Операторы в вейвлетном базисе
ление их в разреженном
виде в ортонормированном базисе непосредственно влияет на скорость
вычислительных алгоритмов.
Нестандартная форма оператора Т с ядром K(x,y) достигается вычислением
следующих выражений:
[pic]
(4.1)
[pic]
(4.2)
[pic]
(4.3)
4.1 Оператор d/dx в вейвлетном базисе
Нестандартные формы некоторых часто используемых операторов могут быть
вычислены явно. Построим нестандартную форму оператора d/dx. Матричные
элементы [pic], [pic], [pic] матриц [pic], [pic], [pic] и [pic] матрицы
[pic], где i, l, j( Z для оператора d/dx легко вычисляются как
[pic] (4.4)
[pic] (4.5)
[pic] (4.6)
[pic] (4.7)
где
[pic]
(4.8)
[pic]
(4.9)
[pic]
(4.10)
[pic]
(4.11)
Кроме того, используя (1.8) и (1.19), имеем
[pic]
(4.12)
[pic]
(4.13)
[pic]
(4.14)
Таким образом представление d/dx полностью определяется величинами [pic]
или, другими словами, отображением d/dx на подпространство V0.
Предложение 4.1. 1. Если существует интеграл (4.11), тогда коэффициенты
[pic], l( Z в (5.8) удлвлетворяют следующей системе линейных алгебраических
уравнений:
[pic]
(4.15)
[pic]
(4.16)
где
[pic] [pic]
(4.17)
2. Если [pic], тогда система (4.15)-(4.16) имеет единственное решение с
конечным числом ненулевых [pic], а именно с [pic] и [pic].
Замечание. Если М=1, тогда система (4.15)-(4.16) имеет единственное
решение, но интеграл (4.11) может не быть абсолютно сходящимся. Для базиса
Хаара ([pic]) [pic], [pic] мы получаем простейший конечный дифференциальный
оператор [pic].
Замечание 2. Заметим, что выражения (4.12) и (4.13) для [pic] и [pic]
([pic]) могут быть упрощены с помощью смены порядка суммирования в (5.10) и
(5.11) и введения коэффициентов корреляции [pic], [pic] и [pic].
Выражение для [pic] особенно просто: [pic].
Для доказательства Предложения 4.1 можно обратиться к [2].
Для решения системы (4.15)-(4.16) можно также воспользоваться
итерационным алгоритмом. Начать можно с [pic] и [pic], а дальше
итерировать, используя (4.15) для вычисления [pic].
4.2 Оператор dn/dxn в вейвлетном базисе
Так же как и для оператора d/dx, нестандартная форма оператора dn/dxn
полностью определяется своим отображением на подпространство V0, т.е.
коэффициентами
[pic], l( Z,
(4.18)
если интеграл существует.
Предложение 4.2. 1. Если интеграл в выражении (4.18) существует, тогда
коэффициенты [pic], l( Z удовлетворяют следующей системе линейных
алгебраических уравнений
[pic]
(4.19)
[pic]
(4.20)
где [pic] дано в формуле (4.17).
2. Пусть M ? (n+1)/2, где М – число исчезающих моментов. Если интеграл в
(4.18) существует, тогда система (4.19)-(4.20) имеет единственное решение с
конечным числом нулевых коэффициентов [pic], а именно [pic] для [pic].
Также для четных n
[pic]
(4.21)
[pic] [pic]
(4.22)
[pic]
(4.23)
а для нечетных n
[pic]
(4.24)
[pic] [pic]
(4.25)
Замечание 3. Если M ? (n+1)/2, тогда решение линейной системы в Предложении
2 может существовать, когда интеграл в (4.18) не является абсолютно
сходящимся.
Интегральные уравнения второго рода
Линейное интегральное уравнение Фредгольма есть выражение вида
[pic],
где ядро [pic], а неизвестная функция f(x) и функция в правой части [pic],
[pic]. Для простоты будем рассматривать интервал [pic]и введём следующее
обозначение для всех [pic] и [pic]:
[pic]
Предположим, что {?1, ?1,…} – ортонормальный базис для [pic]; ядро
представимо в этом базисе в следующем виде:
[pic]
где коэффициенты Kij вычисляются по формуле
[pic], [pic]
Аналогично функции f и g представимы в виде
[pic], [pic],
где коэффициенты fi и gi вычисляются по формулам:
[pic], [pic], i=1,2,…
Интегральное уравнение в этом случае соответствует бесконечной системе
уравнений
[pic], i=1,2,…
Представление ядра может быть урезано до конечного числа слагаемых, что
приводит к представлению интегрального оператора R:
[pic], [pic], [pic],
который аппроксимирует K. Тогда интегральное уравнение аппроксимируется
системой n уравнений с n неизвестными:
[pic], i=1,2,…,n
| |  скачать работу |
Операторы в вейвлетном базисе |
