Оптимальные решения
практическом
приложении.
В частности, эти задачи помогают осознать, что функция, заданная
аналитической
формулой, может выражать зависимости между реальными величинами в самых
различных явлениях и процессах
Задача 7.
Арка моста имеет форму параболы (высота 4 м, наибольшая ширина 20 м).
Составьте уравнение этой параболы.
Решение.
Уравнение параболы в данном случае имеет вид y = ax2 + c. Для
определения a и c
подставим в этом уравнение координаты точек B и C (рис. 1), т.е.
4 = c c = 4
c = 4,
(
(
0 = 100a + c 100a = -4
a = - 0,04
Парабола имеет вид: y = - 0,04x2 + 4.
у
х
4.Применение методов дифференциального исчисления при решении
прикладных задач.
Задача 8.
Проектируется канал оросительной системы с прямоугольным сечением в 4,5 м2.
Каковы должны быть размеры сечения, чтобы для облицовки стенок и дна пошло
наименьшее количество материала?
Решение.
Пусть стенки канала имеют длину x м., а дно канала – y м.
Тогда:
x*y=4,5 y=4,5/x
S= L*(2x+y) S=L*(2x+4,5/x)
Найдем производную.
[pic] Так как S’=0, и L(длина канала)-
положительное число,то
[pic] x=1,5 Легко убедиться, что при данном x
значение S минимально
Ответ: x=1,5 м. y=3 м.
Задача 9.
.
Какова должна быть скорость парохода,чтобы общая сумма расходов на
один км. пути была наименьшей, если расходы на топливо за один час
пропорциональна квадрату скорости.
Решение.
Расходы на 1км пути на эксплуатацию парохода состоят из расходов на
топливо и других расходов (содержание команды, амортизация). Ясно, что чем
быстрее движется пароход, тем больше расход топлива. Остальные расходы от
скорости движения не зависят.
Обозначим через S-сумму расходов в час
V- скорость судна
Расходы на 1км выразится формулой S/V
По условию имеем S=KV2+b, где
K- коэффициент пропорциональности,
b- расходы, кроме расходов на топливо.
Y=S/V Y=(KV2+b)/V=KV+b/V
Надо найти значение V, при котором функция Y=KV+b/V имеет наименьшее
значение.
Y(=K=b/V2 Y(=0
V=(b/V
Таким образом общая сумма расходов на 1 км. пути будет наименьшей при
V=(b/V.
Значение коэффициентов b и K определяются из опыта эксплуатации
парохода.
Задача 10.
Над центром круглого стола радиусом r висит лампа. На какой высоте h
следует повесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую
освещенность?
Из физики известна формула E=k*sin(/(h2+r2)
sin(=h/((h2+r2)
Для упрощения решения задачи вместо функции
E=k*sin(/(h2+r2)=k*h/(h2+r2)3/2 возьмем функцию
T=1/k2*E2=h2/(h2+r2), для упрощения формулы заменим
h2=z
тогда:
T=z/(z+r2)3
T(= ((z+r2)3-z*3*(z+r2)2)/ (z+r2)6=
=(z+r2-3*r)/ ((z+r2)4
T(=0( r2-2*r=0(
z=r2/2 h=r/(2
Ответ. Освещенность максимальная, если h=r/(2
Задача 11.
Нахождение гидравлически наиболее выгодного трапециидального сечения
русла.
Из всех сечений русла, представляющих собою равнобедренную трапецию,
имеющих одинаковую площадь ( и уклон i, найти то, которое будет пропускать
наибольший расход Q.
Пояснение:
1. Расход Q –это количество воды, проходящее через поперечное сечение
русла в единицу времени
2. Расход Q определяется по формуле: Q=(*c(r*j
(-площадьсечения
c-коэффициент
r-гидравлический радиус
i-уклон дна русла
3. Гидравлический радиус есть отношение площади сечения к смоченному
периметру (: r=(/(
4. Смоченный периметр есть линия соприкосновения жидкости с
поверхностью канала.
5. Крутизна 1/m откоса есть отношение высоты откоса к заложению
(АО).
Решение. Расход Q зависит от r, и он будет наибольшим при rmax , что
будет тогда, когда(min
Крутизна откоса 1/m =h/АО, то АО=h*m
Тогда (=1/2*(b+2*m*h+b)h=(b+m*h)*h
(=b+2*h(1+m2т.е.
(=((/h-m*h)+2*h(1+m2
((h)=(- (/h2-m)+2(1+m2
((h)=-(b+m*h)/h-m+2(1+m2
((h)=-b/h+2(((1+m2)-m) ((h)=0 при b/h=2(((1+m2)-m)
((h)((>0 при h=b/2(((1+m2)-m)
Ответ.( имеет наименьшее значение при условии h=b/2(((1+m2)-m)
Задача 12.
Рама из швеллера размера а ( в перекрыта рифленой сталью, в которой вырезан
круг диаметром d с центром пересечения диагоналей прямоугольника. Для
усиления жесткости перекрытия решено окантовать круг уголками,
устанавливаемыми под ( 45( к сторонам рамы и являющимися касательными к
кругу.
Найти длину касательных.
Введем систему координат как
показано на рисунке.
D2D1 – касательная
Напишем уравнение касательной.
Для чего, зная ее угол наклона 45(
найдем точки касания.
Для этого продифференцируем
уравнение окружности
х2 + у2 = r2
х + у ( у = 0
т.к. у( = 1 (у = tg 45(=1), то
у = -х.
r ( 2 r ( 2
Т.е. т. Е имеет координаты Е (- (( ; (( (
2. 2
Cоставим уравнение D2D1: т.к. D2D1 | прямой у = х, то она имеет вид
r( 2
у = х +2 * (( (( у = х + r( 2
2
Напишем уравнения АВ и ВС
А
АВ: х = - (
2
в
ВС: у = (
2
Найдем координаты т. Р2 решая систему
а а
y = х + r ( 2 х = - (, у = - ( + r ( 2
( а (( 2 2
х = - ( a а
2. D2 ( - (; - ( + r ( 2)
2. 2
Найдем координаты т. D1
b
b
y = х + r ( 2 x = ( - r ( 2, у = (
( b 2
2
y = ( b b
2. D1 ( ( - r ( 2; ( )
2. 2
Найдем D1D2
B a b a
b a
D2D1 = ( (( - r ( 2 + ()2 + (( + ( - r ( 2)2 = ( 2 ( (( + ( - r ( 2)
2 2 2 2
2 2
Ответ.Длина касательных
(a +b) ( 2
D2D1 = (((( - d .
2
Задача 13.
Найти наименьшую длину стрелы крана,
необходимую для монтажа плит перекры –
тия здания высотою Н, шириною а, при
условии, что кран может двигаться вдоль
фасада здания, параллельно ему.
Высота основания стрелы крана над землей
h1.
Зазор между стеной здания и стрелой крана должен быть всегда не менее m
Пояснение
1. На чертеже указан боковой фасад здания.
2. Кран должен подавать так, чтобы крюк его приходился точно над серединой
здания.
3. Длина стрелы крана, начало которой есть точка А1, а проекция конца
(крюка) точка М, меняется с изменением угла ?.
Решение.
h2
1. Из ? АВD АВ= ((
sin (
а
(
2. Из ? ВСМ ВС = 2
((
cos ?
h2
а
3. т.е. (=АС=АВ+ВС , то l = ((( + ((( (3)
sin (
2cos (
т.к. величины h2 и a - постоянные, изучим функцию
( и l - переменные
h2 ( cos ( a (
sin (
f('(() = ( ((((( + ((((
sin2 ( 2
cos2 (
l' (() = 0
h2 cos ( a ( sin
(
(((( = ((((
sin2 ( 2
cos2 (
2 h2
2 h2
tg3 ( = ((
tg ( = 3( ((
a
a
2. Найдем вторую производную
| |  скачать работу |
Оптимальные решения |
