Построение приближенного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля
В системе (7) [pic] и [pic] имеют вид:
[pic]
то есть
[pic]
[pic]
[pic]
Таким образом имеем
[pic] или
[pic] [pic] (8)
Чтобы найти в явном виде закон изменения амплитуды в зависимости от
времени, необходимо решить первое уравнение системы (8):
[pic]
Умножим обе части равенства на [pic]:
[pic].
Сделаем замену
[pic] [pic] [pic]
[pic],
умножаем обе части равенства на [pic]:
[pic] [pic] [pic]
Так как [pic],
то тогда [pic],
или [pic]
[pic] [pic] [pic]
Предположим, что [pic], тогда [pic]
[pic][pic]; [pic];
[pic][pic]+[pic].
Отсюда находим
[pic] (9а)
Колебания представятся следующим образом (находим выражение для
приближенного значения x в явном виде)
[pic] (9)
Найдем [pic]
Динамический режим обладает сильной устойчивостью, заключающейся в
том, что каково бы ни было значение [pic], малое или большое, все равно
[pic] при [pic].
Как видно из выражения (9), если начальное значение амплитуды [pic]=0,
амплитуда останется равной нулю для любого t, и, следовательно, получим
х=0, то есть тривиальное решение уравнения (1). Это тривиальное решение,
очевидно, соответствует статическому режиму, то есть отсутствию колебаний в
системе.
Однако, исходя из формулы (9), нетрудно заключить, что этот
статический режим неустойчив. Действительно, как бы ни было мало начальное
значение амплитуды, оно все равно будет монотонно приближаться к значениям,
равным [pic]. Таким образом, поскольку случайные малые толчки практически
неизбежны, в рассматриваемой колебательной системе, находящейся в состоянии
покоя, автоматически возбуждаются колебания с амплитудой, то есть система
самовозбуждается.
Из выражения (9) следует, что если [pic], то [pic], и для любых [pic]
[pic] очень быстро приближается к значению [pic] независимо от [pic]. Это
решение соответствует стационарному (установившемуся) динамическому режиму:
[pic] (10)
Иначе говоря, любое колебание при увеличении t приближается к
стационарному колебанию, то есть колебания будут устойчивы.
Режимы с постоянной амплитудой, для [pic], приводят к уравнению
А[pic]=[pic]=0
[pic] .
Корни этого уравнения [pic] [pic];
[pic]; [pic]<0 [pic][pic][pic]
Таким образом, [pic] соответствует неустойчивому состоянию равновесия,
а [pic] соответствует устойчивому предельному циклу.
Для любого заданного положительного сколь угодно малого значения
параметра [pic] всегда можно найти такое достаточно малое значение
параметра [pic], для которого уравнение (1) или, что то же самое, система
(2), имела бы предельный цикл, лежащий в [pic]окрестности окружности [pic],
причем этот предельный цикл устойчив, если[pic], и неустойчив, если [pic].
Все эти рассуждения следуют из теоремы Мандельштама и Папалекси.
Наряду с точной системой рассматривается приближенная
[pic], (s=1,2) .
Теорема. Пусть при всех t и в некоторой области переменных [pic]
функции [pic] непрерывны и ограничены. Функции [pic] также непрерывны и
ограничены в области Г. [pic]— 2[pic]-периодические по t. Функции [pic]и
[pic]— удовлетворяют условию Липшица по переменным [pic] и [pic] (при этих
условиях существует и единственно решение). Тогда для[pic] [pic] и
L>0 : [pic], 0[pic],
где [pic] (s=1,2) [pic]=[pic]
[pic] [pic] (s=1,2)
Проверим выполнение условий теоремы для нашего уравнения. Из системы
(6) находим [pic] и [pic]:
[pic]
Очевидно, что [pic] и [pic] непрерывны.
[pic], из этих неравенств видно, что [pic] и [pic] ограничены для любого
конечного [pic]. Функции [pic] и [pic] для системы (2) имеют вид:
[pic].
Из последней системы видно, что [pic] и [pic] непрерывны и ограничены
для любого конечного [pic]. [pic] и [pic]— периодические по t с любым
периодом, в том числе и [pic]. Функции [pic] и [pic], [pic] и [pic]
непрерывно дифференцируемы по t, а следовательно удовлетворяют условию
Липшица.
Пусть [pic] и [pic]— решения точной системы (6). Тогда для [pic]
[pic] и [pic] : [pic], [pic].
( В нашем случае [pic], [pic] определяется уравнением (9а)).
Выводы
В рамках теории Ван-дер-Поля нельзя уточнить полученные решения.
В заключение заметим, что метод Ван-дер-Поля позволил исследовать
достаточно широкий круг задач нелинейной механики (с одной степенью
свободы), и задач радио- и электротехники, обладает наглядностью и удобен
для проведения расчетов. Благодаря этому методу созданы генераторы
стационарных колебаний в радиоприемных и радиопередающих устройствах,
которые используются и по сей день в современной технике. В рамках теории
Ван-дер-Поля нельзя уточнить полученные решения.
Список использованной литературы
1. Ю.А. Митропольский Метод усреднения в нелинейной механике,
«Наукова думка» Киев — 1971г.
2. Н.Н. Моисеев Асимптотические методы нелинейной
механики, М.: Наука, 1981г.
3. А. Найфэ Методы возмущений. Издательство «Мир», Москва—1976г.
4. А. Найфэ Введение в методы возмущений. «Мир», 1984г.
5. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. Физматгиз,
М.,1959г.
| |  скачать работу |
Построение приближенного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля |
