Поверхности 2-го порядка
Другие рефераты
Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной
системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.
1. Эллипсоид.
Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной
системе координат определяется уравнением: [pic]
(1)
Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.
Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения
данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из
таких плоскостей определяется уравнением вида z=h, где h – любое число, а
линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями
[pic] (2)
Исследуем уравнения (2) при различных значениях h.
1) Если [pic]> c (c>0), то [pic] и уравнения (2) определяют мнимый эллипс,
т. е. точек пересечения плоскости z=h с данным эллипсоидом не существует.
2) Если [pic], то [pic] и линия (2) вырождается в точки (0; 0; + c) и (0;
0; - c) (плоскости [pic] касаются эллипсоида).
3) Если [pic], то уравнения (2) можно представить в виде
[pic]
откуда следует, что плоскость z=h пересекает эллипсоид по эллипсу с
полуосями [pic] и [pic]. При уменьшении [pic] значения [pic]и
[pic]увеличиваются и достигают своих наибольших значений при [pic], т. е. в
сечении эллипсоида координатной плоскостью Oxy получается самый большой
эллипс с полуосями [pic] и [pic].
Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности
плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как
замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, c называются
полуосями эллипсоида. В случае a=b=c эллипсоид является сферой.
2. Однополосный гиперболоид.
Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в
некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
[pic] (3)
Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного
гиперболоида.
Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее
координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно
уравнения
[pic] и [pic]
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h,
параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении,
определяется уравнениями
[pic] или [pic] (4)
из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с
полуосями [pic] и [pic],
достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного
гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с
полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании [pic] величины a* и b*
возрастают бесконечно.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный
гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере
удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.
Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.
3. Двуполостный гиперболоид.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
[pic] (5)
Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного
гиперболоида.
Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его
сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно
уравнения
[pic] и [pic]
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h,
параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении,
определяется уравнениями
[pic] или [pic] (6)
из которых следует, что при [pic]>c (c>0) плоскость z=h пересекает
гиперболоид по эллипсу с полуосями [pic] и [pic]. При увеличении [pic]
величины a* и b* тоже увеличиваются.
При [pic] уравнениям (6) удовлетворяют координаты только двух точек:
(0;0;+с) и (0;0;-с) (плоскости [pic] касаются данной поверхности).
При [pic] уравнения (6) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения
плоскости z=h с данным гиперболоидом не существует.
Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.
4. Эллиптический параболоид.
Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
[pic] (7)
где p>0 и q>0.
Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического
параболоида.
Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями Oxy и
Oyz. Получаем соответственно уравнения
[pic] и [pic]
из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные
относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.
Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями z=h,
параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении,
определяется уравнениями
[pic] или [pic] (8)
из которых следует, что при [pic] плоскость z=h пересекает эллиптический
параболоид по эллипсу с полуосями [pic] и [pic]. При увеличении h величины
a и b тоже увеличиваются; при h=0 эллипс вырождается в точку (плоскость z=0
касается данного гиперболоида). При h<0 уравнения (8) определяют мнимый
эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллиптический
параболоид в виде бесконечно выпуклой чаши.
Точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его
параметрами.
В случае p=q уравнение (8) определяет окружность с центром на оси Oz, т.е.
эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную
вращением параболы вокруг её оси (параболоид вращения).
5. Гиперболический параболоид.
Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в
некоторой прямоугольной системе координат, определяется уравнением
[pic] (9) [pic]
где p>0, q>0.
Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболического
параболоида.
Рассмотрим сечение параболоида плоскостью Oxz (y=0). Получаем
уравнение
[pic] (10)
из которых следует, что в сечении получается парабола, направленная вверх,
симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. В сечениях
поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y=h), получаются так
же направленные вверх параболы.
[pic]
рассмотрим сечение данного параболоида плоскостью Oyz (x=0).
Получаем уравнение
[pic]
из которых следует, что и в этом случае в сечении получается парабола, но
теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в
начале координат. Рассмотрев сечения параболоида плоскостями, параллельными
плоскости Oyz (x=h), получим уравнения
[pic]
из которых следует, что при любом h в сечении получается парабола,
направленная вниз, а вершина её лежит на параболе, определённой уравнениями
(10).
Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy
. получим уравнения
[pic] или [pic]
из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы,
пересекающие плоскость Oxy; при h<0 – гиперболы, пересекающие плоскости
Oyz; при h=0 – гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых
[pic] и [pic]
точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его
параметрами.
6. Конус второго порядка.
Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
[pic] (11)
Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечение этой поверхности
плоскостью Oxy (y=0) получаем линию
[pic]
распадающуюся на две пересекающиеся прямые
[pic] и [pic]
Аналогично, в сечении конуса плоскостью Oyz (x=0) также получаются две
пересекающиеся прямые
[pic] и [pic]
Рассмотрим сечения поверхности плоскостями z=h, параллельными плоскости
Oxy. Получим
[pic] или [pic]
из которых следует, что при h>0 и h<0 в сечениях получаются эллипсы с
полуосями [pic] . При увеличении абсолютной величины h полуоси a* и b*
также увеличиваются.
При h=0 линия пересечения поверхности с плоскостью z=h вырождается в точку
(0;0;0).
| |  скачать работу |
Другие рефераты
| 
