Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Пьер де Ферма

нения у Ферма не было.  Он  вообще  не  знал  знака
равенства,  а  использовал  латинское  eq.  Приводим  утверждение  Ферма   в
оригинальном виде:
      "Cubum  autem  in  duos   cubos,   aut   quadratoquadratum   in   duos
quadratoquadratos,  et  generaliter  nullam  in  infinitum  ultra  quadratum
potestatem  in  duos  ejusdem  nominis   fas   est   dividere:   cujus   rei
demonstrationem  mirabilem  sane  detexi.  Hanc   marginis   exiguitas   non
caperet."
    “Куб, однако, на два куба или квадроквадрат  на  два  квадроквадрата  и
вообще никакую до  бесконечности  сверх  квадрата  степень  в  две  того  же
названия невозможно разделить”. И не  поставив  точку,  Ферма  приписал:  “я
открыл поистине удивительное доказательство этого  предложения.  Но  оно  не
умещается на узких полях”.
    Этой  фразой  Ферма  прокомментировал  задачу  из  Диофанта:  “Заданный
квадрат разложить на два квадрата”.  Данное  замечание  является  вторым  по
счету из сделанных им на полях “Арифметики”.
    Неопределенные уравнения (т. е. уравнениями с двумя неизвестными)  вида
[pic] интересовали древних греков в связи с теоремой  Пифагора.  Они  искали
(и  находили)  тройки  целых  чисел,   образующие   стороны   прямоугольного
треугольника. Это означает,  что  при  n  =1,  2  уравнение  в  рамке  имеет
бесчисленное множество решений. Догадка Ферма заключалась  в  том,  что  при
всех прочих n таких троек не существует.
    Вряд ли Ферма был первым, кто  пришел  к  подобному  выводу.  Например,
около тысячи лет назад узбекский математик Хамид ал-Хадженди  (что  означает
Хамид из Ленинабада) утверждал, что уравнение x3+y3=z3 не  имеет  решений  в
целых числах. Сегодня ясно, что Хамид не имел никаких  шансов  доказать  это
утверждение.
    В отношении Ферма достоверно известно, что он доказал “Великую теорему”
при n=4 на полях все той же  “Арифметики”.  И  это  единственное  теоретико-
числовое доказательство Ферма, дошедшее до наших дней.
 Общий случай:
«Уравнение
                          x4          +          y4           =           z2
              (2)
не имеет решений в целых отличных от нуля числах».
      Доказательство: Предположим, что существует решение  уравнения  (2)  в
целых отличных от нуля числах.  Ясно,  что,  не  теряя  общности,  мы  можем
считать, что оно состоит из  попарно  взаимно  простых  положительных  чисел
(если (x; y; z) является решением уравнения (2), то,  сразу  же  видно,  что
((x; (y; (z) также  является  его  решением).  Так  как  в  любом  множестве
натуральных чисел существует наименьшее из них, то среди всех таких  решений
найдётся решение (x; y; z) с наименьшим z. Рассмотрим именно это решение:
      Так же, как и при доказательстве леммы 2 немедленно доказывается,  что
одно из чисел x и y должно быть чётным. Предположим, что чётно число x.  Это
предположение также общности не ограничивает.
      Так как числа x2, y2 и z положительны и взаимно  просты,  а  число  x2
чётно, то, согласно лемме 2, существуют такие взаимно простые числа m и n  <
m разной чётности, что x2 = 2mn; y2 = m2 – n2; z2 = m2 + n2. Если m =  2k  и
n = 2f +1, то y = 4(k2 – f2 – f – 1) + 3,  что  невозможно,  ибо,  как  выше
было уже  отмечено,  любой  квадрат  должен  иметь  вид  4k  +  1,  или  4k.
Следовательно, m – нечётно, а n – чётно.
      Пусть n = 2q. Тогда x2 = 4mq и потому mq =  (x/2)2.  Поскольку  НОД(m;
q) = 1, а x чётно, то, исходя из леммы 1, m = z12; q = t2,  где  z1  и  t  –
некоторые целые взаимно простые положительные числа. В частности,  уравнение
y2 = m2 – n2 то же самое, что и y2 = (z12)2 – (2t2)2, т. е. (2t2)2  +  y2  =
(z12)2.
      Так как НОД(t; z1) = 1, то к этому неравенству снова  применима  лемма
2. Следовательно, существуют такие положительные взаимно простые числа  a  и
b < a различной чётности, что 2t2 = 2ab, т. е. t2 = ab; y2 = a2 – b2; z12  =
a2 + b2. Так как НОД(a; b) = 1, из равенства t2 = ab по  лемме  1  вытекает,
что существу целые числа x1 и y1, для которых a = x12; b = y12. Поэтому  z12
= a2 + b2 то же, что и x14 + y14 = z12. Это означает, что числа x1,  y1,  z1
составляют примитивное решение уравнения  (2),  состоящее  из  положительных
чисел. Поэтому  в  силу  выбора  решения  (x;  y;  z),  должно  иметь  место
неравенство z1 ( z, а потому и неравенство z12 ( z, т. е., учитывая,  что  z
= m2 + n2, m ( m2 + n2, чего быть не может, т. к. m, n > 0.
      Таким  образом,  предположение  о  существовании  у  записанного  выше
уравнения (2) целочисленных решений приводит к противоречию.  Следовательно,
это уравнение не имеет решений в целых отличных от нуля числах.

                          7. «ВЕРНА ИЛИ НЕ ВЕРНА?»

      На  протяжении  20  лет  Ферма  упорно  старается  привлечь  внимание
математиков к “Великой теореме”, предлагая частные случаи в качестве  задач.
Случай n=3 он формулирует в пяти письмах,  причем  в  последнем  письме  (от
августа 1659 г.) пишет, что доказал теорему для n=3  методом  спуска.  Между
тем “Великую теорему” для общего случая n>2 Ферма сформулировал только  один
раз в упомянутом замечании на полях “Арифметики”. Он не  формулирует  ее  ни
разу ни в одном из писем. Он предлагает только  частные  случаи        (n=3,
4), в отношении которых уверенно говорит, что  располагает  доказательством.
Даже в письме к де Каркави от 1659 г.,  в  котором  Ферма  перечисляет  свои
основные достижения, о “Великой теореме” в общем  виде  нет  ни  слова.  Это
может означать только  одно:  Ферма  обнаружил  пробелы  в  своем  “поистине
удивительном доказательстве”, которые так и не смог устранить.
    Разумеется, это не охладило потомков. Начиная с конца XVII в.  началась
невиданная по своей напряженности гонка за доказательством “Великой  теоремы
Ферма”. Обманчивая простота формулировки теоремы обрекла тысячи  поклонников
математики на бесплодные поиски  доказательства  или  опровержения  теоремы.
Более ста лет никому из ученых не удавалось  продвинуться  вперед  даже  при
рассмотрении частных случаев конкретных значений показателя n.
    Первый серьезный результат был получен, конечно же, Эйлером (1768).  Он
показал, что случай n=4 уникален. Это единственный частный вариант  “Великой
теоремы”, когда доказательство имеет вполне элементарный характер.  Уже  при
n=3  возникают  значительные   осложнения.   Настолько   существенные,   что
появляется повод в  очередной  раз  сомневаться  в  честности  Ферма.  Эйлер
доказал теорему для случая n=3, рассматривая комплексные числа  вида  [pic],
где а, b - целые числа. В XVII в. подобная ересь не могла  придти  в  голову
даже Ферма.
    Строго говоря,  доказательство  Эйлера  было  дефектным,  поскольку  он
необоснованно перенес ряд свойств обычных  чисел  на  числа  вида  [pic].  В
частности он предполагал единственность разложения таких  чисел  на  простые
множители. Для устранения  пробелов  в  доказательстве  Эйлера  понадобились
принципиально новые  алгебраические  абстракции:  числовые  кольца  и  поля.
Реализацию  этой  программы  начал  Гаусс,   которому   принадлежит   первое
абсолютно строгое доказательство “Великой теоремы Ферма” для n=3.
    Доказательство для случая n=5 предложили почти одновременно в атмосфере
острого соперничества два француза:  Лежен-Дирихле  и  Лежандр  (1825).  Оба
доказательства были очень сложными. В 1839 г. теорема  Ферма  была  доказана
для следующего простого показателя n=7. Это удалось  благодаря  титаническим
усилиям Ламе. Он же в 1847 г. объявил, что доказал теорему для всех  простых
показателей  n>3.  Однако  бдительный   Лиувиль   сразу   же   обнаружил   в
рассуждениях Ламе ошибку сходную с той, которую  допустил  Эйлер.  Ламе  был
вынужден признать свое поражение.
    Пока во Франции происходили эти события, в Германии  молодой  математик
Куммер упорно занимается  теоремой  Ферма.  Повторив  все  ошибки  Ламе,  он
пришел к понятию  “идеальных  чисел”,  для  которых  разложение  на  простые
множители  единственно.  Обобщение  этого   понятия   привело   к   созданию
головокружительных абстрактных  конструкций,  которые  сегодня  изучаются  в
специальном  разделе  алгебре  под  названием  “Теория   идеалов”.   Куммер,
посвятивший теореме несколько десятков лет, к концу  жизни  умел  доказывать
“Великую теорему Ферма” для всех простых показателей n <100. В 1857  г.  ему
была вручена премия Французской академии наук  в  размере  3  тыс.  франков.
Работы   Куммера   окончательно   похоронили    надежды    на    возможность
доказательства теоремы  Ферма  элементарными  средствами.  Стало  ясно,  что
Ферма никогда не имел и не мог иметь доказательства теоремы в общем виде.
    После Куммера серьезных  сдвигов  в  доказательстве  теоремы  Ферма  не
происходило вплоть до 1929 г.,  когда  Вандивер,  используя  метод  Куммера,
получил  в  явном  виде  некие  условия,  позволяющие  проверять  истинность
теоремы для любого  простого  показателя.  С  этого  момента  доказательство
теоремы для конкретного  n  свелось  к  чисто  вычислительным  проблемам,  с
которыми  легко  справляются  современные  ЭВМ.   В   результате   к   концу
семидесятых годов нашего столетия “Великая теорема Ферма” была доказана  для
всех
n <100000. Это очень большое число, но это еще не все n, а  значит  “Великая
теорема Ферма” не доказана и не опровергнута.
    Ведущие математики всех времен и народов  неоднократно  объясняли,  что
элементарное доказательство теоремы Ферма, во-первых, не существует,  а  во-
вторых, не будет иметь никакого значения для науки. Оно всего  лишь  закроет
проблему. Подлинное значение “Великой теоремы” в том, что  пр
12345
скачать работу

Пьер де Ферма

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ