Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии

ит от выбранного значения х; другими
    словами, площадь рассматриваемого поперечного сечения является
    некоторой функцией от х, мы обозначим ее через S(х):
         [pic]
         Согласно формуле (**) объем всего тела будет равен интегралу от
    S(x) в интервале изменения [pic].( При выводе формулы (**) мы считали,
    что S(*) есть геометрическая площадь поперечного сечения. Поэтому
    дальнейшие рассуждения справедливы, строго говоря, лишь для случая
    [pic]. Основываясь на уточненном геометрическом смысле двойного
    интеграла, нетрудно доказать, на чем мы не будем останавливаться, что
    получающаяся формула для вычисления двойного интеграла будет верна для
    любых функций.

         Заменяя в этой формуле S(x) её выражением, окончательно получим
         [pic]
         или в более удобной форме
         [pic]         (А)
         Пределы внутреннего интеграла переменные; они указывают границы
    изменения переменной интегрирования у при постоянном значении второго
    аргумента х. Пределы внешнего интеграла постоянны; они указывают
    границы, в которых может изменяться аргумент х.
         Меняя роли х и у, т. е. рассматривая сечения тела плоскостями
    y=const [pic], мы найдем сначала, что площадь Q(у) такого сечения равна
     [pic], где у при интегрировании считается величиной постоянной.
    Интегрируя затем Q(у) в пределах изменения у, т. е. от c до d, мы
    придем ко второму выражению для двойного интеграла
         [pic]          (Б)
          Здесь интегрирование совершается сначала по х, а потом по у.
         .Формулы (А) и (Б) показывают, что вычисление двойного интеграла
    сводится к последовательному вычислению двух обыкновенных определенных
    интегралов; нужно только помнить, что во внутреннем интеграле одна из
    переменных принимается при интегрировании за постоянную. Для краткости
    правые части формул (А) и (Б) называют повторными (или двукратными)
    интегралами, а сам процесс расстановки пределов интегрирования -
    приведением двойного интеграла к повторному.
         Формулы приведения двойного интеграла к повторному приобретают
    особенно простой вид, когда область D является прямоугольником со
    сторонами, параллельными осям координат (рис.6). В этом случае
    становятся постоянными пределы не только внешнего, но и внутреннего
    интегралов:
           [pic]
         В других случаях для сведения двойного интеграла к повторному
    необходимо прежде всего построить область интегрирования; лучше всего
    изобразить эту область прямо в плоскости Оху, как это сделано на рис.
    Затем нужно установить порядок интегрирования, т. е. наметить, по какой
    переменной будет производиться внутреннее интегрирование, а по какой -
    внешнее, и расставить пределы интегрирования.
         Поясним на примерах, как производится расстановка пределов
    интегрирования.

                                 а) Примеры.

          1) Приведем к повторному двойной интеграл [pic]если область D-
    треугольник,

                               [pic]
                     Рис. 6.                     Рис. 7.
    ограниченный прямыми y=0, y=x и х=а (рис.7). Если интегрировать сначала
    по у, а потом по х, то внутреннее интегрирование производится от линии
    у=0 до линии у=х, а внешнее - от точки х=0 до точки х=а. Поэтому
         [pic]
         Меняя порядок интегрирования, получим
         [pic]


         2) Приведем к повторному интеграл [pic]если область D ограничена
    линиями у=0, у=х2 и х+у=2.
         Область D, а также координаты крайних ее точек показаны на рис.
    158. Вид области указывает на то, что удобнее интегрировать сначала по
    x, а потом по y:
         [pic]
         Если изменим порядок интегрирования, то результат уже не удастся
    записать в виде одного повторного интеграла, так как линия OBA имеет на
    разных участках разные уравнения.
                       [pic]
                                   Рис.8
         Разбивая область D на две : OBC и CBA, получим
         [pic]

         [pic]
         Этот пример показывает, как важно с самого начала продумать порядок
    интегрирования.

         Формулы (А) и (Б) сведения двойного интеграла к повторному
    справедливы и для случая областей более общего вида. Так, формула (А)
    применима к области, указанной на рис.9, а формула (Б) - к области,
    изображенной на рис.10. В случае области ещё более общего вида (Рис.11)
    двойной интеграл следует разбить на сумму интегралов по более простым
    областям, а затем каждый из них сводить отдельно к повторному,
    пользуясь формулами (А) и (Б).
         Рассмотрим теперь несколько примеров, связанных с вычислением
    двойных интегралов.
         Примеры. 1) Найдём двойной интеграл от функции
         [pic]
         по прямоугольной области D [pic]
                [pic]
         Геометрически I выражает объём четырёхугольной призмы
         [pic]
         (рис.12), основанием которой служит прямоугольник D, усечённый
    плоскостью [pic].
         Возьмём повторный интеграл сначала по y, затем по x:
         [pic]
         То же самое получим, интегрируя сначала по x, а затем по y:
         [pic]


         2) Вычислим двойной интеграл
                [pic]
         по области D, ограниченной линиями y=x и y=x2. Область D

         [pic]
         изображена на рис.13. Интегрируя сначала по y, а потом по x,
         получаем
         [pic]
         Правильность результата можно проверить, изменив порядок
    интегрирования :
         [pic]

         Вычислим объём тела, ограниченного цилиндрическими поверхностями
    [pic] и плоскостью z=0 (рис.14,а).
         [pic]
         Поверхность, ограничивающая тело сверху, имеет уравнение  z=4-y2.
    Область интегрирования D получается в результате пересечения параболы
    [pic] с линией пересечения цилиндра z=4-y2 и плоскости z=0, т.е. с
    прямой y=2 (Рис. 14, б). Ввиду симметрии тела относительно плоскости
    Oyz вычисляем половину искомого объёма :
         [pic]

         Следовательно, [pic] куб.ед.

         4) Вычислим объём V тела, ограниченного поверхностью [pic]и
    плоскостью Oxy.
         Заданное тело представляет собой сегмент эллиптического
         [pic]

         параболоида, расположенный над плоскостью Оху (рис.15). Параболоид
    пересекается с плоскостью Оху по эллипсу
         [pic]
         Следовательно,  задача  состоит в отыскании объема цилиндрического
    тела, имеющего своим основанием внутренность указанного эллипса и
    ограниченного параболоидом [pic]
         В силу симметрии тела относительно плоскостей Oxz и Oyz  можно
    вычислить объем четвертой его части, заключенной в первом координатном
    угле. Этот объем равен двойному интегралу, распространенному по
    области, заданной условиями [pic]т. е. по четверти эллипса. Интегрируя
    сначала по у, затем по х, получим
         [pic]
         Подстановка  [pic] даёт
         [pic]
         откуда [pic]


                  3.Приложения двойных интегралов к задачам
                                  механики.

              а) Масса плоской пластинки переменной плотности.

         Рассмотрим тонкую пластинку, расположенную на плоскости Оху и
    занимающую область D. Толщину этой пластинки считаем настолько малой,
    что изменением плотности по толщине ее можно пренебречь.
         Поверхностной плотностью такой пластинки в данной точке называется
    предел отношения массы площадки к ее площади при условии, что площадка
    стягивается к данной точке.
         Определенная таким образом поверхностная плотность будет зависеть
    только от положения данной точки, т. е. являться функцией ее координат:
             [pic]


         [pic]

         Если бы плотность была постоянной ([pic]), то масса всей пластинки
    равнялась бы [pic], где S - площадь пластинки. Найдем теперь массу
    неоднородной пластинки, считая, что ее плотность является заданной
    функцией [pic]. Для этого разобьем область, занимаемую пластинкой, на
    частичные области [pic] с площадями [pic] (рис. 16). Выбирая в каждой
    частичной области произвольную точку [pic], будем считать, что
    плотность во всех точках частичной области постоянна и равна плотности
    [pic] в выбранной точке. Составим приближенное выражение для массы
    пластинки в виде интегральной суммы
         [pic]                 (*)
         Для точного выражения массы следует найти предел суммы (*) при
    условии [pic]и каждая частичная область стягивается к точке. Тогда
         [pic]

         б) Статические моменты и центр тяжести пластинки.

         Перейдём теперь к вычислению статических моментов рассматриваемой
    пластинки относительно осей координат. Для этого сосредоточим в точках
    [pic]массы соответствующих частичных областей и найдем статические
    моменты полученной системы материальных точек :
         [pic]

         Переходя к пределу при обычных условиях и заменяя интегральные
    суммы интегралами, получим
         [pic]
         Находим координаты центра тяжести :
         [pic][pic]
         Если пластинка однородна, т.е. [pic] то формулы упрощаются :
                         [pic]
                                                                     где S
    - площадь пластинки.

                        в) Моменты инерции пластинки.

         Моментом инерции материальной точки Р с массой m относительно какой-
    либо оси называется произведение массы на квадрат расстояния точки Р от
    этой оси.
         Метод составления выражений для моментов инерции пластинки
    относительно осей координат совершенно такой же, какой мы применяли для
    вычисления статических моментов. Приведем поэтому только окончательные
    результаты, считая, что [pic]:
         [pic]
         Отметим еще, что интеграл [pic] называется центробежным м
123
скачать работу

Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ