исследователи использовали задачи различных типов, среди которых
были и приведённые в этой классификации, в качестве тестовых заданий для
выявления психологических аспектов математических способностей школьников.
По результатам этого исследования получилось, что сильные ученики
справляются с задачами указанных типов практически самостоятельно, быстро,
практически без помощи испытателя. Ученики средних способностей также
неплохо справляются с подобными заданиями, однако для их решения им
требуется больше времени и иногда наводящий вопрос, наталкивающий на
решение. Слабые ученики практически не могли самостоятельно провести
решение этих задач, не видели связи между объектами задачи, и даже с
подсказкой испытателя не могли справиться с заданием.
Следует отметить, что именно с указанными типами задач исследователи
связывали наибольшие надежды.
В книге Д.Пойа "Как решать задачу" приводится похожая классификация,
отличающаяся лишь тем, что в ней отсутствуют задачи с несформированным
составом условия. Более того, в своей таблице, направленной в помощь
решателю, Д.Пойа первыми пунктами поставил вопросы: Возможно ли
удовлетворить условию? Достаточно ли условие для определения неизвестного?
или недостаточно? или чрезмерно? или противоречиво?
Вроде бы Пойа предполагает решение самых обычных, школьных задач,
однако он не исключает возможности наличия некоторых "аномалий" в условии
задачи, к существованию которых ученики должны быть готовы.
П.Эрдниев в своей книге [24, с.24,40] предлагает использовать в
обучении математике задачи с неполным составом условия ещё с младших
классов, причём он считает, что использование таких задач (деформированных
примеров, как он их называет) позволяет проводить обучение опережающими
темпами, с их помощью можно коренным образом изменить мыслительные процессы
решающего, превратив их в более сложные, более содержательные и потому
лучше развивающие способности ученика.
У Н.Метельского встречается такая классификация задач. Между условием
задачи (А) и её требованием (Х) может быть различное соотношение,
определяющее число решений. Обычно школьная задача имеет одно или несколько
определённых решений и потому называется определённой. Этот тип задачи
условно можно изобразить формулой импликации А=>Х, которую будем понимать
так, что условие А содержит достаточно и только достаточно данных для
выполнения требования Х. Если из условия А какое–либо данное опустить, то
получим неопредел
| |  скачать работу |
Нестандартные задачи в курсе школьной математики (неполное и избыточное условие) |
