Первичная статистическая обработка информации
Другие рефераты
1. Исходные данные: исследуются трудозатраты на выполнение комплекса
доработок на объекте (в человеко-часах).
Результаты независимых измерений трудозатрат на 100 объектах приведены в
таблице 1.
Таблица 1
|Числа |2 |10 |36 |33 |14 |5 |
|попаданий| | | | | | |
|с.в. в | | | | | | |
|разряды | | | | | | |
|[pic] | | | | | | |
Рис.1.
2.5. Статистический ряд распределения строится на базе сгруппированного
ряда. Для этого вычисляются частоты попадания значений x в соответствующие
разряды по формуле:
[pic]
Статистический ряд распределения представлен в таблице 4.
Таблица 4
|Разряды |[280..320|(320..360|(360..400|(400..440|(440..480|(480..520|
|[pic] |] |] |] |] |] |] |
|Частоты |0.02 |0.10 |0.36 |0.33 |0.14 |0.05 |
|[pic] | | | | | | |
2.6. Графической иллюстрацией статистического ряда распределения является
“полигон частот”, представленный на рис.2.
Рис.2.
2.7. Статистический ряд распределения является основой для вычисления и
построения эмпирической плотности вероятности (рис.3). Гистограмма строится
в виде прямоугольников, основания которых равны длинам разрядов, а высоты
определяются из соотношения:
[pic]
где [pic] длина j-го разряда (j=1..m).
Результаты расчетов по оценке эмпирической плотности вероятности [pic]
приведены в таблице 5, а гистограмма на рис.3. (dx = 40)
Таблица 5
|Разряды |[280..32|(320..36|(360..40|(400..44|(440..48|(480..52|
|[pic] |0] |0] |0] |0] |0] |0] |
|Значения |0.050 |0.250 |0.900 |0.825 |0.350 |0.125 |
|[pic] | | | | | | |
Рис.3.
3. Выполнение второго задания.
3.1. Вычислим точечные и интервальные оценки математического ожидания
(выборочного среднего значения) и дисперсии (выборочной исправленной
дисперсии) по данным таблиц 1 и 2. сначала определим точечные оценки.
[pic]
[pic]
[pic]
Интервальную оценку математического ожидания (доверительный интервал) при
заданной доверительной вероятности (надежности) [pic] и числе наблюдений
(объеме выборки) n =100 определим по формуле:
[pic],
где [pic] - точность вычисления МО по результатам наблюдений при заданных
значениях n и [pic]. [pic] , где [pic] определяется по таблицам Стьюдента:
[pic]=[pic]=1,984
[pic]
Интервальная оценка (доверительный интервал) для МО равна:
[pic]
Этим отрезком с вероятностью 0,95 накрывается истинное (неизвестное)
значение МО.
Интервальная оценка среднего квадратического отклонения (доверительный
интервал) определяется по формуле:
[pic],
где q определяется по таблице [pic]
q = q(100;0,95)=0,143
Доверительный интервал для оценки с.к.о. равен
42,493(1-0,143)< [pic] <42,493(1+0,143)
36,42<[pic]<48,57
Этим отрезком с вероятностью 0,95 накрывается истинное (неизвестное)
значение с.к.о.
3.2. На основании изучения гистограммы (рис.3) выдвинем гипотезу [pic] о
нормальном распределении генеральной совокупности случайных величин X -
трудозатрат на доработки на объекте. Нулевую гипотезу подвергнем
статистической проверке на противоречивость данным, полученным из опыта
(табл.1) по критериям [pic]- Пирсона и [pic]- Колмогорова.
В соответствии с методом моментов положим параметры нормального
распределения равным оценкам:
3.3. На графиках гистограммы и эмпирической функции распределения (рис.1,3)
построим сглаживающие функции (теоретические кривые) плотности вероятности
и функции распределения в соответствии с их выражениями:
[pic]
Для построения сглаживающих кривых используем таблицы нормированной
нормальной плотности вероятности
[pic]
и нормированной нормальной функции распределения
[pic]
Для входа в таблицы нормируем случайную величину Х по формуле:
[pic]
Значения нормированных величин [pic] на границах разрядов, численные
значения сглаживающих кривых на границах разрядов приведены в таблице 6.
Таблица 6
|Границы разрядов |280 |320 |360 |400 |440 |480 |520 |
|[pic] | | | | | | | |
|[pic] |-2,92 |-1,98 |-1,04 |-0,10 |0,84 |1,78 |2,73 |
|[pic] |0,0056|0,0562|0,2341 |0,3970|0,2803 |0,0818 |0,0096 |
|[pic] |0,013 |0,132 |0,55 |0,93 |0,66 |0,19 |0,023 |
|[pic] |0 |0,024 |0,14917|0,4602|0,79955|0,96246|0,99683|
3.4. Статистическую проверку гипотезы [pic] о нормальном распределении
случайной величины Х по выборке из 100 значений осуществим по двум
различным критериям.
1) Критерий [pic] - Пирсона.
Суммарная выборочная статистика [pic]- Пирсона рассчитывается по
результатам наблюдений по формуле:
[pic],
где [pic] - числа попаданий значений х в j – й разряд (табл.3);
n – число наблюдений (объем выборки);
m – число разрядов;
[pic] - вероятность попадания случайной величины Х в j – й интервал,
вычисляемая по формуле:
[pic],
где [pic], [pic] - границы разрядов;
Ф(u) – функция Лапласа.
Результаты расчетов выборочной статистики [pic] приведены в таблице 7.
Таблица 7
|№ | |[280..32|(320..36|(360..40|(400..44|(440..48|(480..52|
| | |0] |0] |0] |0] |0] |0] |
|1 |[pic] |2 |10 |36 |33 |14 |5 |
|2 |[pic] |0,0221 |0,1276 |0,3087 |0,3393 |0,1602 |0,0421 |
|3 |[pic] |2,21 |12,76 |30,87 |33,93 |16,02 |4,21 |
|4 |[pic] - |-0,21 |-2,76 |5,13 |-0,93 |-2,02 |0,79 |
| |[pic] | | | | | | |
|5 |[pic] |0,0441 |7,6176 |26,3169 |0,8649 |4,0804 |0,6241 |
|6 |<5>:<3> |0,02 |0,597 |0,853 |0,025 |0,2547 |0,1482 |
|7 |[pic] |[pic] |
Проверяем гипотезу [pic] о нормальном распределении генеральной
совокупности значений Х:
1). По таблице [pic]- распределения по заданному уровню значимости
[pic]=0,10 и числу степеней свободы k=m-2-1=3 (m=6 – число разрядов, 2 –
число параметров нормального распределения [pic]) определим критическое
значение [pic], удовлетворяющее условию:
[pic].
В нашем случае [pic]
2). Сравнивая выборочную статистику [pic], вычисленную по результатам
наблюдений, с критическим значением [pic], получаем:
[pic], [pic]
[pic]<[pic][pic][pic]- согласуется с данными опыта (принимается).
Вывод: статистическая проверка по критерию [pic]- Пирсона нулевой гипотезы
о нормальном распределении значений х генеральной совокупности, выдвинутой
на основании выборочных данных, не противоречит опытным данным.
2). Критерий [pic]- Колмогорова.
Выборочная статистика [pic]- Колмогорова рассчитывается по формуле:
[pic]
где [pic]
модуль максимальной разности между эмпирической [pic] и сглаживающей
функциями распределения.
При заданном уровне значимости [pic]=0,10 критическое значение
распределения Колмогорова [pic] Полученной на основании выражения:
[pic]
функции распределения статистики [pic]- Колмогорова.
Для проверки нулевой гипотезы проведем следующую процедуру:
1). Найдем максимальное значение модуля разности между эмпирической [pic] и
сглаживающей F(x) функциями распределения:
[pic]=0,063.
2). Вычислим значение выборочной статистики [pic] по формуле:
[pic]=0,063[pic]=0,63.
3). Сравнивая выборочную статистику [pic] и критическое значение [pic]
получаем:
[pic]=0,63<1,224=[pic].
Следовательно, гипотеза [pic] о нормальном распределении случайной величины
Х согласуется с опытными данными.
3.5. Вероятность попадания значений случайной величины Х на интервал [МО -
с.к.о.; МО + 2*с.к.о.] вычислим по формуле:
P=(X[pic][404,180-42,493;404,180+2*42,493])=P(X[pic][361,7;489,17])=
=[pic]=Ф(2)+ Ф (1)=
=0,477+0,341=0,818.
ЛИТЕРАТУРА
Монсик В.Б. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: Пособие к
выполнению курсовой работы. – М.: МГТУ ГА, 2002. – 24 с..
| |  скачать работу |
Другие рефераты
| 
