Операторы в вейвлетном базисе
Другие рефераты
ВВЕДЕНИЕ
Вейвлет-преобразование сигналов (wavelet transform), теория которого
оформилась в начале 90-х годов, является не менее общим по областям своих
применений, чем классическое преобразование Фурье. Принцип ортогонального
разложения по компактным волнам состоит в возможности независимого анализа
функции на разных масштабах ее изменения. Вейвлет-представление сигналов
(функций времени) является промежуточным между полностью спектральным и
полностью временным представлениями.
Компактные волны относительно независимо были предложены в квантовой
физике, физике электромагнитных явлений, математике, электронике и
сейсмогеологии. Междисциплинарные исследования привели к новым приложениям
данных методов, в частности, в сжатии образов для архивов и
телекоммуникаций, в исследованиях турбулентности, в физиологии зрительной
системы, в анализе радарных сигналов и предсказании землетрясений. К
сожалению, объем русскоязычной научной литературы по тематике вейвлет-
преобразований (да и нейронных сетей) относительно невелик.
Базовая идея восходит к временам 200-летней давности и принадлежит
Фурье: аппроксимировать сложную функцию взвешенной суммой простых функций,
каждая из которых, в свою очередь, получается из одной функции-прототипа.
Эта функция-прототип выполняет роль строительного блока, а искомая
аппроксимация получается комбинированием одинаковых по структуре блоков.
При этом, если "хорошая" аппроксимация получается при использовании
небольшого числа блоков, то тем самым достигается значительное уплотнение
информации. В качестве таких блоков Фурье использовал синусоиды с
различными периодами.
Что прежде всего отличает вейвлет-анализ от анализа Фурье? Основным
недостатком Фурье-преобразования является его "глобальная" чувствительность
к "локальным" скачкам и пикам функции. При этом модификация коэффициентов
Фурье (например, обрезание высоких гармоник с целью фильтрации шума) вносит
одинаковые изменения в поведение сигнала на всей области определения. Это
особенность оказывается полезной для стационарных сигналов, свойства
которых в целом мало меняются со временем.
При исследовании же нестационарных сигналов требуется использование
некоторых локализованных во времени компактных волн, коэффициенты
разложения по которым сохраняют информацию о дрейфе параметров
аппроксимируемой функции. Первые попытки построения таких систем функций
сводились к сегментированию сигнала на фрагменты ("окна") с применением
разложения Фурье для этих фрагментов. Соответствующее преобразование -
оконное преобразование Фурье - было предложено в 1946-47 годах Jean Ville
и, независимо, Dennis Gabor. В 1950-70-х годах разными авторами было
опубликовано много модификаций времени-частотных представлений сигналов.
В конце 70-х инженер-геофизик Морли (Jean Morlet) столкнулся с
проблемой анализа сигналов, которые характеризовались высокочастотной
компонентой в течение короткого промежутка времени и низкочастотными
колебаниями при рассмотрении больших временных масштабов. Оконные
преобразования позволяли проанализировать либо высокие частоты в коротком
окне времени, либо низкочастотную компоненту, но не оба колебания
одновременно. В результате был предложен подход, в котором для различных
диапазонов частот использовались временные окна различной длительности.
Оконные функции получались в результате растяжения-сжатия и смещения по
времени гаусиана. Морли назвал эти базисные функции вейвлетами (wavelets) -
компактными волнами. В дальнейшем благодаря работам Мейера (Yves Meyer),
Добеши (Ingrid Daubechies), Койфмана (Ronald Coifman), Маллы (Stephane
Mallat) и других теория вейвлетов приобрела свое современное состояние.
Среди российских ученых, работавших в области теории вейвлетов,
необходимо отметить С.Б. Стечкина, И.Я. Новикова, В.И. Бердышева.
1. МНОГОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ И ВЕЙВЛЕТЫ
Определение 1. Многомасштабный анализ (multiresolutional analysis) –
разложение гильбертова пространства L2(Rd), d(1, в последовательность
замкнутых подпространств
[pic],
(1.1)
обладающих следующими свойствами:
1. [pic], и [pic] полно в L2(Rd),
2. Для любого f( L2(Rd), для любого j( Z, f(x)(Vj тогда и только
тогда, когда
f(2x) (Vj-1,
3. Для любого f( L2(Rd), для любого k( Zd, f(x)(V0 тогда и только
тогда, когда f(x-k)(V0,
4. Существует масштабирующая (scaling) функция ((V0, что {((x-k)}k(Zd
образует
базис Ритца в V0.
Для ортонормальных базисов можно переписать свойство 4 в виде:
4’. Существует масштабирующая функция ((V0, что {((x-k)}k(Zd образует
ортонормальный базис в V0.
Определим подпространство Wj как ортогональное дополнение к Vj в Vj-1,
[pic],
(1.2)
и представим пространство L2(Rd) в виде прямой суммы
[pic]
(1.3)
Выбирая масштаб n, можем заменить последовательность (1.1) следующей
последовательностью:
[pic]
(1.4)
и получить
[pic]
(1.5)
Если имеем конечное число масштабов, то, не нарушая общности, можно
положить j=0 и рассматривать
[pic], V0( L2(Rd)
(1.6)
вместо (1.4). В числовой реализации подпространство V0 конечномерно.
Функция ( - так называемая масштабирующая (скейлинг-) функция. С ее
помощью можно определить функцию ( - вейвлет - такую, что набор {((x-
k)}k(Z образует ортонормальный базис в W0. Тогда
[pic], m=0..M-1.
(1.7)
Из свойства 4’ непосредственно следует, что, во-первых, функция ( может
быть представлена в виде линейной комбинации базисных функций пространства
V-1 . Так как функции {(j,k(x)=2-j/2((2-jx-k)}k(Z образуют
ортонормальный базис в Vj, то имеем
[pic].
(1.8)
Вообще говоря, сумма в выражении (1.8) не обязана быть конечной. Можно
переписать (1.8) в виде
[pic],
(1.9)
где
[pic],
(1.10)
а 2(-периодическая функция m0 определяется следующим образом:
[pic].
(1.11)
Во-вторых, ортогональность {((x-k)}k(Z подразумевает, что
[pic]
(1.12)
и значит
[pic]
(1.13)
и [pic].
(1.14)
Используя (1.9), получаем
[pic]
(1.15)
и, рассматривая сумму в (1.15) по четным и нечетным индексам, имеем
[pic]. (1.16)
Используя 2(-периодичность функции m0 и (1.14), после замены (/2 на (,
получаем необходимое условие
[pic]
(1.17)
для коэффициентов hk в (1.11). Заметив, что
[pic]
(1.18)
и определив функцию ( следующим образом:
[pic],
(1.19)
где
[pic], k=0,…,L-1 ,
(1.20)
или преобразование Фурье для (
[pic],
(1.21)
где
[pic],
(1.22)
можно показать, что при каждом фиксированном масштабе
j(Z вейвлеты
{(j,k(x)=2-j/2((2-jx-k)}k(Z образуют ортонормальный базис пространства Wj.
Равенство (1.17) определяет пару квадратурных зеркальных фильтров
(quadrature mirror filters, QMF) H и G, где [pic] и [pic]. Коэффициенты QMF
H и G вычисляются с помощью решения системы алгебраических уравнений. Число
L коэффициентов фильтра в (1.11) и (1.22) связано с числом исчезающих
моментов М, и всегда четно.
Выбранный фильтр Н полностью определяет функции ( и ( и, таким
образом, многомасштабный анализ. Кроме того, в правильно построенных
алгоритмах значения функций ( и ( почти никогда не вычисляются. Благодаря
рекурсивному определению вейвлетного базиса, все операции проводятся с
квадратурными зеркальными фильтрами H и G, даже если в них используются
величины, связанные с ( и (.
4. ОПЕРАТОРЫ
Сжатие операторов или, другими словами, представ
| |  скачать работу |
Другие рефераты
| 
