Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Нестандартный анализ



 Другие рефераты
Некоторые дополнительные вычислительные методы Некоторые подходы к задачам распознавания и их приложениям Политика военного коммунизма в Советской России Политика и экономика Италии 40х-90х годов

Нестандартный анализ возник  в  1960  году,  когда  Абрахам  Робинсон,
специалист по теории моделей, понял, каким  образом   методы  математической
логики позволяют оправдать классиков математического анализа  XVII и   XVIII
вв., поставив на строгую основу их  рассуждения,  использующие   “бесконечно
большие” и бесконечно малые величины. Таким образом, речь шла не о  каких-то
новых “нестандартных” методах,  не  имеющих  ничего  общего  с  традиционной
математикой, а о  развитии  новых  средств  внутри  стандартной  (теоретико-
множественной) математики.
      Нестандартный  анализ  остался  бы  любопытным   курьезом,   если   бы
единственным  его  приложением  было   обоснование   рассуждений   классиков
математического  анализа.  Он  оказался  полезным  и  при   развитии   новых
математических  теорий.  Нестандартный  анализ  можно  сравнить  с   мостом,
переброшенным  через  реку.  Постройка  моста  не  расширяет  доступной  нам
территории, но сокращает путь с одного берега на  другой.  Подобным  образом
нестандартный анализ делает доказательства многих теорем короче.
      Однако, быть может, главное значение нестандартного анализа состоит  в
другом. Язык нестандартного анализа оказался  удобным  средством  построения
математических моделей физических  явлений.  Идеи  и  методы  нестандартного
анализа могут стать  важной  частью  будущей  физической  картины  мира.  Во
всяком  случае  уже  сейчас  многие  специалисты  по  математической  физике
активно используют нестандартный анализ в своей работе.
      Несколько примеров нестандартного анализа:
      Пример 1.  Вычислим производную  функции   [pic].  Дадим  аргументу  x
приращение dx, перейдя от точки x к  точке   x+dx.  Выясним,  насколько  при
этом изменилось значение функции[pic]. В точке  х  оно равнялось [pic]  .  В
точке  [pic]  оно  равняется [pic][pic][pic]. Таким образом, оно  изменилось
на [pic] .  Отношение  приращения[pic]  [pic]  функции  [pic]  к  приращению
[pic]аргумента[pic] равно
                                 [pic][pic]
      Если [pic][pic]бесконечно мало, то членом [pic] в  сумме  [pic]  можно
пренебречь, и искомая производная равна [pic].
      Пример  2.   Вычислим   аналогичным   способом   производную   функции
[pic][pic]. Приращение [pic]равно [pic][pic]; частное [pic][pic]равно[pic]
                                   [pic].
      [pic]Взяв [pic]бесконечно малым, получаем, что производная равна
                                    [pic].
      Пример 5.  Построение неизмеримого  множества.  Каждое  действительное
число  [pic],  удовлетворяющее  неравенству  [pic],разлагаем  в  бесконечную
двоичную  дробь;  для  обеспечения  однозначности  запрещаем  разложения   с
бесконечным числом идущих подряд единиц. Фиксируем  произвольное  бесконечно
большое натуральное число[pic]  и  отбираем  те  действительные  числа  ,  у
которых  [pic]-й член разложения равен единице;  множество  всех  отобранных
таким образом действительных чисел неизмеримо по Лебегу.
      Если примеры 1 и 2 хотя и могут шокировать нас  наивной  нестрогостью,
но  всё  же  в  известной  мере  соответствуют   интуиции,   то   пример   5
представляется просто-напросто абракадаброй.
      Нестандартный  анализ,  однако,  почти  сплошь  состоит  из   подобной
абракадабры, имеющей в нём точный  математический  смысл.  Он  позволяет,  в
частности, с новой точки зрения посмотреть на многие  рассуждения  классиков
математического анализа, кажущиеся нестрогими, но  приводящие  к  успеху,  и
путём  относительно  небольших   уточнений   сделать   их   удовлетворяющими
современным критериям строгости.

                       ЧТО  ТАКОЕ  БЕСКОНЕЧНО  МАЛЫЕ ?

      Один  из  наиболее  принципиальных  моментов  нестандартного   анализа
состоит в том,  что  бесконечно  малые  рассматриваются  не  как  переменные
величины, а как  величины  постоянные.  Достаточно  раскрыть  любой  учебник
физики, чтобы натолкнуться на бесконечно малые приращения, бесконечно  малые
объёмы и т. п. Все эти величины мыслятся, разумеется, не как  переменные,  а
просто как очень маленькие, почти равные нулю.
      Итак, речь будет идти о бесконечно малых числах. Какое  число  следует
называть бесконечно малым? Предположим, что  это  положительное  число[pic],
если оно меньше всех положительных чисел.  Легко  понять  ,  что  такого  не
бывает: если [pic] больше нуля , то  оно  является  одним  из  положительных
чисел , поэтому наше определение требует , чтобы  число  [pic]  было  меньше
самого себя. Поэтому потребуем, чтобы  [pic]  было  наименьшим  в  множестве
положительных чисел. На числовой оси такое [pic] должно  изобразиться  самой
левой  точкой  множества  [pic].  К  сожалению  числа  [pic]  с   указанными
свойствами тоже нет и  быть  не  может:  число  [pic]   будет  положительным
числом, меньшим [pic] .
      Более точное определение  бесконечной  малости  числа  [pic]>0  [pic],
которое мы будем  использовать  в[pic]дальнейшем  таково.  Будем  складывать
число [pic]  с самим собой, получая числа  [pic]+[pic]  и  т.  д.  Если  все
полученные числа  окажутся  меньше  1,  то  число  [pic]и  будет  называться
бесконечно малым. Другими словами, если [pic] бесконечно  мало,  то  сколько
раз не откладывай отрезок длины [pic] вдоль отрезка длины  1,  до  конца  не
дойдёшь. Наше требование к бесконечно малому [pic] можно переписать в  такой
форме[pic]
                                   1<[pic]
      Таким образом, если число [pic] бесконечно мало, то число [pic]  [pic]
бесконечно велико в том смысле, что оно больше любого из  чисел  :  1,  1+1,
1+1+1,  1+1+1+1  и  т.д.  Из  сказанного  можно  видеть,  что  существование
бесконечно малых  противоречит  так  называемой  аксиоме  Архимеда,  которая
утверждает, что для любых двух отрезков А и В можно отложить меньший из  них
(А) столько раз, чтобы в сумме  получить  отрезок,  превосходящий  по  длине
больший отрезок (В).
      Вывод таков: если мы хотим рассматривать бесконечно малые , мы  должны
расширить множество R действительных чисел до некоторого большого  множества
*R. Элементы этого нового множества мы будем  называть  гипердействительными
числами. В нём аксиома  Архимеда  не  выполняется  и  существуют  бесконечно
малые числа, такие, что сколько их не складывай с  собой,  сумма  будет  всё
время оставаться меньше 1. Нестандартный, или  неархимедов,  анализ  изучает
множество гипердействительных чисел *R. [pic]
      Какие требования естественно предъявлять к гипердействительным числам?
      1).  Чтобы   множество   гипердействительных   чисел   содержало   все
обыкновенные действительные числа: R [pic]*R.
      2).Чтобы над гипердействительными числами можно было выполнять обычные
операции:  любые  два  гипердействительные  числа  нужно  уметь  складывать,
умножать, вычитать и делить, причем так, чтобы выполнялись обычные  свойства
сложения   и    умножения.    Кроме    того,    нужно    уметь    сравнивать
гипердействительные числа по величине, т.е. решить какое из них больше.
      Пусть имеется некоторое множество Р, в нём выделены некоторые элементы
0 и 1 и  определены  операции  сложения,  вычитания,  умножения  и  деления,
ставящие в соответствие двум любым элементам [pic]и  [pic]  множества  Р  их
сумму [pic] , произведение [pic],  разность  [pic]  и  частное  [pic]  (если
[pic]). Пусть  при  этом  перечисленные  операции  обладают  всеми  обычными
свойствами.
     1) [pic];
     2) [pic];
     3) [pic];
     4) [pic];
     5) [pic];
     6) [pic];
     7) [pic];
     8) [pic];
     9) [pic] (если [pic]).
      В таком случае множество Р называется полем. Пусть на  поле  Р  введён
порядок, т. е. для любой пары не равных друг другу  элементов  [pic]и  [pic]
определено, который из них больше. При этом выполняются такие свойства:
    10) если [pic]  и  [pic] , то [pic];
    10) если [pic], то [pic] для любого [pic];
    11) если  [pic], [pic], то [pic];
              если [pic], [pic], то [pic].
      В  таком  случае  говорят,  что  введенный  порядок  превращает  Р   в
упорядоченное поле. Упорядоченное поле  Р  является  неархимедовым  тогда  и
только тогда, когда в нём  есть  положительные  бесконечно  малые  элементы.
Упорядоченное поле Р называется расширением  поля  действительных  чисел  R,
если Р содержит все действительные числа и, кроме того, операции  и  порядок
из  Р,  рассматриваемые  на   элементах   их   R,   совпадают   с   обычными
арифметическими операциями и обычным порядком на действительных числах.

                  ПРИМЕР  НЕАРХИМЕДОВОЙ  ЧИСЛОВОЙ  СИСТЕМЫ

      Построим  пример   неархимедова   упорядоченного   поля,   являющегося
расширением поля действительных чисел.
      Предположим, что искомое расширение *R уже построено, и исследуем  его
строение. Элементы  множества  *R  мы  будем  называть  гипердействительными
числами. Среди них содержатся и все  действительные  числа.  Чтобы  отличить
их,  будем  называть  действительные  числа  (элементы  R)  стандартными,  а
остальные гипердействительные числа (элементы *R/R)—нестандартными.
      По нашему предположению, поле *R содержит бесконечно малые  числа,  не
равные нулю. Гипердействительное число [pic]  называется  бесконечно  малым,
если все суммы

                             [pic]  [pic]  [pic]   и т. д.
   меньше 1. Здесь через [pic]обозначен модуль гипердействительного числа
                [pic], определяемый так    [pic][pic]  [pic].
      Отметим, что стандартное число 0  также  оказывается,  согласно  этому
определению, бесконечно малым. Но все остальные бесконечно  малые  числа  не
могут  стандартными.  Это  следует  из  того,  что  для  стандартных   чисел
справедлива аксиома Архимеда.
      Наряду с бесконечно малыми в поле *R существуют и бесконечно  большие.
Мы называем гипердействительное число А бесконечно большим, если
                               [pic]  
123
скачать работу


 Другие рефераты
Юнг. Аналитическая психология
Психологическая характеристика причин семейных конфликтов
Крепостное крестьянство в романе Пушкина Евгений Онегин
Еңбекақы


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ