Представление чисел в виде суммы двух квадратов
Другие рефераты
Лишь
один математик удостоился того, что имя его стало нарицательным. Если
произносится слово "ферматист", значит, речь идет о человеке, одержимом до
безумия какой-то несбыточной идеей. Но это слово ни в какой мере не может
быть отнесено к самому Пьеру Ферма (1601--1665), одному из самых светлых
умов Франции. Ферма - человек удивительной судьбы: один из величайших
математиков всех времен, он не был, в современной терминологии,
"профессиональным" математиком. По профессии Ферма был юристом. Он получил
великолепное гуманитарное образование и был выдающимся знатоком искусства и
литературы. Всю жизнь он проработал на государственной службе, последние 17
лет был советником местного парламента в Тулузе. К математике его влекла
бескорыстная и возвышенная любовь (это иногда случается с людьми), и именно
эта наука дала ему все, что может дать человеку любовь: упоение красотой,
наслаждение и счастье. В те годы не было еще математических журналов, и
Ферма почти ничего не напечатал при жизни. Но он много переписывался со
своими современниками, и посредством этой переписки некоторые его
достижения становились известными. Пьеру Ферма повезло с детьми: сын
обработал архив отца и издал его."Я доказал много исключительно красивых
теорем", - сказал как-то Ферма. Особенно много красивых фактов удалось ему
обнаружить в теории чисел, которую, собственно, он и основал. В бумагах и в
переписке Ферма было сформулировано немало замечательных утверждений, о
которых он писал, что располагает их доказательством. И постепенно, год за
годом, таких недоказанных утверждений становилось все меньше и меньше. И
наконец, осталось только одно. Хорошо известно, что квадраты некоторых
чисел можно разложить в сумму двух квадратов. Таков египетский треугольник
со сторонами 3, 4 и 5: 32+42=52. Можно описать все целочисленные решения
уравнения x2+y2=z2. Это было сделано Диофантом, греческим математиком,
жившим (вероятно) в III веке нашей эры, во второй книге его трактата
"Арифметика" (до нас дошли 6 книг из 13). На полях около решения Диофанта
Ферма написал: "Нельзя разложить куб на два куба, ни квадрато-квадрат (т.
е. четвертую степень числа) на два квадрато-квадрата, ни вообще никакую
степень выше квадрата и до бесконечности нельзя разложить на две степени с
тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти
поля для него слишком узки". Иначе говоря, уравнение xn+yn=zn при
натуральном n>2 в целых числах неразрешимо.
В бумагах Ферма было найдено доказательство этого утверждения для n=4 (это
единственное подробное доказательство теоремы из теории чисел, обнаруженное
в бумагах Ферма). Для n=3 теорему Ферма доказал Эйлер в 1768 году. В
течение XIX века для доказательства теоремы Ферма были предприняты огромные
усилия. Особенных успехов добился немецкий математик Куммер. После его
работ теорема Ферма оказалась доказанной для всех простых n (а доказать ее
только для них), меньших 100, кроме 37, 59 и 97. В нашем веке теорема Ферма
была доказана для простых чисел, меньших 100,000, но окончательное решение
так и не было найдено.
В 1908 году любитель математики Вольфскель завещал 100,000 марок тому, кто
докажет теорему Ферма. Это стало бедствием для математиков многих стран.
Потекли сотни и тысячи писем с доказательствами теоремы Ферма. Как правило,
они содержали элементарные ошибки, но на их нахождение тратились немалые
силы многих математиков.
Во время Первой мировой войны эта премия обесценилась. Поток
псевдодоказательств сократился, но не иссяк.
И уже казалось, что эта проблема перейдет через новую грань веков, но все-
таки пять лет тому назад английский математик Уайлс "залатал последнюю
дыру" в своем доказательстве этой великой теоремы, с которым он впервые
предстал перед математическим миром в 1993 году.
Мир признал: Великая теорема Ферма доказана!
Однако, тем, кто интересуется математикой, имя Ферма говорит очень многое
независимо от его Великой теоремы. Он был, без всякого сомнения, одним из
самых проницательных умов своего времени - времени Гигантов. Его по праву
считают основоположником теории чисел, он внес огромный вклад в
зарождающиеся новые направления, определившие последующее развитие науки:
математический анализ, аналитическую геометрию. Мы признательны Ферма за
то, что он приоткрыл для нас мир, полный красоты и загадочности.
ТЕОРЕМА ФЕРМА-ЭЙЛЕРА
Следующая теорема, несомненно, принадлежит к числу высших достижений
математики XVII--XVIII веков.
Взгляните на несколько первых нечетных простых чисел:
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
Числа 5, 13, 17 представимы в виде суммы двух квадратов: 5=22+12, 13=22+32,
17=12+42, а остальные числа (3, 7, 11, 19) этим свойством не обладают.
Можно ли объяснить этот феномен? Ответ на этот вопрос дает следующая
теорема:
Теорема: Для того, чтобы нечетное простое число было представимо в виде
суммы двух квадратов, необходимо и достаточно, чтобы оно при делении на 4
давало в остатке 1.
Доказательство (Лагранжа)
Это доказательство опирается на следующую лемму Вильсона: если p ---
простое число, то число (p-1)!+1 делится на p.
Чтобы не отвлекаться на доказательство этого вспомогательного факта,
продемонстрирую лишь основную идею этого доказательства на примере простого
числа 13. Для любого числа x, 2 [pic]x[pic] 11, найдется такое число y,
2[pic] y[pic] 11, что x* y при делении на 13 дае в остатке 1.
Действительно,
(13-1)!=12!=(2* 7)(3* 9)(4* 10)(5* 8)(6* 11)* 12,
и при этом все произведения в скобках при делении на 13 дают в остатке 1, а
значит, 12! при делении на 13 даст в остатке 12, откуда (для выбранного
нами числа 13) следует утверждение леммы Вильсона.
Из леммы Вильсона извлечем такое следствие: если p=4n+1, где n ---
натуральное число, то ((2n)!)2+1 делится на p. Действительно, из леммы
Вильсона следует, что (4n)!+1 делится на p, и теперь необходимое
утверждение вытекает из следующей выкладки:
(4n)!+1=(2n)!(2n+1)*...*(4n)+1=
=(2n)!(p-2n)(p-2n-1)*...*(p-1)+1=
=(2n)!(-1)2n(2n)!+pk+1 [pic]((2n)!)2+1(mod p).
Обозначим (2n)! через N. Мы доказали, что N2[pic] -1(mod p).
Теперь нам предстоит преодолеть основную трудность. Рассмотрим все пары
целых чисел (m,s), такие что 0 [pic]m[pic] [ [pic]], 0[pic] s[pic] [[pic]],
через [[pic]] обозначена целая часть числа [pic]--- наибольшее целое число,
не превосходящее [pic]. Число таких пар ([ [pic]]+1)2>p. Значит, по крайней
мере для двух различных пар (m1,s1) и (m2,s2) остатки от деления m1+Ns1 и
m2+Ns2 на p одинаковы, т. е. число a+Nb, где a=m1-m2, b=s1-s2, будет
делиться на p. При этом |a|[pic][[pic]], |b| [pic][[pic]]. Но тогда число
a2-N2 b2=(a+Nb)(a-Nb) делится на p, и значит, учитывая, что N2[pic] -1(mod
p), получим, что a2+b2 делится на p, т. е. a2+b2=rp, где r --- натуральное
число (r[pic]0, ибо иначе пары были бы одинаковы). С другой стороны,
a2+b2[pic] 2[[pic]]2<2p, т. е. r=1, и значит, a2+b2=p. Теорема доказана.
Вопрос о представлении чисел в виде суммы двух квадратов исчерпывается
следующим утверждением:
Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда
и только тогда, когда все простые сомножители вида 4k+3 входят в разложение
этого числа на простые сомножители с четными показателями.
Единственность представления простого числа в виде суммы двух квадратов
По теореме Ферма-Эйлера любое
простое число р, которое при делении на 4 дает остаток 1, представимо в
виде суммы двух квадратов. Осталось доказать, что такое представление
единственно с точностью до порядка слагаемых. Теорема:
Никакое простое число не может быть представлено в виде суммы квадратов
двух целых чисел существенно разными (т. е. не получающимися один из
другого перестановкой слагаемых) способами.
Доказательство. Если бы простое число p имело два существенно разных
представления, p = a2 + b2 = c2 + d2, то разложения p = (a + bi)(a - bi) =
(c + di)(c - di) представляют собой противоречие . Можно обойтись в
доказательстве теоремы 9 и без комплексных чисел. Предположим, что простое
число p двумя существенно разными (т. е. отличающимися не только порядком
слагаемых) способами разложено в сумму квадратов натуральных чисел:
p = a2 + b2 = c2 + d2.
Тогда [pic]и [pic]Следовательно, a2c2 = (-b2)(-d2)(mod p), т. е. число a2c2
- b2d2 кратно p. (Если рассуждения со сравнениями по модулю p непривычны и
потому подозрительны, можно получить то же самое, рассматривая тождество
a2c2 - b2d2 = a2(c2 + d2) - (a2 + b2)d2).)
Поскольку число p простое, из делимости произведения (ac + bd)(ac - bd) на
p следует, что один из множителей кратен p. Если число ac + bd кратно p, то
воспользуемся формулой (1):
p2 = (ac + bd)2 + (ad - bc)2.
Если [pic]то противоречие очевидно, ибо первое слагаемое (ac + bd)2 кратно
p2 и потому не меньше p2. Если же ad - bc = 0, то ad = bc. Поскольку как
числа a и b, так и числа c и d взаимно просты, имеем a = c и d = b.
Случай, когда ac - bd кратно p, можно рассмотреть аналогично,
воспользовавшись формулой p2 = (ac - bd)2 + (ad + bc)2.
Итак, простое число нельзя двумя существенно разными способами представить
в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. Число, единственным образом
представимое в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, не всегда
является простым: 10 = 12 + 32, 25 = 32 + 42. Легко сформулировать условия,
при которых число имеет единственное представление в виде суммы двух
квадратов. Однако боле целесообразной представляется следующая задача,
описанная далее.
КОЛИЧЕСТВО представЛЕНИЙ ЧИСЛА в виде суммы двух квадратов
В III веке нашей эры греческий математик Диофант не только знал, что число
65 представимо двумя способами, но и объяснял это тем, что 65 является
произведением чисел 13 и 5, каждое из которых — сумма двух квадратов.
Комплексных
| |  скачать работу |
Другие рефераты
| 
