Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Представление чисел в виде суммы двух квадратов

чисел Диофант не знал, иначе он непременно выписал бы
разложения 5 = (2 + i)(2 - i), 13 = (3 + 2i)(3 - 2i и продолжил бы свои
объяснения следующим образом:
65 = (2 + i)(3 + 2i) . (2 - i)(3 - 2i) = (4 + 7i) . (4 - 7i) =

= 42 + 72 = (2 + i)(3 - 2i) . (2 - i)(3 + 2i)=

= (8 - i) . (8 + i) = 82 + 12.
По-разному группируя множители, получаем два разных разложения!
Следующий пример — число 25. 25 — наименьшее число, двумя способами
представимое в виде суммы квадратов двух целых чисел. Оба эти разложения
легко получить, по- разному группируя множители:
25 = (2 + i)2 . (2 - i)2 = (3 + 4i) . (3 - 4i) =

= 32 + 42 = (2 + i)(2 - i) . (2 + i)(2 - i) =

= 5 . 5 = 52 + 02.
Последний пример — число 5746. Как мы хорошо знаем, всякому представлению
5746 = a2 + b2 соответствует разложение 5746 = (a + bi)(a - bi) на
сопряженные множители. Поэтому разложим рассматриваемое число сначала на
простые натуральные, а затем и на простые гауссовы множители:
5746 = 2 . 132 . 17 = (1 + i)(1 - i)(3 + 2i)2(3 - 2i)2(4 + i)(4 - i).
Теперь мы должны из нескольких этих множителей составить a + bi, да так,
чтобы произведение остальных множителей равнялось a - bi. Это нетрудно
сделать:
a + bi = (1 + i)(3 + 2i)2(4 + i) = -45 + 61i,
a - bi = (1 - i)(3 - 2i)2(4 - i) = -45 - 61i.
При этом, разумеется, 452 + 612 = 2025 + 3721 = 5746. Легко найти и еще два
варианта:
a + bi = (1 + i)(3 + 2i)(3 - 2i)(4 + i) = 39 + 65i
или
a + bi = (1 + i)(3 - 2i)2(4 + i) = 75 - 11i.
Они приводят к представлениям 392 + 652 = 1521 + 4225 = 5746 и 752 + 112 =
5625 + 121 = 5746. Никаких других представлений нет
Аналогично можно найти число представлений в виде суммы двух квадратов
любого натурального числа [pic]где p1, ..., pr — попарно различные простые
числа, каждое из которых дает остаток 1 при делении на 4, Q — число, не
имеющее простых делителей кроме тех, которые дают остаток 3 при делении на
4. А именно, если Q не является точным квадратом, то n не представимо в
виде суммы двух квадратов; если же Q — точный квадрат, то, применив
необходимое число раз теорему 2, получаем: количество представлений числа n
в виде суммы двух квадратов равно количеству представлений числа [pic]в
виде суммы двух квадратов. Формулу для этого количества нашел немец Петер
Густав Лежен Дирихле (1805-1859).
Итак, количество представлений числа m в виде суммы квадратов двух целых
чисел равно [((a1 + 1). ... .(ar + 1) + 1)/2]. (Если число сомножителей
равно О, то произведение считается равным 1. Представления, отличающиеся
порядком слагаемых, не различаются.
                    ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛА В ВИДЕ [pic]
Теорема: положительное нечетное число представимо в виде  [pic] тогда и
только тогда, когда каноническое разложение данного числа не содержит
простых чисел р вида 8n+5 и 8n+7. Данная теорема представима в виде
уравнения:       [pic]=N, где N-положит. нечетное число.          (1)
  Число таких представлений равно 2v, где v-число решений сравнения
                                         [pic]
                   (2)
Доказательство. Если нечетное N не имеет простых делителей вида 8n+5 и
8n+7, то сравнение (2) имеет решения, т.е. v<>0 (не равно нулю). Тогда
получаем, что число форм {N, B, C} с дискриминантом (=-8, таких, что
0[pic]B<2N, равно v.
Далее докажем, что все формы с дискриминантом (=-8 эквивалентны форме
{0, 1, 2}.
Действительно если у приведенной положительно определенной формы {a,b,c}
дискриминант  (=[pic]=-8, то, поскольку [pic]  , имеем [pic], т.е. ac=2,
a=1, c=2, b=0.
Таким образом, при (=-8, так же как при (=-4 и при (=-3 имеется один класс
положительно определенных форм. Для каждой из v форм вида {a,b,c}
существуют два унимодулярных линейных преобразования, переводящих {a,b,c} в
 {N, B, C},  и тогда получаем, что уравнение (1) имеет 2v решений с взаимно
простыми значениями x, y. Число решений сравнения (2) определяется
теоремой. Согласно этой теореме, если N= [pic] где все [pic]—простые числа
вида 8+1 и 8n+3, то v=[pic]  и число представлений N в виде (1) равно
[pic]. В частности, отсюда вытекает, что любое простое число р вида 8n+1
или 8n+3  единственным образом может быть представлено в виде суммы
квадрата и удвоенного квадрата натуральных чисел.
Примечание. При четном N=2[pic] могут быть два случая:
1) Если [pic] нечетное, то, заменяя в уравнении (1) x через 2[pic] и
сокращая на 2, мы возвращаемся к случаю, рассмотренному в вышеуказанной
теореме.
2) Если [pic] четно, т. е. 4[pic],то из равенства (1) следует 2х, 2у, т.
е. не существует решений уравнения (1) с взаимно простыми x и y.
Число решений уравнений (1) и [pic] , рассмотренного в первой части
реферата, было легко определить благодаря тому, что для дискриминантов (=-4
и (=-8 существует всего только по одному классу квадратичных форм. Легко
видеть, что если {a,b,c} —положительно определенная форма с взаимно
простыми a,b,c  и если существует только один класс примитивных форм с
дискриминантом (=[pic], то можно определить число собственных решений
уравнения:
[pic]=N. Известно, что для следующих значений -([pic]100:
                     -(=3, 4, 7, 8, 11, 12, 16, 19, 27, 28, 43, 67
существует только по одному классу таких квадратичных форм.


                                               ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На Рождество 1640 года в письме от 25 декабря Пьер Ферма извещал
знаменитого Мерсенна, друга Декарта и главного посредника в переписке
ученых того времени, о том, что "всякое простое число, которое при делении
на четыре дает единицу, единственным способом представимо как сумма двух
квадратов".
В ту пору математических журналов еще не существовало, информацией
обменивались в письмах, и как правило, результаты лишь анонсировались, но
не сопровождались детальными доказательствами.
Правда, спустя почти двадцать лет после письма Мерсенну в письме к Каркави,
отправленном в августе 1659 года, Ферма приоткрывает замысел доказательства
описанной выше теоремы. Он пишет, что основная идея доказательства состоит
в методе спуска, позволяющем из предположения, что для какого-то простого
числа вида 4n+1 заключение теоремы неверно, получить, что оно неверно и для
меньшего числа того же и т. д., пока мы не доберемся до числа 5, когда
окончательно придем к противоречию.
Первые доказательства, которые впоследствии были опубликованы, найдены
Эйлером между 1742 и 1747 годами. Причем, желая утвердить приоритет Ферма,
к которому он испытывал чувства глубочайшего уважения, Эйлер придумал
доказательство, соответствующее описанному выше замыслу Ферма.
Воздавая должное обоим великим ученым, мы называем эту теорему теоремой
Ферма-Эйлера.



                                              ЛИТЕРАТУРА:
1. Бухштаб А.А. Теория чисел.-М.: Государственное учебно-педагогическое
издательство Министерства просвещения РСФСР, 1960.- 375 с.
2. http://www.cryptography.ru
3. http://mech.math.msu.su
4. http://courier.com.ru
12
скачать работу

Представление чисел в виде суммы двух квадратов

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ