Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Обработка результатов экспериментов и наблюдений

неизвестен, то сначала проверяют совпадение
экспериментальных точек с заданной кривой. Если предварительные сведения о
характере уравнения отсутствуют, то первым этапом обработки данных является
нахождение кривой, совпадающей с опытными точками. Эта задача решается
методом подбора. Можно использовать эталон ( кальку с предварительно
вычерченным на ней семейством кривых с различными параметрами. Естественно,
что масштаб кальки и эмпирической кривой должен быть одинаков.
      Построенный по опытным данным отрезок кривой может совпадать с
большим количеством различных кривых, проходящих достаточно близко к
опытным точкам. В этом случае выбирают кривую с наиболее простым и удобным
в использовании уравнением. Иногда эмпирическая кривая может иметь перегибы
или состоять из отдельных ярко выраженных участков. Однако при этом
необходимо определить координаты точек перехода от одной кривой к другой.
      Уравнение зависимости между исследуемыми величинами при графическом
методе просто определяется тогда, когда эмпирические точки достаточно
хорошо совпадают с прямой линией, т.е. описываются уравнением y = ax + b,
где a, b ( коэффициенты, подлежащие определению.
      Определение коэффициентов при графическом методе основано на (способе
натянутой нити(. Нанеся результаты эксперимента на график (лучше, если он
выполнен на миллиметровке), подбираем графическую прямую, ближе всего
подходящую к нанесенным точкам. Выбрав положение прямой, определяем две
произвольные точки на этой прямой (не обязательно являющиеся точками
эксперимента), определяем их координаты (x1; y1), (х2; y2). И для
определения коэффициентов а и b получаем два простых уравнения

                             ах1 + b = y1;

                             ах2 + b = y2.

      На рис. 10 приведена иллюстрация этого метода. Точки ( результаты,
полученные в эксперименте. Прямая проведена на глаз как можно ближе к
экспериментальным точкам. На прямой выбраны точки М (2; 4) и N (13; 10).
Коэффициент а характеризует угол наклона прямой.
Поэтому
            [pic]

            [pic].

      Таким образом y = 0,55х + 2,9.



                   Рис. 10. Графический метод интерполяции

      В случае, если экспериментальная зависимость имеет нелинейный
характер, то графическим способом в системе координат с равномерными
шкалами определить коэффициенты кривой затруднительно. Но достаточно
большой класс нелинейных зависимостей путем замены переменных и
графического изображения в функциональных шкалах можно привести к линейным
и далее использовать способ натянутой нити.

     2. Функциональные шкалы и их применение

      Пусть функция y = ((х) непрерывна и монотонна на некотором промежутке
( a; b (. Возьмем ось ОМ, на которой будет строиться шкала, выберем на ней
точку начала отсчета О и установим масштаб (. Функциональная шкала строится
следующим образом.
      Разбив интервал ( а; b ( на равные части, вычисляем значение функции
((х) в каждой из точек деления и отложим на оси ОМ для каждой точки отрезок
(((х). Получающаяся при этом точка снабжается отметкой х, т.е.
откладывается в выбранном масштабе значение функции, а надписывается
значение аргумента.
      Иногда начало шкалы помещают в первую точку отсчета, т.е. точку с
надписью а совмещают с 0. Тогда точка х будет находиться в конце отрезка (
( ((х) ( ((а) (. Полученная шкала позволяет судить о поведении функции на
рассматриваемом участке: большие промежутки между отметками укажут, что
функция изменяется быстрее, чем там, где эти промежутки малы.
      Выбор масштаба ( определяет длину шкалы. Чаще поступают наоборот:
задаются длиной шкалы l и определяют масштаб.
            [pic]       (      ( = [pic].
      Пример. Построим функциональную шкалу для функции y = x2 на участке (
1; 2 (. Зададимся длиной шкалы l = 12 см. Тогда                      ( =
[pic] см. Разобьем отрезок ( 1; 2 ( на десять равных частей и вычислим
значения функции во всех точках деления. Совместим начало шкалы с точкой
отсчета х = 1. Результаты расчета сведены в табл. 2, а функциональная шкала
приведена на рис. 11.

                                                        Таблица 2
                     Расчет функциональной шкалы y = x2

|  х    |1,0  | 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,5 | 1,6 | 1,7| 1,8| 1,9 |  2,0|
|  х2   |1,0  |1,21 |1,44 |1,69 |1,96 |2,25 |2,56 |2,89|3,24|3,61 |4,00 |
|х2(1   | 0   |0,21 |0,44 |0,69 |0,96 |1,25 |1,56 |1,89|2,24|2,26 |3,00 |
|4(х2(1)|0    |0,84 |1,76 |2,76 |3,84 |5,00 |6,24 |7,56|8,94|10,44|12,0 |



             1,0   1,1  1,2  1,3  1,4  1,5  1,6  1,7  1,8  1,9  2,0

                    Рис. 11. Функциональная шкала y = x2

      С помощью функциональных шкал графики многих функций могут быть
преобразованы к прямолинейному виду.
      Например, уравнение параболы y = x2. Если на оси OY нанести
равномерную шкалу, а на оси OX1 шкалу квадратов х1 = х2, то получится
сетка, где уравнение параболы имеет изображение прямой линии ( y = x1 ),
 проходящей через начало координат.
      Особенно часто используются различные логарифмические функции, с
помощью которых можно (выпрямлять( графики степенных и показательных
функций. Например, y = aebx; lg y = (b lg е) х + lg a. Полагая lg y = y1,
lg a = A, b lg e = B запишем исходное уравнение в виде y1 = А + Вх, откуда
видно, что оставив равномерной шкалу х и построив логарифмическую шкалу y1,
можно изобразить исходное уравнение прямой линией. Полученная координатная
сетка называется полулогарифмической.
      Очевидно, что такого рода преобразования возможны и в более общем
случае. Всякая неявная функция, заданная соотношением вида

            а((х) + b((y) + с = 0,

где a, b, с ( постоянные, будет изображаться прямой линией на
функциональной сетке, где на оси ОХ построена шкала ((х), а на оси OY (
шкала функции ((y). Естественно, что функции ((х) и ((y) должны
удовлетворять условиям непрерывности и монотонности. В табл. 3 приведены
преобразования для некоторых функций.
                                                                 Таблица 3
                       Линеаризация некоторых функций

|Исходная   |Преобразованная       |Замена          |Линеаризованная    |
|формула    |формула               |переменных      |формула            |
|           |                      |lg y=y1         |                   |
|y=axb      |lg y=b(lgx+lga        |lg x=x1         |y1=bx1+a1          |
|           |                      |lg a=a1         |                   |
|y=a(lgx+b  |(                     |lg x=x1         |y=ax1+b            |
|           |                      |lg y=y1         |                   |
|y=ebx+k    |lg y=b(lge(x+k(lge    |b(lg e=a        |y1=ax+k1           |
|           |                      |k(lg e=k1       |                   |
|           |                      |lg y=y1         |                   |
|y=aebx     |lg y=bx(lge+lga       |b(lg e=b1       |y1=b1x+a1          |
|           |                      |lg a=a1         |                   |
|y=[pic]    | (                    |[pic]           |                   |
|           |                      |                |y=ax1+b            |
|y=[pic]    |[pic]                 |[pic]           |                   |
|           |                      |                |y1=ax+b            |
|           |                      |[pic]           |                   |
|y=[pic]    |[pic]                 |                |                   |
|           |                      |                |y1=bx1+a           |

      Из сказанного ясна роль функциональных сеток при обработке
результатов эксперимента. Если результаты эксперимента располагаются вблизи
кривой, то по имеющемуся ограниченному участку кривой трудно судить, какого
типа функцией ее лучше всего приближать. Переведя полученные
экспериментальные данные на функциональные сетки можно оценить на какой из
них эти данные ближе всего подходят к прямой и, следовательно, какой
функцией лучше всего описываются.

     3. Аналитические методы обработки результатов

      Графический метод обработки результатов обладает наглядностью,
относительной простотой, однако его результаты содержат определенную
субъективность и относительно низкую точность.
      Аналитические методы лишены в какой ( то степени указанных
недостатков и позволяют получить результат для более широкого класса
функций с большей точностью, чем графический метод.
      Существуют различные аналитические методы получения параметров
эмпирических кривых в зависимости от критерия, принятого при их получении.
Рассмотрим некоторые из существующих способов.
     1. Способ средней

      Допустим, что имеется n сочетаний xi, yi, полученных при
эксперименте. Даже в том случае, если между х и y теоретически установлена
функциональная связь ( в данном случае предположим, что линейная ), то
наблюдаемые значения yi будут отличаться от ахi + b вследствие наличия
экспериментальных ошибок. Обозначим через (i соответствующую ошибку

                 (i = yi ( axi ( b     (i = 1, 2, ..., n)

Если выбирать параметры а и b так, чтобы для всех n наблюдений ошибки
уравновешивались, т.е. [pic], то это привело бы нас к одному уравнению,
тогда как для нахождения двух коэффициентов (а, b) их требуется два.
Поэтому предположим, что уравновешивание происходит не только для всех
произведенных наблюдений в целом, но и для каждой группы, содержащей
половину ( или почти половину ) всех наблюдений в отдельности.
      В этом случае можно прийти к системе уравнений
                 [pic]  ,
где m ( число наблюдений в первой группе.
      Данную систему уравнений запишем теперь в виде
                 [pic].
      Изложенное показывает, что метод средних (уравновешивает(
положительные и отрицательные отклонения теоретической кривой от
экспериментальных значений.
      Пример.Используя данные рис. 10 определим коэффициенты а, b методом
средней. Для этого семь и
Пред.678910
скачать работу

Обработка результатов экспериментов и наблюдений

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ