Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотез
лонения: [pic], [pic] случайных величин [pic]
и [pic].
Выборочное среднее [pic] случайной величины [pic] равно
[pic]
Выборочное среднее[pic] случайно величины [pic] равно
[pic]
Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение [pic] случайной
величины [pic]:
[pic]=14.3632
Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение [pic] случайной
величины [pic]:
[pic]=13.5727
5. Проверить, используя метод [pic] гипотезу о нормальном распределении,
каждой из случайных величин [pic] и [pic] при уровне значимости [pic].
Проверим гипотезу о нормальном распределении случайной величины [pic].
Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические
частоты по формуле
[pic], где [pic] - объем выборки, [pic] - шаг (разность между двумя
соседними вариантами, [pic], [pic]
Построим вспомогательную таблицу:
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|1 |4 |-1.9169 | 4.2461 |0.0606 |0.014 |
|2 |15 |-1.3600 |10.5760 |19.572 |1.850 |
|3 |19 |-0.8030 |19.3161 |0.0999 |0.005 |
|4 |25 |-0.2460 |25.8695 |0.7561 |0.0292 |
|5 |24 |0.3110 |25.4056 |1.9757 |0.0778 |
|6 |17 |0.8680 |18.2954 |1.6780 |0.0917 |
|7 |8 |1.4249 |9.6610 |2.7590 |0.2856 |
|8 |8 |1.9819 |3.7409 |18.139 |4.8491 |
В итоге получим [pic]= 7,2035
По таблице критических точек распределения [pic] ([1], стр. 465), по
уровню значимости [pic]=0,05 и числу степеней свободы 8-3=5 находим
[pic]
Т.к. [pic], экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о
нормальном распределении случайной величины [pic].
Для случайной величины [pic]:
Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические
частоты по формуле
[pic], где [pic] - объем выборки, [pic] - шаг (разность между двумя
соседними вариантами, [pic], [pic]
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|1 |7 |-1.4036 |5.9274 |1.1504 |0.1941 |
|2 |16 |-0.7405 |12.0665 |15.4725 |1.2823 |
|3 |19 |-0.0774 |15.8248 |10.0820 |0.6371 |
|4 |6 |0.5857 |13.3702 |54.3197 |4.0627 |
|5 |6 |1.2488 |7.2775 |1.6319 |0.2242 |
|6 |5 |1.9119 |2.5519 |5.9932 |2.3485 |
|7 |1 |2.5750 |0.5765 |0.1794 |0.3111 |
В итоге получим [pic]= 8.1783
По таблице критических точек распределения [pic] ([1], стр. 465), по
уровню значимости [pic]=0,05 и числу степеней свободы 7 - 3=4 находим
[pic]
Т.к. [pic], экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о
нормальном распределении случайной величины [pic].
6. Построить график функции плотности распределения [pic] случайной
величины [pic] в одной системе координат с гистограммой.([pic] взяв в
качестве математического ожидания и дисперсии их статистические оценки
[pic] и [pic]) и вычислив значение функции [pic] в точках: [pic],
[pic], а также в точке левее первого и правее правого промежутка
группировки.
7. Выполнить задание 6 для случайной величины [pic].
8. Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий
случайных величин [pic] и [pic], соответствующие доверительной
вероятности [pic].
Найдем доверительный интервал для математического ожидания [pic]:
Рассмотрим статистику [pic], имеющую распределение Стъюдента с [pic]
степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится
неравенством [pic]. И доверительный интервал для [pic] выглядит следующим
образом:
[pic]
Найдем [pic]по таблицам ([2], стр. 391). По [pic]=0,95 и [pic]=120
находим: [pic]=1,980. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:
[pic]
То есть: (20,93721;26,12946).
Найдем доверительный интервал для математического ожидания [pic]:
Рассмотрим статистику [pic], имеющую распределение Стъюдента с [pic]
степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится
неравенством [pic]. И доверительный интервал для [pic] выглядит следующим
образом:
[pic]
Найдем [pic]по таблицам ([2], стр. 391). По [pic]=0,95 и [pic]=60
находим: [pic]=2,001. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:
[pic]
То есть: (20,043;27,056).
Известно, что если математическое ожидание неизвестно, то доверительный
интервал для дисперсии при доверительной вероятности [pic] имеет вид
[pic]
Для случайной величины [pic] найдем:
[pic].
[pic]
[pic]
Таким образом, имеем доверительный интервал: [pic] (162,8696; 273,8515).
Для случайной величины [pic] найдем
[pic]
[pic]
[pic]
Таким образом, имеем доверительный интервал: [pic](134,82; 277,8554).
(Квантили распределения [pic] найдены по таблице [3], стр. 413).
9. Проверить статистическую гипотезу [pic] при альтернативной гипотезе
[pic] на уровне значимости [pic].
Рассмотрим статистику
[pic],
где
[pic],
которая имеет распределение Стъюдента [pic],
Тогда область принятия гипотезы [pic].[pic]
Найдем s:
[pic]
Найдем значение статистики [pic]:
[pic]
По таблице квантилей распределения Стъюдента ([2], стр. 391)
[pic]
Т. к. [pic], то гипотеза [pic] принимается. Предположение о равенстве
математических ожиданий [pic] не противоречит результатам наблюдений.
10. Проверить статистическую гипотезу [pic] при альтернативной гипотезе
[pic] на уровне значимости[pic].
Рассмотрим статистику [pic], где [pic], [pic]т.к. [pic]. Эта статистика
имеет распределение Фишера [pic]. Область принятия гипотезы [pic]
[pic]
Найдем значение статистики [pic]:
[pic]
По таблицам найдем [pic]. Т.к. [pic], то гипотеза [pic] принимается.
Предположение [pic] не противоречит результатам наблюдений.
Библиографический список
1. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и
математическая статистика: Учеб. пособие для втузов / Под. ред. А.В.
Ефимова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.
лит. , 1990. – 428 с.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 4-
е, стер. М.: Высш. Шк., 1997. – 400 с.: ил.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб.
пособие для втузов. Изд. 5-е, перераб. и доп. М., «Высш. школа»,
1977.
4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: 1969, 576 с.
-----------------------
| |  скачать работу |
Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотез |
