Обобщающее повторение по геометрии на примере темы Четырехугольник
считается
необходимым для А, можно дать, если познакомить учащихся с вопросом о видах
теорем и связи между ними. Записываем схему:
(1) А?В В?А (2)
(3) нет А ? нет В нет В ? нет А (4)
Сообщаем, что если утверждение (1) назвать прямым, то утверждение (2)
будет к нему обратным, утверждение (3) — противоположным прямому, а
(4)—противоположно обратному. Далее доказывается, что из справедливости
утверждения (1) следует справедливость утверждения (4) [(1)?(4)] и
наоборот, т. е. (4)?(1).
Сообщается, что если (1)?(4), то утверждения называются
эквивалентными. Аналогично эквивалентны утверждения (2) и (3) [(2)?(3)].
Словами формулу (1)?(4) можно расшифровать так: если из условия А
следует (вытекает) условие В, то без в нет и А (из нет в нет А), иными
словами В необходимо для А (без В не будет и А).
А далее сообщаем, что необходимое условие дает нам свойство, а если
условие не только необходимо, но и достаточно, то получаем признак.
Иными словами, чтобы получить свойство В какого-нибудь объекта А,
достаточно доказать теорему А?В, а чтобы убедиться, что рассматриваемое
свойство В является признаком, следует ещё доказать теорему В?А (обратную).
Вместе с учащимися вспоминаем все свойства параллелограмма и
составляем таблицу.
Дано: АВСД – параллелограмм
Доказать: 1) АВ || СД
2) ВС || АД
3) АВ = СД
4) ВС = АД
5) АО = ОС
6) ВО = ОД
7) (А = (С
8) (В = (Д
9) (А + (В = 1800
10) (С + (В = 1800
11) (С + (Д = 1800
12) (А + (Д = 1800
Обращаем внимание на тот факт, что каждое из условий 1–12 вытекает из
того, что АВСД — параллелограмм, следовательно, каждое из них является
необходимым условием того, чтобы четырехугольник АВСД был параллелограммом.
Легко убедиться, что из каждого из условий 1–12 не следует, что АВСД —
параллелограмм (например, если дано, что АВ II СД, что имеем трапецию, ибо
ВС || АД).
Таким образом, каждое из условий 1–12, взятое в отдельности, признаком
параллелограмма не является. Теперь начнём комбинировать свойства по два
(Сколько таких комбинаций будет? Как сосчитать все комбинации, чтобы быть
убеждённым, что ни одна не пропущена?). Убеждаемся, что некоторые из
комбинаций дают признак параллелограмма. Какие из комбинаций по два дают
известные уже вам признаки параллелограмма? [(1, 2), (1, 3), (2, 4), (5,
6)].
В то же время легко видеть, что не каждая из комбинаций по два дает
признак параллелограмма. Например, из того что АВ II СД и ВС = АД следует,
что фигура АВСД — равнобочная трапеция, а не параллелограмм.
Естественно встает вопрос, сколько же всего признаков у
параллелограмма? Для ответа на этот вопрос нужно перебрать все возможные
комбинации и либо доказать полученную теорему, либо привести пример,
опровергающий её (контрпример). Ясно, что эта работа на уроке проделана
быть не может. Она может быть дана в качестве индивидуальных заданий на дом
хорошо успевающим учащимся, или еще лучше, предложена в качестве
коллективной работы кружковцам. Здесь встают интересные вопросы о
планировании работы, о разделении труда при решении этой проблемы, об
организации самоконтроля и взаимоконтроля, о подведении окончательных
итoгoв, т.e. вопросы, возникающие при организации любой трудовой
деятельности.
Далее аналогичную работу можно провести по выяснению признаков
прямоугольника и ромба. Но этой работе должно предшествовать уточнение
определений прямоугольника и ромба. Действительно, достаточно потребовать,
чтобы у параллелограмма был один прямой угол, т. к. из условия (АВСД —
параллелограмм; ?А=900) следует, что ?В=900, ?С=900, ?Д=900. Для
доказательства этого факта достаточно воспользоваться известными свойствами
углов параллелограмма.
Аналогично, легко доказать теорему (АВСД — параллелограмм,
АВ=ВС?АВ=ВС=СД=АД), из которой следует, что ромбом называется
параллелограмм, у которого две смежные стороны равны.
Можно не менять привычные учащимся избыточные определения, но
обязательно подчеркнуть тот факт, что, чтобы убедиться, что рассматриваемый
параллелограмм будет ромбом, достаточно проверить равенство двух смежных
сторон, а чтобы убедиться, что он будет прямоугольником, достаточно
доказать, что один из его углов прямой.
После этого отмечаем особые свойства диагоналей прямоугольника и ромба
и опять ставим вопрос, будут ли эти условия не только необходимыми, но и
достаточными, т. е. являются ли эти условия признаками рассматриваемых
фигур. Как это проверить? Учащиеся должны сообразить, что для ответа на
поставленный вопрос следует сформулировать и доказать теоремы, обратные к
теоремам, выражающим свойства диагоналей прямоугольника и ромба.
Запишем одну из этих теорем.
Дано: АВСД - прямоугольник. Доказать: АС=ВД.
Обратное к этой теореме утверждение записывается так:
Дано: в четырёхугольнике АВСД АС=ВД .
Доказать: АВСД — прямоугольник.
Легко убедиться, что это утверждение несправедливо. Приведите примеры,
подтверждающие этот факт. Учащиеся могут вспомнить, что диагонали равны у
равнобочной трапеции, или начертить произвольный четырехугольник с равными
диагоналями. Таким образом, мы убеждаемся, что равенство диагоналей не
выделяет прямоугольник из класса четырехугольников (среди четырёхугольников
с равными диагоналями есть и не являющиеся прямоугольниками).
Здесь учитель знакомит учащихся с еще одним способом получения
утверждений, обратных данному. Замечает, что условие прямой теоремы может
быть разбито на две части.
Дано: 1) АВСД — параллелограмм.
2)?А=900.
Доказать: АС = ВД.
Если теперь поменять местами заключение и вторую часть условия, то мы
получим утверждение:
Дано: АВСД — параллелограмм
АС=ВД.
Доказать: ?А=900.
Это утверждение легко доказать. Докажите самостоятельно.
Если учащиеся затрудняются, то можно "навести" их на мысль, обратив
внимание, что ?А + ?Д = 1800 (АВСД — параллелограмм ). Что осталось теперь
доказать? (?А=?Д).
Аналогичную работу проводим с установлением признаков ромба,
основанных на свойствах его диагоналей. Вспоминаем теорему о свойствах
диагоналей ромба.
Дано: АВСД — ромб.
Доказать: 1) ВД | АС;
2) ?ВАС =?САД.
Для этой теоремы можно составить две обратные:
Теорема 1 Теорема 2
Дано: ВД | АС Дано: ?ВАС = ?САД
Доказать: АВСД — ромб. Доказать: АВСД — ромб.
Легко показать, что каждая из этих теорем несправедлива, приведя хотя
бы по одному "контрпримеру";
Интересен вопрос. А как можно видоизменить первый чертеж чтобы его
можно било использовать одновременно для "опровержения" и теоремы 1 и
теоремы 2 (Достаточно взять АО=ОС и тогда ?AВД=?ДВС.
Используя второй способ образования обратных теорем, с которым
учащиеся ознакомлены при установлении признака прямоугольника.
Имеем:
Прямая теорема: Дано:
АВСД –параллелограмм, АВ = ВС.
Доказать: ВД | АС
Обратная теорема:
Дано: АВСД –параллелограмм, ВД | АС.
Доказать: АВ=ВС
Вспоминая уточненное определение ромба, даем такую формулировку
обратной теоремы: "Если в параллелограмме диагонали взаимоперпендикулярны,
то этот параллелограмм — ромб".
Схема аналитического рассуждения при отыскании доказательства этой теоремы.
АВСД – ромб
АВСД – параллелограмм АВ=ВС
(АВО = (СВО (АОВ = (СОВ
( ВД | АС
АО = ОС ВО – общая (АОВ = (СОВ
(
АВСД – параллелограмм ВД | АС
Аналогично формулируем второй признак ромба: "Если в параллелограмме
диагональ делит угол пополам, то этот параллелограмм — ромб". Аналитическое
рассуждение проводится аналогично.
Схематическая запись доказательства
АВСД — параллелограмм ?АД II ВС ? (?1 = ?3, ?1 = ?2) ?
??2 = ?3 ? (АВ=BС, АВСД - параллелограмм) ? АВСД — ромб.
Обобщая полученные результаты, полезно обратить внимание школьников на
тот факт, что равенство диагоналей не выделяет прямоугольник из множества
всех четырехугольников, но выделяет его из множества параллелограммов, и
предложить им самостоятельно сформулировать аналогичные утверждения (их 2!)
для ромба.
Для поверки того, владеют ли учащиеся признаками параллелограмма,
ставим перед ними следующую проблему:
Как сформулировать признаки прямоугольника и ромба, основанные на
свойствах их диагоналей, чтобы они выделяли прямоугольник и ромб из
множества всех четырехугольников? Подсказка, если учен
| |  скачать работу |
Обобщающее повторение по геометрии \на примере темы Четырехугольник |
