Построение графика функции различными методами
афика функций с помощью преобразования
Во многих случаях графики функций могут быть построены путем некоторых
преобразований уже известных графиков других функций более простого вида.
График функций вида:
y=Af(?x+b)+B
может быть получен из графика функций y=f(x) при помощи следующих
геометрических преобразований:
1. а) Осевой симметрии относительно оси 0X;
б) осевой симметрии относительно оси 0Y;
в) центральной симметрии относительно начала координат точки 0;
2. а) Параллельного переноса (сдвига) вдоль оси 0X;
б) параллельного переноса (сдвига) вдоль оси 0Y;
3. а) Растяжения (или сжатия) по направлению оси 0X;
б) растяжения (или сжатия) по направлению оси 0Y;
Отметим, что:
1. а) При осевой симметрии относительно оси 0X точка (x; y) переходит в
точку (x; -y);
б) При осевой симметрии относительно оси 0Y точка (x; y) переходит в точку
(-x; y);
в) При центральной симметрии относительно начала координат (x; y) переходит
в точку (-x; -y);
2. а) При параллельном переносе вдоль оси 0X точка (x; y) переходит в
точку (x+a; y), где а – некоторое число при этом перенос происходит
«вправо», если а>0, и «влево», если а<0;
б) ) При параллельном переносе вдоль оси 0Y точка (x; y) переходит в точку
(x; y+b), где b – некоторое число при этом перенос происходит «вверх», если
b>0, и «вниз», если b<0;
3. а) При растяжении (сжатии) в p раз (p>0, p?1) вдоль оси 0X
относительно 0Y точка (x; y) переходит в точку (px; y);
б) При растяжении (сжатии) в q раз (q>0, q?1) вдоль оси 0Y относительно 0X
точка (x; y) переходит в точку (x; qy);
Применительно к графикам функций эти свойства дают те конкретные
геометрические преобразования (табл. 1), использование которых позволяет из
известного графика функции y=f(x) строить графики других функций (рис. 1 -
11).
Таблица №1
[pic]
Рассмотрим несколько примеров построения графиков функций:
Пример 1. График функции y=2x-3 получается из графика y=2x при помощи
параллельного переноса его вдоль оси 0Y вниз на отрезок длины 3.
Переписав 2x-3 в виде 2(x-3/2), замечаем, что график функции y=2(x-
3/2) можно получить из графика функции y=2x при помощи
параллельного переноса его вдоль оси 0X вправо на отрезок длины 3/2 (рис.
12).
Пример 2. График функции y=4x2 получается из графика функции y= x2
растяжением последнего в 4 раза вдоль оси 0Y относительно оси 0X. Переписав
4x2 в виде (2x)2 , замечаем, что график функции y= x2 можно получить из
графика функции y= x2 сжатием последнего в 2 раза вдоль оси 0X относительно
оси 0Y (рис. 13).
Пример 3. График функции y= 2x-3 получается из графика y= 2x при
помощи параллельного переноса его вдоль оси 0X вправо на отрезок длины 3.
Переписав 2x-3 в виде(1/8)*2x , замечаем, что график функции
y=(1/8)*2x можно получить из графика функции y=2x сжатием последнего в 8
раз вдоль оси 0X (рис. 14).
Пример 4. Построить график функции:
y=1/2arctg(i/4-x)
Решение: построение графика данной функции может быть проведено по
следующей схеме (рис. 13):
arctg > arctg(-x) > 1/2arctg(-x) > 1/2arctg(-(x-1/4)).
Пример 5. Построить график функции:
y=ax2 +bx+c, a?0.
Решение: квадратный трехчлен ax2+bx+c можно записать в виде
a(x+(b/2a))2+(4ac-b2)/4a. Отсюда видно, что график функции y=ax2
+bx+c, получается из параболы y=x2 по следующей схеме:
x2> ax2> ax2+(4ac- b2 )/4a > a(x+b/(2a))2 +(4ac-b2 )/4a
т.е. для построения графика y=a x2+bx+c надо:
1. Растянуть в |а | раз, если |а | >1 (сжать |1/а | раз, если |а | <1),
вдоль оси0X график функции y=x2 (с возможным последующим отображением
полученного графика функции y=|a| x2 относительно оси 0Y, если а<0).
2. Параллельно перенести вдоль оси 0Y на отрезок длины |(4ac- b2)/4a| вверх
(вниз) график функции y=ax2 , если величина (4ac- b2)/4a положительна
(отрицательна).
3. Полученный после предыдущего преобразования график параллельно перенести
вдоль оси 0X на отрезок длины |b/2a| вправо, если b/2a<0, и влево, если
b/2a>0.
Пример 6. Построить график функции:
y=| x2-5x+6|
Решение: построим график функции y=x2-5x+6
x2 > (x-5/2)2 >(x-5/2)2 -1/4= x2 -5x+6
На рисунке изображен график функций y=| x2-5x+6|
Иногда функция, график которой должен быть построен, представляется
как сумма двух простейших функций, графики которых нам знакомы или легко
могут быть построены. В этом случае можно применить приём графического
сложения ординат этих графиков (для краткости говорят просто о сложении
графиков.) покажем этот приём на примерах.
Пример 1. Построить график функций y=x3 +2x+2.
Решение: можно представить данную функцию как сумму функций y=x3 и y=-2x+2,
графики которых нам хорошо знакомы. Они изображены на рис. 16 тонкими
линиями: это прямая y=-2x+2 и кубическая парабола y=x3. Далее производится
суммирование ординат: к ординатам точек кубической параболы прибавляются (с
учетом знака!) ординаты точек прямой. При выполнении этой операции удобно
пользоваться мерительным циркулем; следует использовать наиболее важные и
характерные точки каждого из графиков (в нашем примере – вершину O(0; 0)
параболы, точки пересечения прямой с осями и т.д.). Итогом построения
служит график, показанный жирной линией. Мы можем много сказать о функции:
она имеет максимум и минимум, обращается в нуль в одной точке и т.д.
Положение этих характерных точек её графика мы могли бы найти приближенно
по чертежу.
Пример 2. Построить график функций y=2ч-2x.
Решение: график данной функции можно получить сложением графиков
показательной функции y=2x и линейной функции y=-2x. Это сделано на рис.
17. График пересекает ось OX в точках x=1, x=2, являющихся нулями функции
y=2ч-2x.
Обратим ещё внимание на то, что прямая y=-2x является асимптотой графика
(т.к. при x, стремящимся к минус бесконечности, разность между значениями
функций y=2ч-2x и y=-2x стремится к нулю). Из построения видно, что функция
имеет точку минимума, найти её точное положение для нас затруднительно.
Пример 3. Построить график функций y=x2-x4.
Решение: график может быть построен вычитанием ординат графика y=x4 из
ординат графика y=x2 (рис. 18). В данном случае полезно дополнить это
построение некоторым общим исследованием свойств функции y=x2-x4. Ясно, что
функция определена для всех значений x и является четной. Она обращается в
нуль при x=0, x= ±1. Как видно из построения графика методом вычитания,
следует ожидать у функции наличия двух точек максимума. В данном случае их
нетрудно найти; преобразуем выражение функции:
y=x2-x4=1/4-(1/4- x2+x4)=1/4-( x2-1/2) 2 .
Теперь видно, что наибольшее значение y=1/4 функция имеет при х=±1/(2.
Точка x=0 является точкой минимума данной функции (но значение функции в
этой точке, равное нулю, не есть её наименьшее значение).
(книга 2)
Используя геометрические преобразования, рассмотренные выше, в их
различных комбинациях, можно построить и графики более сложных функций.
Пример1. Построить график функций
y= |||x |- - 1| -2|
Решение: график данной функции можно построить по графику функции y=|| x|
-1| , если последний параллельно перенести вдоль оси 0Y вниз на отрезок
длины 2, а затем эту часть полученного графика функции y= ||x |- - 1| -2,
которая расположена в нижней полуплоскости, симметрично отобразить
относительно оси 0X. График функции y= ||x |- - 1| можно построить по
графику функции y= |x|- если последний параллельно перенести вдоль оси 0Y
вниз на отрезок длинны 1, а затем ту часть полученного графика функции y=
|x|- - 1, которая расположена в нижней плоскости, симметрично отобразить
относительно оси 0X.
Таким образом, график заданной функции может быть построен согласно
схеме: x>|x|>|x|--1>||x|--1|> ||x|--1|--2>|||x|--1|-2|
§3. Применение производной
к построению графика функции
Графики функций строятся по точкам. Обычно из уравнения y=f(x) находят
несколько точек графика функций y=f(x) и соединяют эти точки плавной
кривой. Однако при таком методе легко пропустить какие-то особенности
графика и допустить ошибку в построении.
Для построения графика функции нужно исследовать её свойства. Прежде
всего надо найти область определения функции, а потом исследовать функцию
на честность и периодичность. Т.к. график четной функции симметричен
относительно оси Оу, а график нечетной - относительно начала координат, то
для четных и нечетных функций можно ограничится исследованием их свойств
лишь при х?0. Если периодическая и Т – её основной период, то можно
ограничится исследованием свойств функции на промежутке длинны Т.
Далее полезно найти точки пересечения графика с осями координат и
определить интервалы знакопостоянства функции. Дело в том , что если,
скажем, на интервале (a; b) функция y=f(x) принимает только положительные
значения, то график её на этом интервале лежит выше оси Ох. Значит, часть
плоскости, лежащею под указанным интервалом, можно заштриховать – там
графика нет. Эта часть исследования позволяет указать области, где может
лежать график функции. После этого можно изучить пов
| | скачать работу |
Построение графика функции различными методами |