Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Операторы в вейвлетном базисе



 Другие рефераты
Поставки по ленд-лизу и их влияние на ход войны на восточном фронте Постижение истории в эпоху средневековья Почему началась холодная война? Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотез

ВВЕДЕНИЕ



      Вейвлет-преобразование сигналов (wavelet transform),  теория  которого
оформилась в начале 90-х годов, является не менее общим  по  областям  своих
применений, чем классическое преобразование  Фурье.  Принцип  ортогонального
разложения по компактным волнам состоит в возможности  независимого  анализа
функции на разных масштабах  ее  изменения.  Вейвлет-представление  сигналов
(функций времени) является  промежуточным  между  полностью  спектральным  и
полностью временным представлениями.
      Компактные волны относительно независимо были предложены  в  квантовой
физике,  физике  электромагнитных   явлений,   математике,   электронике   и
сейсмогеологии. Междисциплинарные исследования привели к  новым  приложениям
данных  методов,   в   частности,   в   сжатии   образов   для   архивов   и
телекоммуникаций, в исследованиях турбулентности,  в  физиологии  зрительной
системы,  в  анализе  радарных  сигналов  и  предсказании  землетрясений.  К
сожалению, объем  русскоязычной  научной  литературы  по  тематике  вейвлет-
преобразований (да и нейронных сетей) относительно невелик.
      Базовая идея восходит к временам  200-летней  давности  и  принадлежит
Фурье: аппроксимировать сложную функцию взвешенной суммой  простых  функций,
каждая из которых, в свою очередь, получается  из  одной  функции-прототипа.
Эта  функция-прототип  выполняет  роль  строительного   блока,   а   искомая
аппроксимация получается комбинированием  одинаковых  по  структуре  блоков.
При  этом,  если  "хорошая"  аппроксимация  получается   при   использовании
небольшого числа блоков, то тем самым  достигается  значительное  уплотнение
информации.  В  качестве  таких  блоков  Фурье   использовал   синусоиды   с
различными периодами.
      Что прежде всего отличает вейвлет-анализ от  анализа  Фурье?  Основным
недостатком Фурье-преобразования является его "глобальная"  чувствительность
к "локальным" скачкам и пикам функции. При  этом  модификация  коэффициентов
Фурье (например, обрезание высоких гармоник с целью фильтрации шума)  вносит
одинаковые изменения в поведение сигнала на всей  области  определения.  Это
особенность  оказывается  полезной  для  стационарных   сигналов,   свойства
которых в целом мало меняются со временем.
    При исследовании же  нестационарных  сигналов  требуется  использование
некоторых  локализованных   во   времени   компактных   волн,   коэффициенты
разложения   по   которым   сохраняют   информацию   о   дрейфе   параметров
аппроксимируемой функции. Первые попытки  построения  таких  систем  функций
сводились к сегментированию сигнала  на  фрагменты  ("окна")  с  применением
разложения Фурье  для  этих  фрагментов.  Соответствующее  преобразование  -
оконное преобразование Фурье - было предложено в 1946-47  годах  Jean  Ville
и, независимо,  Dennis  Gabor.  В  1950-70-х  годах  разными  авторами  было
опубликовано много модификаций времени-частотных представлений сигналов.
    В  конце  70-х  инженер-геофизик  Морли  (Jean  Morlet)  столкнулся   с
проблемой  анализа  сигналов,  которые   характеризовались   высокочастотной
компонентой  в  течение  короткого  промежутка  времени  и   низкочастотными
колебаниями  при   рассмотрении   больших   временных   масштабов.   Оконные
преобразования позволяли проанализировать либо высокие  частоты  в  коротком
окне  времени,  либо  низкочастотную  компоненту,  но   не   оба   колебания
одновременно. В результате был предложен подход,  в  котором  для  различных
диапазонов частот  использовались  временные  окна  различной  длительности.
Оконные функции получались в  результате  растяжения-сжатия  и  смещения  по
времени гаусиана. Морли назвал эти базисные функции вейвлетами (wavelets)  -
компактными волнами. В дальнейшем благодаря  работам  Мейера  (Yves  Meyer),
Добеши (Ingrid  Daubechies),  Койфмана  (Ronald  Coifman),  Маллы  (Stephane
Mallat) и других теория вейвлетов приобрела свое современное состояние.
    Среди  российских  ученых,  работавших  в  области  теории   вейвлетов,
необходимо отметить С.Б. Стечкина, И.Я. Новикова, В.И. Бердышева.



                    1. МНОГОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ И ВЕЙВЛЕТЫ



Определение  1.  Многомасштабный  анализ  (multiresolutional   analysis)   –
разложение  гильбертова  пространства  L2(Rd),  d(1,  в   последовательность
замкнутых подпространств
                                                                      [pic],
                (1.1)
обладающих следующими свойствами:
1.          [pic],        и          [pic]       полно       в       L2(Rd),

2.     Для любого f( L2(Rd), для любого j( Z,    f(x)(Vj    тогда  и  только
тогда, когда
f(2x) (Vj-1,
3.     Для любого f( L2(Rd), для любого k( Zd,   f(x)(V0    тогда  и  только
тогда, когда         f(x-k)(V0,
4.     Существует масштабирующая (scaling) функция  ((V0,  что  {((x-k)}k(Zd
образует
базис Ритца в V0.
Для ортонормальных базисов можно переписать свойство 4 в виде:
4’.  Существует  масштабирующая  функция  ((V0,  что  {((x-k)}k(Zd  образует
  ортонормальный базис в V0.
Определим подпространство Wj как ортогональное дополнение к Vj в Vj-1,
                                                                      [pic],
                                               (1.2)
и представим пространство L2(Rd) в виде прямой суммы
                                                                       [pic]
                                          (1.3)
      Выбирая масштаб n, можем заменить последовательность  (1.1)  следующей
последовательностью:
                                                                       [pic]
       (1.4)
и получить
                                                                       [pic]
                                     (1.5)
      Если имеем конечное число масштабов, то, не  нарушая  общности,  можно
положить j=0 и рассматривать
                                                   [pic],      V0(    L2(Rd)
                          (1.6)
вместо (1.4). В числовой реализации подпространство V0 конечномерно.
      Функция ( - так называемая масштабирующая (скейлинг-)  функция.  С  ее
помощью можно определить функцию ( -  вейвлет  -  такую,  что  набор   {((x-
k)}k(Z  образует ортонормальный базис в W0. Тогда
                                                        [pic],     m=0..M-1.
                                     (1.7)
Из свойства 4’ непосредственно следует,  что,  во-первых,  функция  (  может
быть представлена в виде линейной комбинации базисных  функций  пространства
V-1   .   Так   как    функции     {(j,k(x)=2-j/2((2-jx-k)}k(Z      образуют
ортонормальный базис в Vj, то имеем
                                                                      [pic].
                              (1.8)
Вообще говоря, сумма в выражении  (1.8)  не  обязана  быть  конечной.  Можно
переписать (1.8) в виде
                                                                      [pic],
                                (1.9)
где
                                                                      [pic],
                            (1.10)
а 2(-периодическая функция m0 определяется следующим образом:
                                                                      [pic].
                                  (1.11)
      Во-вторых, ортогональность {((x-k)}k(Z подразумевает, что
                                                                       [pic]
  (1.12)
и значит
                                                                       [pic]
                    (1.13)
и                                                                     [pic].
                                     (1.14)
Используя (1.9), получаем
                                                                       [pic]
            (1.15)
и, рассматривая сумму в (1.15) по четным и нечетным индексам, имеем
     [pic].   (1.16)
Используя 2(-периодичность функции m0 и  (1.14),  после  замены  (/2  на  (,
получаем необходимое условие
                                                                       [pic]
                           (1.17)
для коэффициентов hk в (1.11). Заметив, что
                                                                       [pic]
                                (1.18)
и определив функцию ( следующим образом:
                                                                      [pic],
                           (1.19)
где
                                               [pic],         k=0,…,L-1    ,
                                  (1.20)
или преобразование Фурье для (
                                                                      [pic],
                              (1.21)
где
                                                                      [pic],
                                  (1.22)
можно   показать,       что    при     каждом     фиксированном     масштабе
j(Z     вейвлеты
{(j,k(x)=2-j/2((2-jx-k)}k(Z  образуют ортонормальный базис пространства Wj.
      Равенство (1.17)  определяет  пару  квадратурных  зеркальных  фильтров
(quadrature mirror filters, QMF) H и G, где [pic] и [pic]. Коэффициенты  QMF
H и G вычисляются с помощью решения системы алгебраических уравнений.  Число
L коэффициентов фильтра в  (1.11)  и  (1.22)  связано  с  числом  исчезающих
моментов М, и  всегда четно.
      Выбранный фильтр Н  полностью  определяет  функции  (  и  (  и,  таким
образом,  многомасштабный  анализ.  Кроме  того,  в  правильно   построенных
алгоритмах значения функций ( и ( почти никогда  не  вычисляются.  Благодаря
рекурсивному определению  вейвлетного  базиса,  все  операции  проводятся  с
квадратурными зеркальными фильтрами H и G,  даже  если  в  них  используются
величины, связанные с ( и (.



                                4. ОПЕРАТОРЫ


      Сжатие операторов или, другими словами, представ
12
скачать работу


 Другие рефераты
Загрязнение водоемов
Лоренцо Гиберти
Этилен и его производные в промышленном органическом синтезе
Экономика – елдік тұғыры


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ