Построение приближенного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля
[pic]
(10)
Заметим, что уравнение (10) совпадает с одним из тех уравнений, которое
мы получили бы, если бы рассматривали уравнение (1) как квазилинейное и
разыскивали периодические решения методом Пуанкаре.
Трансцендентное уравнение (10) может совсем не иметь действительных
решений. Это будет означать, что в системе стационарные колебания
невозможны. Уравнение (10) может иметь одно или несколько решений, в
случаях консервативных систем оно удовлетворяется тождественно. В самом
деле, в этом случае функция f зависит только от переменной x, поэтому
уравнение (10) примет вид:
[pic]
(10а)
Так как [pic], то под знаком интеграла стоит полный дифференциал:
[pic]
Обозначим через F[pic]— неопределенный интеграл [pic].
Тогда [pic],
то есть уравнение (10а) удовлетворяется тождественно по [pic].
Обоснование метода Ван-дер-Поля
Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси.
Рассмотрим систему стандартного вида
[pic] (s=1,2) (1)
Уравнение Ван-дер-Поля также можно привести к системе стандартного
вида:
[pic] (2)
Сделаем замену
[pic],
тогда: [pic]
(3)
Будем считать [pic]=[pic].
Среднее значение функции [pic] за период 2[pic]:
[pic]
При этом усреднении интегрирование ведется по третьей переменной t в
предположении, что [pic] и [pic] от t не зависят.
[pic]
Наряду с точной системой рассматривается приближенная
[pic], (s=1,2).
Обе системы, приближенная и точная, решаются при начальных условиях
[pic]
(4)
Для задач Коши (1) и (4), (3) и (4) справедлива следующая теорема:
Теорема. Пусть при всех t и в некоторой области переменных [pic]
функции [pic] непрерывны и ограничены. Функции [pic] также непрерывны и
ограничены в области Г. [pic]— 2[pic]-периодические по t. Функции [pic]и
[pic]— удовлетворяют условию Липшица по переменным [pic] и [pic] (при этих
условиях существует и единственно решение). Тогда для[pic] [pic] и L>0:
[pic]
(5)
0[pic]
(6)
Доказательство:
Решение задач Коши (1) и (4), (3) и (4) существует и единственно.
Поэтому решение (1) и (4) будем искать методом приближений.
[pic]
Обозначим
[pic] (*)
Функция [pic][pic]— 2[pic]-периодическая по [pic].
Пусть
[pic] (7)
[pic] удовлетворяет условиям Липшица по переменным [pic]и[pic].
Проинтегрируем функцию [pic]:
[pic].
Интеграл [pic] и [pic] поэтому
[pic]
[pic]
(7a)
В промежутке [pic] находятся те значения t, для которых будет
существовать решение (1) - (4) и оно не выйдет за пределы области G. Это
характеризуется так
[pic]
Из теоремы Пикара следует, что при всех таких t приближенное выражение
сходится к решению задачи Коши:
[pic]
[pic]
[pic] [pic]— целую часть от деления обозначим N. Тогда [pic]—
дробная часть [pic]
[pic],
где [pic]— остаточный интервал.
С учетом возможности такого разбиения
[pic]
Если рассмотреть [pic], то последнее выражение перепишется в виде:
[pic]=[pic],
где с учетом (4)
[pic]=[pic]
Рассмотрим интеграл при [pic]
[pic]
[pic] и [pic] от [pic] не зависят. Из равенств (7а) следует, что
последнее выражение равно нулю [pic].
Вычислим
[pic]
То есть
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] (8)
Мы можем сказать, что в (8), все, что стоит под знаком суммы
[pic]
Так как
[pic],
то последнее неравенство равносильно следующему:
[pic]
[pic][pic]
[pic][pic]
[pic]Поэтому:
[pic][pic]=[pic], (9)
[pic]где [pic]
[pic][pic] (10)
[pic][pic]
[pic][pic]— удовлетворяет условию Липшица, поэтому мы можем
воспользоваться этим, переходя к оценкам
[pic][pic] (11)
[pic]
[pic]
[pic][pic] (12)
[pic]
Пусть [pic], причем [pic], тогда:
[pic] (13)
Оценим
[pic] (14)
Фактически нужно оценить величину [pic].
[pic][pic]
Используем условие Липшица для [pic], тогда последнее неравенство
[pic]
(последняя оценка получена с помощью неравенства (11)).
[pic] (15)
[pic]
[pic] (16)
Можно увидеть следующую закономерность
[pic] (17)
По методу математической индукции, для [pic] оценки верны. Покажем их
справедливость и для [pic]
[pic]
Используя формулу (13), далее получим:
[pic] (18)
Теперь в этом неравенстве перейдем к пределу при [pic]
[pic] (19)
Обозначим через
[pic]
Так как мы пользовались условиями Липшица, нужно убедиться, что
приближения не выходят из области G.
[pic]— по теореме Пикара это не выходит за пределы области G, то есть
[pic]
В силу плотности числовой прямой
[pic], где [pic] (20)
Проверим, вышло ли первое приближение за пределы области G. Пользуясь
оценками (19) и (20), имеем:
[pic]
Возьмем
[pic],
тогда
[pic]
Аналогично проверяем второе приближение
[pic]
Возьмем
[pic], тогда
[pic][pic]
И если
[pic],
если
[pic]
Если мы перейдем к перейдем к пределу при [pic], то получим:
[pic] (21)
Если мы [pic] будем выбирать из условия (21), то использование условия
Липшица законно.
[pic] необходимо согласовывать с [pic] с помощью (21) и
[pic]
Решение уравнения
Рассмотрим уравнение
[pic]
(1)
Данное уравнение второго порядка описывает колебательное движение.
Здесь ? – некоторая действительная постоянная, а ? – малый параметр.
Делаем в уравнении (1) замену: [pic] тогда получим систему
[pic]
(2)
Переходим в уравнении (1) к новым переменным a и [pic], полагая здесь
и далее [pic], согласно формулам
[pic]
(3)
Далее, дифференцируем (3) по t, считая [pic]и ?[pic].
[pic] (4)
Подставим (4) в (2), учитывая (3).
[pic]
[pic] (5)
Разрешим эту систему относительно [pic]
[pic]
Домножим второе уравнение на [pic]
[pic][pic][pic] ,
тогда имеем:
[pic] (6)
Система (6) полностью эквивалентна уравнению (1). Соответствующая
системе (6) усредненная система имеет вид
[pic]
(7)
| |  скачать работу |
Построение приближенного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля |
