Нестандартные задачи в курсе школьной математики (неполное и избыточное условие)
зованием всех задач
рассматриваемой классификации в одной из тем школьного курса геометрии.
Критерии создания такой системы задач рассматриваются в [19]. Автор
пишет :
"Последовательное, постепенно усложняющееся варьирование условия задач
является основным принципом, определяющим построение упражнений при
обучении решению типовых задач. Вначале – на первоначальных этапах
самостоятельного решения новой для ученика типовой задачи (после того, как
она разобрана в классе) – варьирование условия касается самых
несущественных его сторон, непосредственно не влияющих на применение
основного приёма решения, а именно сюжета задачи и числовых величин.
Последующее варьирование условия задачи имеет целью не столько закрепление
в памяти учащихся того или иного типового приёма (это тоже необходимо),
сколько выработку умения распознавать за различной внешней формой задачи её
одинаковую логическую структуру. На этом этапе большое значение приобретает
решение задач данного типа аналогичных по логической структуре, но
изменённых по словесной формулировке. При этом изменение формулировки
должно касаться той части условия, которая является определяющей для выбора
приёма решения.
Решая систему задач, построенную по этому принципу, учащиеся
приучаются улавливать самое существенное в условии задач, правильно
абстрагируясь от внешних сторон – своеобразия их формулировок.
На следующем этапе целесообразно вводить в условия задач
дополнительные элементы, увеличивая количество числовых данных.
Исследования показывают, что в этом случае, несмотря на то, что введение
дополнительных данных никак не влияет на использование основного приёма
решения, для учащихся всё же создаётся новая ситуация, требующая от них
умения вычленить ту часть условия, которая определяет применение типового
приёма и в ходе действий при решении задачи найти ему правильное место.
То же самое следует отметить и о применении задач переопределённых,
корректных, но вызывающих противоречие при решении. Эффект от введения этих
задач не стоит недооценивать, их цель в системе задач – вызов ситуации, при
которой задача не имеет решения при вроде бы существующем на самом деле
математическом (записываемом посредством математического языка) решении.
В дальнейшем уже можно прибегать к такому варьированию условий задачи,
которое требует видоизменения самого типового приёма. Такого рода
варьирование способствует выработке более сложных умений, значение которых
для формирования самостоятельного мышления учащихся очень велико. Речь идёт
в этих случаях о выработке умений перестраивать известные способы решения в
соответствии с изменением условий задачи. Успех этой перестройки
непосредственно зависит от того, в какой мере учащиеся умеют анализировать
задачи, улавливая одновременно и сходное и различное." [19, с. ]
И, наконец, последнее видоизменение условия задачи – составлять
условие таким образом, чтобы некоторых данных в них не хватало. С учётом
предыдущего опыта учеников по решению задач, этот тип задач, во–первых,
будет для них несколько сложным и новым, во–вторых, решая задачи такого
типа, ученики более наглядно осознают скрытые свойства объекта задачи,
уясняют более детально динамические соотношения между понятиями и
определениями, применяемыми при решении данной задачи.
IV. Расширенная система задач по теме «Сумма углов треугольника»
В соответствии с вышесказанным предлагается к рассмотрению система
задач по теме "Сумма углов треугольника" (геометрия, 7 класс). Тема эта не
громоздкая, достаточно чёткая и богато насыщенная различного рода задачными
ситуациями.
Для составления требуемой системы задач было выделено 5 основных
аспектов данной темы:
. непосредственное использование указанного свойства углов в
произвольном треугольнике;
. то же – для равнобедренного треугольника;
. то же – для прямоугольного треугольника;
. то же – для углов, образованных внутри треугольника медианами,
биссектрисами, высотами и др.;
. то же – с выходом на внешние углы треугольника.
I. Применение свойства углов для произвольного треугольника
1. Два угла треугольника равны 26( и 118(. Найти величину третьего угла
треугольника.
2. Два угла треугольника равны 118( и 62(. Найти величину третьего
угла.
3. Найти углы треугольника, если они пропорциональны числам 3, 4, 5.
4. В треугольнике ABC угол A равен 24(, угол C в два раза больше угла
B. Найти неизвестные углы треугольника.
5. Найти углы треугольника, если один из его углов равен сумме двух
других, а два меньших угла относятся, как 2:3.
6. Найти попарные отношения углов треугольника, если один из них равен
36(, а второй – 84(. (Задача имеет 6 ответов).
7. В треугольнике ABC угол A равен 30(, угол B равен 70(, и два угла
относятся, как 7:8. Найти углы треугольника ABC.
8. В треугольнике ABC угол A равен 30(, угол B равен 70(, и два угла
относятся, как 4:7. Найти углы треугольника ABC.
9. В треугольнике ABC угол A равен 30( и углы относятся, как 1:1:4.
Найти углы треугольника ABC.
10. В треугольнике ABC угол А равен 30(, и углы относятся как 1:2:6.
Найти углы треугольника ABC.
11. В треугольнике АВС угол А равен 70(, и два угла относятся как 5:6.
Найти углы треугольника АВС.
Первая задача традиционна для этой темы. Но вторая уже заставляет
задуматься о возможных границах ответов в таких задачах.
Шестая задача выводит на необходимость вариативных рассуждений, о чём
подсказка в скобках, тем самым готовит учащихся к вариативным рассуждениям
в следующей задаче. Для решения задачи 7 ученик должен сначала задуматься
об отношении каких именно углов идёт речь? Некоторые из этих вариантов
будут отброшены как противоречивые, но не сразу, а после необходимых
вычислений. Для ответа останется один из них. В задаче же 8 ни один из
рассмотренных вариантов не выведет на ответ. Аналогичные рассуждения
понадобятся и при решении задач 8–11.
II. Применение свойства углов для равнобедренного треугольника
1. Найти углы равнобедренного треугольника, если угол при его вершине
равен 28(.
2. Найти углы равнобедренного треугольника, если угол при его основании
равен 28(.
3. Может ли равнобедренный треугольник иметь углы величиной 55( и 70 (?
24( и 62(?
4. Найти углы равнобедренного треугольника, если один из них равен
100(.
5. Найти углы равнобедренного треугольника, если два его угла
соответственно равны: а) 55( и 70(; б) 40( и 110(; в) 20( и 20(; г)
60( и 60(.
6. Может ли биссектриса, медиана или высота треугольника разбивать его
на два равносторонних треугольника?
7. Найти углы равнобедренного треугольника, у которого высота,
проведённая к основанию, разбивает его на 2 треугольника так, что
соотношение острых углов каждого из полученных треугольников равно
1:2.
8. Доказать, что равнобедренный треугольник с углом 60( является
равносторонним.
9. Какими могут быть углы равнобедренного треугольника , если
биссектриса одного из углов разбивает треугольник на два
равнобедренных треугольника.
10. Доказать, что если любые две биссектрисы треугольника, пересекаясь,
образуют со сторонами равнобедренные треугольники, то данный
треугольник равносторонний.
11. Доказать, что отрезки высот равностороннего треугольника образуют со
сторонами этого треугольника 3 равнобедренных треугольника.
Последние две задачи этого раздела – привычные задачи школьного
учебника. Но решать такие задачи ученики не любят именно потому, что здесь
требуется выполнить перебор всех возможных вариантов, к чему они не очень
хорошо подготовлены. Поэтому предыдущие задачи в большей своей части и
содержат необходимость выполнения перебора вариантов, что, как нам
представляется, и должно подготовить учащихся к решению двух последних
задач.
III. Применение свойства углов для прямоугольного треугольника
1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 73(. Найти другой
его острый угол.
2. В прямоугольном треугольнике один угол равен 65(. Найти величины
остальных углов.
3. Один из острых углов прямоугольного треугольника в 5 раз больше
другого. Найти эти углы.
4. Найти острые углы прямоугольного треугольника. если один из них на
32( больше другого.
5. Острые углы прямоугольного треугольника пропорциональны числам 5 и
7. Найти эти углы.
6. Разность острых углов прямоугольного треугольника равна 15(. Найти
эти углы.
7. Найти углы прямоугольного треугольника. если один из них в 5 раз
больше другого.
8. Найти углы прямоугольного треугольника, если один из них на 32(
больше другого.
9. Найти углы прямоугольного треугольника, если один из них в 3 раза
меньше другого.
10. Углы треугольника пропорциональны числам Х, 8 и 10. Каким может быть
число Х, если треугольник прямоугольный?
11. Два угла прямоугольного треугольника пропорциональны числам 2 и 3.
Найти углы треугольника.
12. Можно ли найти отношение сторон прямоугольн
| |  скачать работу |
Нестандартные задачи в курсе школьной математики (неполное и избыточное условие) |
