Нестандартный анализ
Другие рефераты
Нестандартный анализ возник в 1960 году, когда Абрахам Робинсон,
специалист по теории моделей, понял, каким образом методы математической
логики позволяют оправдать классиков математического анализа XVII и XVIII
вв., поставив на строгую основу их рассуждения, использующие “бесконечно
большие” и бесконечно малые величины. Таким образом, речь шла не о каких-то
новых “нестандартных” методах, не имеющих ничего общего с традиционной
математикой, а о развитии новых средств внутри стандартной (теоретико-
множественной) математики.
Нестандартный анализ остался бы любопытным курьезом, если бы
единственным его приложением было обоснование рассуждений классиков
математического анализа. Он оказался полезным и при развитии новых
математических теорий. Нестандартный анализ можно сравнить с мостом,
переброшенным через реку. Постройка моста не расширяет доступной нам
территории, но сокращает путь с одного берега на другой. Подобным образом
нестандартный анализ делает доказательства многих теорем короче.
Однако, быть может, главное значение нестандартного анализа состоит в
другом. Язык нестандартного анализа оказался удобным средством построения
математических моделей физических явлений. Идеи и методы нестандартного
анализа могут стать важной частью будущей физической картины мира. Во
всяком случае уже сейчас многие специалисты по математической физике
активно используют нестандартный анализ в своей работе.
Несколько примеров нестандартного анализа:
Пример 1. Вычислим производную функции [pic]. Дадим аргументу x
приращение dx, перейдя от точки x к точке x+dx. Выясним, насколько при
этом изменилось значение функции[pic]. В точке х оно равнялось [pic] . В
точке [pic] оно равняется [pic][pic][pic]. Таким образом, оно изменилось
на [pic] . Отношение приращения[pic] [pic] функции [pic] к приращению
[pic]аргумента[pic] равно
[pic][pic]
Если [pic][pic]бесконечно мало, то членом [pic] в сумме [pic] можно
пренебречь, и искомая производная равна [pic].
Пример 2. Вычислим аналогичным способом производную функции
[pic][pic]. Приращение [pic]равно [pic][pic]; частное [pic][pic]равно[pic]
[pic].
[pic]Взяв [pic]бесконечно малым, получаем, что производная равна
[pic].
Пример 5. Построение неизмеримого множества. Каждое действительное
число [pic], удовлетворяющее неравенству [pic],разлагаем в бесконечную
двоичную дробь; для обеспечения однозначности запрещаем разложения с
бесконечным числом идущих подряд единиц. Фиксируем произвольное бесконечно
большое натуральное число[pic] и отбираем те действительные числа , у
которых [pic]-й член разложения равен единице; множество всех отобранных
таким образом действительных чисел неизмеримо по Лебегу.
Если примеры 1 и 2 хотя и могут шокировать нас наивной нестрогостью,
но всё же в известной мере соответствуют интуиции, то пример 5
представляется просто-напросто абракадаброй.
Нестандартный анализ, однако, почти сплошь состоит из подобной
абракадабры, имеющей в нём точный математический смысл. Он позволяет, в
частности, с новой точки зрения посмотреть на многие рассуждения классиков
математического анализа, кажущиеся нестрогими, но приводящие к успеху, и
путём относительно небольших уточнений сделать их удовлетворяющими
современным критериям строгости.
ЧТО ТАКОЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ?
Один из наиболее принципиальных моментов нестандартного анализа
состоит в том, что бесконечно малые рассматриваются не как переменные
величины, а как величины постоянные. Достаточно раскрыть любой учебник
физики, чтобы натолкнуться на бесконечно малые приращения, бесконечно малые
объёмы и т. п. Все эти величины мыслятся, разумеется, не как переменные, а
просто как очень маленькие, почти равные нулю.
Итак, речь будет идти о бесконечно малых числах. Какое число следует
называть бесконечно малым? Предположим, что это положительное число[pic],
если оно меньше всех положительных чисел. Легко понять , что такого не
бывает: если [pic] больше нуля , то оно является одним из положительных
чисел , поэтому наше определение требует , чтобы число [pic] было меньше
самого себя. Поэтому потребуем, чтобы [pic] было наименьшим в множестве
положительных чисел. На числовой оси такое [pic] должно изобразиться самой
левой точкой множества [pic]. К сожалению числа [pic] с указанными
свойствами тоже нет и быть не может: число [pic] будет положительным
числом, меньшим [pic] .
Более точное определение бесконечной малости числа [pic]>0 [pic],
которое мы будем использовать в[pic]дальнейшем таково. Будем складывать
число [pic] с самим собой, получая числа [pic]+[pic] и т. д. Если все
полученные числа окажутся меньше 1, то число [pic]и будет называться
бесконечно малым. Другими словами, если [pic] бесконечно мало, то сколько
раз не откладывай отрезок длины [pic] вдоль отрезка длины 1, до конца не
дойдёшь. Наше требование к бесконечно малому [pic] можно переписать в такой
форме[pic]
1<[pic]
Таким образом, если число [pic] бесконечно мало, то число [pic] [pic]
бесконечно велико в том смысле, что оно больше любого из чисел : 1, 1+1,
1+1+1, 1+1+1+1 и т.д. Из сказанного можно видеть, что существование
бесконечно малых противоречит так называемой аксиоме Архимеда, которая
утверждает, что для любых двух отрезков А и В можно отложить меньший из них
(А) столько раз, чтобы в сумме получить отрезок, превосходящий по длине
больший отрезок (В).
Вывод таков: если мы хотим рассматривать бесконечно малые , мы должны
расширить множество R действительных чисел до некоторого большого множества
*R. Элементы этого нового множества мы будем называть гипердействительными
числами. В нём аксиома Архимеда не выполняется и существуют бесконечно
малые числа, такие, что сколько их не складывай с собой, сумма будет всё
время оставаться меньше 1. Нестандартный, или неархимедов, анализ изучает
множество гипердействительных чисел *R. [pic]
Какие требования естественно предъявлять к гипердействительным числам?
1). Чтобы множество гипердействительных чисел содержало все
обыкновенные действительные числа: R [pic]*R.
2).Чтобы над гипердействительными числами можно было выполнять обычные
операции: любые два гипердействительные числа нужно уметь складывать,
умножать, вычитать и делить, причем так, чтобы выполнялись обычные свойства
сложения и умножения. Кроме того, нужно уметь сравнивать
гипердействительные числа по величине, т.е. решить какое из них больше.
Пусть имеется некоторое множество Р, в нём выделены некоторые элементы
0 и 1 и определены операции сложения, вычитания, умножения и деления,
ставящие в соответствие двум любым элементам [pic]и [pic] множества Р их
сумму [pic] , произведение [pic], разность [pic] и частное [pic] (если
[pic]). Пусть при этом перечисленные операции обладают всеми обычными
свойствами.
1) [pic];
2) [pic];
3) [pic];
4) [pic];
5) [pic];
6) [pic];
7) [pic];
8) [pic];
9) [pic] (если [pic]).
В таком случае множество Р называется полем. Пусть на поле Р введён
порядок, т. е. для любой пары не равных друг другу элементов [pic]и [pic]
определено, который из них больше. При этом выполняются такие свойства:
10) если [pic] и [pic] , то [pic];
10) если [pic], то [pic] для любого [pic];
11) если [pic], [pic], то [pic];
если [pic], [pic], то [pic].
В таком случае говорят, что введенный порядок превращает Р в
упорядоченное поле. Упорядоченное поле Р является неархимедовым тогда и
только тогда, когда в нём есть положительные бесконечно малые элементы.
Упорядоченное поле Р называется расширением поля действительных чисел R,
если Р содержит все действительные числа и, кроме того, операции и порядок
из Р, рассматриваемые на элементах их R, совпадают с обычными
арифметическими операциями и обычным порядком на действительных числах.
ПРИМЕР НЕАРХИМЕДОВОЙ ЧИСЛОВОЙ СИСТЕМЫ
Построим пример неархимедова упорядоченного поля, являющегося
расширением поля действительных чисел.
Предположим, что искомое расширение *R уже построено, и исследуем его
строение. Элементы множества *R мы будем называть гипердействительными
числами. Среди них содержатся и все действительные числа. Чтобы отличить
их, будем называть действительные числа (элементы R) стандартными, а
остальные гипердействительные числа (элементы *R/R)—нестандартными.
По нашему предположению, поле *R содержит бесконечно малые числа, не
равные нулю. Гипердействительное число [pic] называется бесконечно малым,
если все суммы
[pic] [pic] [pic] и т. д.
меньше 1. Здесь через [pic]обозначен модуль гипердействительного числа
[pic], определяемый так [pic][pic] [pic].
Отметим, что стандартное число 0 также оказывается, согласно этому
определению, бесконечно малым. Но все остальные бесконечно малые числа не
могут стандартными. Это следует из того, что для стандартных чисел
справедлива аксиома Архимеда.
Наряду с бесконечно малыми в поле *R существуют и бесконечно большие.
Мы называем гипердействительное число А бесконечно большим, если
[pic]
| |  скачать работу |
Другие рефераты
| 
