Поверхности второго порядка
Другие рефераты
Поверхность второго порядка - геометрическое место точек, декартовы
прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
a11х2 + а22у2 + a33z2+ 2a12xy + 2a23уz + 2a13xz + 2а14 x + 2а24у+2а34z +а44
= 0 (1)
в котором по крайней мере один из коэффициентов a11 , а22 , a33 , a12 , a23
, a13 отличен от нуля.
Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением поверхности второго
порядка.
Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический
объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы
координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что
исходное уравнение (1) и уравнение, полученное после преобразования
координат, алгебраически эквивалентны.
1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.
Справедливо следующее утверждение.
являются инвариантами уравнения (1) поверхности второго-порядка
относительно преобразований декартовой системы координат.
Доказательство этого утверждения приведено в выпуске «Линейная алгебра»
настоящего курса.
§ 2. Классификация поверхностей второго порядка
1. Классификация центральных поверхностей. Пусть S — центральная
поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой
поверхности, а затем произведем стандартное упрощение уравнения этой
поверхности. В результате указанных операций уравнение поверхности примет
вид
a11х2 + а22у2 + a33z2 + а44 = 0 (2)
Так как инвариант I3 для центральной поверхности отличен от ноля и его
значение, вычисленное для уравнения (2) , равно a11 • а22 • a33 , то
коэффициенты a11 ,а22 , a33 удовлетворяют условию :
Возможны следующие случаи :
( 1°. Коэффициенты a11 ,а22 , a33 одного знака, а коэффициент а44
отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.
Если коэффициенты a11 ,а22 , a33 , а44 одного знака, то левая часть (2)
ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению
поверхности S не удовлетворяют координаты никакой точки. В этом случае
поверхность S называется мнимым эллипсоидом.
Если знак коэффициентов a11 ,а22 , a33 противоположен знаку коэффициента
а44 , то поверхность S называется вещественным эллипсоидом. В дальнейшем
термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.
Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно,
числа
[pic]
положительны. Обозначим эти числа соответственно а2, b2, с2. После
несложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в
следующей форме:
Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипсоида.
Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и
Оz. называются его главными осями.
( 2°. Из четырех коэффициентов a11 ,а22 , a33 , а44 два одного знака, а
два других—противоположного. В этом случае поверхность S называется
однополостным гиперболоидом.
Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической
форме. Пусть, ради определенности, a11 > 0, а22 > 0, a33 < 0, а44 < 0.
Тогда числа
[pic]
положительны. Обозначим эти числа соответственно а2, b2, с2. После
несложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно
записать в следующей форме:
Уравнение (4) называется каноническим уравнением однополостного
гиперболоида.
Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (4),
то оси Ох, Оу и Oz называются его главными осями.
( 3°. Знак одного из первых трех коэффициентов a11 ,а22 , a33 , а44
противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S
называется двуполостным гиперболоидом.
Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канонической форме. Пусть,
ради определенности, a11 < 0, а22 < 0, a33 > 0, а44 < 0. Тогда :
[pic]
Обозначим эти числа соответственно через a2, b2, с2. Поcли несложных
преобразований уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно записать в
следующей форме:
Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного
гиперболоида.
Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим
уравнением, то оси Ох, Оу и Оz называются его главными осями.
( 4°. Коэффициент а44 равен нулю. В этом случае поверхность S называется
конусом второго порядка.
Если коэффициенты a11 , а22 , a33 одного знака, то левая часть (2)
обращается в нуль (а44 = 0) лишь для х=у=z=0, т. е. уравнению поверхности S
удовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S
называется мнимым конусом второго порядка. Если коэффициенты a11 , а22 ,
a33 имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным конусом
второго порядка.
Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка записывают в
канонической форме. Пусть, ради определенности,
a11 > o, а22 > 0, a33 < 0. Обозначим
[pic]
соответственно через а2, b2, с2. Тогда уравнение (2) можно записать в виде
Уравнение (6) называется каноническим уравнением вещественного конуса
второго порядка.
2. Классификация нецентральных поверхностей второго порядка.
Пусть S — нецентральная поверхность второго порядка, т. е. поверхность,
для которой инвариант I3 равен нулю. Произведем стандартное упрощение
уравнения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид
aґ11хґ2 + аґ22уґ2 + aґ33zґ2 + 2аґ14 xґ + 2аґ24уґ+2аґ34zґ +аґ44 = 0
(7)
для системы координат Oxґyґzґ
Так как инвариант I3 = 0 и его значение, вычисленное для уравнения (7) ,
равно
aґ11 • аґ22 • aґ33 , то один или два из коэффициентов aґ11 , аґ22 , aґ33
равны нулю. В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи.
( 1°. Один из коэффициентов aґ11 , аґ22 , aґ33 равен нулю. Ради
определенности будем считать, что aґ33 = 0 (если равен нулю какой-либо
другой из указанных коэффициентов, то можно перейти к рассматриваемому
случаю путем переименования осей координат). Перейдем от координат х', у',
z' к новым координатам х, у, z по формулам
Подставляя х', у' и z', найденные из (8), в левую часть (7) и заменяя
затем
aґ11 на a11 , аґ22 на а22 , аґ34 на p и аґ44 на q ,
получим следующее уравнение поверхности S в новой системе координат Oxyz :
a11х2 + а22у2 + 2pz + q = 0 (9)
1) Пусть р = 0, q = 0. Поверхность S распадается на пару плоскостей
При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a11 и а22
одинаковы, и вещественными, если знаки a11 и а22 различны.
2) Пусть р = 0, q ? 0. Уравнение (9) принимает вид
a11х2 + а22у2 + q = 0 (10)
Известно, что уравнение (10) является уравнением цилиндра с образующими,
параллельными оси Оz. При этом если a11 , а22 , q имеют одинаковый знак,
то левая часть (10) отлична от нуля для любых х и y, т. е. цилиндр будет
мнимым. Если же среди коэффициентов a11 , а22 , q имеются коэффициенты
разных знаков, то цилиндр будет вещественным. Отметим, что в случае, когда
a11 и а22 имеют одинаковые знаки, a q — противоположный, то величины
положительны.
Обозначая их соответственно через а2 и b2, мы приведем уравнение (10) к
виду
Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптический цилиндр. В
случае, a11 и а22 имеют различные знаки, мы получим гиперболический
цилиндр. Легко убедиться, что уравнение гиперболического цилиндра может
быть приведено к виду
3) Пусть р?0. Произведем параллельный перенос системы координат, выбирая
новое начало в точке с координатами
(0, 0, ).
При этом оставим старые обозначения координат х, у, z. Очевидно, для того
чтобы получить уравнение поверхности S в новой системе координат,
достаточно заменить в уравнении (9)
Получим следующее уравнение:
a11х2 + а22у2 + 2pz = 0 (13)
Уравнение (13) определяет так называемые параболоиды. Причем если a11 и
а22 имеют одинаковый знак, то параболоид называется эллиптическим. Обычно
уравнение эллиптического параболоида записывают в канонической форме:
Уравнение (14) легко получается из (13). Если a11 и а22 имеют разные
знаки, то параболоид называется гиперболическим. Каноническое уравнение
гиперболического параболоида имеет вид
Это уравнение также легко может быть получено из (13).
( 2°. Два из коэффициентов aґ11 , аґ22 , aґ33 равны нулю. Ради
определенности будем считать, что aґ11 = 0 и аґ22 = 0 Перейдем от
х,', у', z' к. новым координатам х, у, z по формулам :
Подставляя х', у' и z' , найденные из (16) в левую часть (7) и заменяя
затем aґ33 на a33 , aґ14 на р , aґ24 на q и aґ44 на r
, получим следующее уравнение поверхности S в новой системе координат Охуz
:
a33 z2 + 2px + 2qy + r = 0 (17)
1) Пусть р=0, q=0. Поверхность S распадается на пару параллельных
плоскостей
При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a33 и r
одинаковы, и вещественными, если знаки a33 и r различны, причем при r = 0
эти плоскости сливаются в одну.
2) Хотя бы один из коэффициентов р или q отличен от нуля. В этом случае
повернем систему координат вокруг оси Oz так, чтобы новая ось абсцисс стала
параллельной плоскости 2рх+2qy+r=0. Легко убедиться, что при таком выборе
системы координат, при условии сохранения обозначения х, у и z для новых
координат точек, уравнение (17) примет вид
a33 z2 + 2qґy = 0 (19)
которое является уравнением параболического цилиндра с образующими,
параллельными новой оси Ох.
§ 3. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим
уравнениям
1. Эллипсоид.
Из уравнения (3) вытекает, что координатные пло
| |  скачать работу |
Другие рефераты
| 
