О взаимосвязи философии и математики
й математики, в которой бы
выявленные Зеноном противоречия не имели бы места. Эту задачу решил
Демокрит, разработав концепцию математического атомизма.
Демокрит был, по мнению Маркса, «первым энциклопедическим умом среди
греков»[15]. Диоген Лаерций (III в. н.э.) называет 70 его сочинений, в
которых были освещены вопросы философии, логики, математики, космологии,
физики, биологии, общественной жизни, психологии, этики, педагогики,
филологии, искусства, техники и другие. Аристотель писал о нем: «Вообще,
кроме поверхностных изысканий, никто ничего не установил, исключая
Демокрита. Что же касается его, то получается такое впечатление, что он
предусмотрел все, да и в методе вычислений он выгодно отличается от
других»[16].
Вводной частью научной системы Демокрита была «каноника», в которой
формулировались и обосновывались принципы атомистической философии. Затем
следовала физика, как наука о различных проявлениях бытия, и этика.
Каноника входила в физику в качестве исходного раздела, этика же строилась
как порождение физики. В философии Демокрита прежде всего устанавливается
различие между «подлинно сущим» и тем, что существует только в «общем
мнении». Подлинно сущими считались лишь атомы и пустота. Как подлинно
сущее, пустота (небытие) есть такая же реальность, как атомы (бытие).
«Великая пустота» безгранична и заключает в себе все существующее, в ней
нет ни верха, ни низа, ни края, ни центра, она делает прерывной материю и
возможным ее движение. Бытие образуют бесчисленные мельчайшие качественно
однородные первотельца, различающиеся между собой по внешним формам,
размеру, положению и порядку, они далее неделимы вследствие абсолютной
твердости и отсутствия в них пустоты и «по величине неделимы». Атомам самим
по себе свойственно непрестанное движение, разнообразие которого
определяется бесконечным разнообразием форм атомов. Движение атомов вечно и
в конечном итоге является причиной всех изменений в мире.
Задача научного познания, согласно Демокриту, состоит в том, чтобы
наблюдаемые явления свести к области «истинного сущего» и дать им
объяснение исходя из общих принципов атомистики. Это может быть достигнуто
посредством совместной деятельности ощущений и разума. Гносеологическую
позицию Демокрита Маркс сформулировал следующим образом: «Демокрит не
только не удалялся от мира, а, наоборот, был эмпирическим
естествоиспытателем»[17]. Содержание исходных философских принципов и
гносеологические установки определили основные черты научного метода
Демокрита:
а) в познании исходить от единичного;
б) любые предмет и явление разложимы до простейших элементов (анализ)
и объяснимы исходя из них (синтез);
в) различать существование «по истине» и «согласно мнению»;
г) явления действительности - это отдельные фрагменты упорядоченного
космоса, который возник и функционирует в результате действий чисто
механической причинности.
Математика по праву должна считаться у Демокрита первым разделом
собственно физики и следовать непосредственно за каноникой. В самом деле,
атомы качественно однородны и их первичные свойства имеют количественный
характер. Однако было бы неправильно трактовать учение Демокрита как
разновидность пифагореизма, поскольку Демокрит хотя и сохраняет идею
господства в мире математической закономерности, но выступает с критикой
априорных математических построений пифагорейцев, считая, что число должно
выступать не законодателем природы, а извлекаться из нее. Математическая
закономерность выявляется Демокритом из явлений действительности, и в этом
смысле он предвосхищает идеи математического естествознания. Исходные
начала материального бытия выступают у Демокрита в значительной степени как
математические объекты, и в соответствии с этим математике отводится видное
место в системе мировоззрения как науке о первичных свойствах вещей. Однако
включение математики в основание мировоззренческой системы потребовало ее
перестройки, приведения математики в соответствие с исходными философскими
положениями, с логикой, гносеологией, методологией научного исследования.
Созданная таким образом концепция математики, называемая концепцией
математического атомизма, оказалась существенно отличной от предыдущих.
У Демокрита все математические объекты (тела, плоскости, линии, точки)
выступают в определенных материальных образах. Идеальные плоскости, линии,
точки в его учении отсутствуют. Основной процедурой математического
атомизма является разложение геометрических тел на тончайшие листики
(плоскости), плоскостей - на тончайшие нитки (линии), линий - на мельчайшие
зернышки (атомы). Каждый атом имеет малую, но ненулевую величину и далее
неделим. Теперь длина линии определяется как сумма содержащихся в ней
неделимых частиц. Аналогично решается вопрос о взаимосвязи линий на
плоскости и плоскостей в теле. Число атомов в конечном объеме пространства
не бесконечно, хотя и настолько велико, что недоступно чувствам. Итак,
главным отличием учения Демокрита от рассмотренных ранее является отрицание
им бесконечной делимости. Таким образом он решает проблему правомерности
теоретических построений математики, не сводя их к чувственно
воспринимаемым образам, как это делал Протагор. Так, на рассуждения
Протагора о касании окружности и прямой Демокрит мог бы ответить, что
чувства, являющиеся отправным критерием Протагора, показывают ему, что чем
точнее чертеж, тем меньше участок касания; в действительности же этот
участок настолько мал, что не поддается чувственному анализу, а относится к
области истинного познания.
Руководствуясь положениями математического атомизма, Демокрит проводит
ряд конкретных математических исследований и достигает выдающихся
результатов (например, теория математической перспективы и проекции). Кроме
того, он сыграл, по свидетельству Архимеда, немаловажную роль в
доказательстве Евдоксом теорем об объеме конуса и пирамиды. Нельзя с
уверенностью сказать, пользовался ли он при решении этой задачи методами
анализа бесконечно малых. А.О. Маковельский пишет: «Демокрит вступил на
путь, по которому дальше пошли Архимед и Кавальери. Однако, подойдя
вплотную к понятию бесконечно малого, Демокрит не сделал последнего
решительного шага. Он не допускает безграничного увеличения числа
слагаемых, образующих в своей сумме данный объем. Он принимает лишь
чрезвычайно большое, не поддающееся исчислению вследствие своей огромности
число этих слагаемых»[18].
Выдающимся достижением Демокрита в математике явилась также его идея о
построении теоретической математики как системы. В зародышевой форме она
представляет собой идею аксиоматического построения математики, которая
затем была развита в методологическом плане Платоном и получила логически
развернутое положение у Аристотеля.
ПЛАТОНОВСКИЙ ИДЕАЛИЗМ
Сочинения Платона (427-347 гг. до н.э.) - уникальное явление в
отношении выделения философской концепции. Это высокохудожественное,
захватывающее описание самого процесса становления концепции, с сомнениями
и неуверенностью, подчас с безрезультатными попытками разрешения
поставленного вопроса, с возвратом к исходному пункту, многочисленными
повторениями и т.п. Выделить в творчестве Платона какой-либо аспект и
систематически изложить его довольно сложно, так как приходится
реконструировать мысли Платона из отдельных высказываний, которые настолько
динамичны, что в процессе эволюции мысли порой превращаются в свою
противоположность.
Платон неоднократно высказывал свое отношение к математике и она
всегда оценивалась им очень высоко: без математических знаний «человек с
любыми природными свойствами не станет блаженным»[19], в своем идеальном
государстве он предполагал «утвердить законом и убедить тех, которые
намереваются занять в городе высокие должности, чтобы они упражнялись в
науке счисления»[20]. Систематическое широкое использование математического
материала имеет место у Платона, начиная с диалога «Менон», где Платон
подводит к основному выводу с помощью геометрического доказательства.
Именно вывод этого диалога о том, что познание есть припоминание, стал
основополагающим принципом платоновской гносеологии.
Значительно в большей мере, чем в гносеологии, влияние математики
обнаруживается в онтологии Платона. Проблема строения материальной
действительности у Платона получила такую трактовку: мир вещей,
воспринимаемый посредством чувств, не есть мир истинно существующего; вещи
непрерывно возникают и погибают. Истинным бытием обладает мир идей, которые
бестелесны, нечувственны и выступают по отношению к вещам как их причины и
образы, по которым эти вещи создаются. Далее, помимо чувственных предметов
и идей он устанавливает математические истины, которые от чувственных
предметов отличаются тем, что вечны и неподвижны, а от идей - тем, что
некоторые математические истины сходна друг с другом, идея же всякий раз
только одна. У Платона в качестве материи началами являются большое и
малое, а в качестве сущности - единое, ибо идеи (они же числа) получаются
из большого и малого через приобщение их
| |  скачать работу |
О взаимосвязи философии и математики |
