Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии
ит от выбранного значения х; другими
словами, площадь рассматриваемого поперечного сечения является
некоторой функцией от х, мы обозначим ее через S(х):
[pic]
Согласно формуле (**) объем всего тела будет равен интегралу от
S(x) в интервале изменения [pic].( При выводе формулы (**) мы считали,
что S(*) есть геометрическая площадь поперечного сечения. Поэтому
дальнейшие рассуждения справедливы, строго говоря, лишь для случая
[pic]. Основываясь на уточненном геометрическом смысле двойного
интеграла, нетрудно доказать, на чем мы не будем останавливаться, что
получающаяся формула для вычисления двойного интеграла будет верна для
любых функций.
Заменяя в этой формуле S(x) её выражением, окончательно получим
[pic]
или в более удобной форме
[pic] (А)
Пределы внутреннего интеграла переменные; они указывают границы
изменения переменной интегрирования у при постоянном значении второго
аргумента х. Пределы внешнего интеграла постоянны; они указывают
границы, в которых может изменяться аргумент х.
Меняя роли х и у, т. е. рассматривая сечения тела плоскостями
y=const [pic], мы найдем сначала, что площадь Q(у) такого сечения равна
[pic], где у при интегрировании считается величиной постоянной.
Интегрируя затем Q(у) в пределах изменения у, т. е. от c до d, мы
придем ко второму выражению для двойного интеграла
[pic] (Б)
Здесь интегрирование совершается сначала по х, а потом по у.
.Формулы (А) и (Б) показывают, что вычисление двойного интеграла
сводится к последовательному вычислению двух обыкновенных определенных
интегралов; нужно только помнить, что во внутреннем интеграле одна из
переменных принимается при интегрировании за постоянную. Для краткости
правые части формул (А) и (Б) называют повторными (или двукратными)
интегралами, а сам процесс расстановки пределов интегрирования -
приведением двойного интеграла к повторному.
Формулы приведения двойного интеграла к повторному приобретают
особенно простой вид, когда область D является прямоугольником со
сторонами, параллельными осям координат (рис.6). В этом случае
становятся постоянными пределы не только внешнего, но и внутреннего
интегралов:
[pic]
В других случаях для сведения двойного интеграла к повторному
необходимо прежде всего построить область интегрирования; лучше всего
изобразить эту область прямо в плоскости Оху, как это сделано на рис.
Затем нужно установить порядок интегрирования, т. е. наметить, по какой
переменной будет производиться внутреннее интегрирование, а по какой -
внешнее, и расставить пределы интегрирования.
Поясним на примерах, как производится расстановка пределов
интегрирования.
а) Примеры.
1) Приведем к повторному двойной интеграл [pic]если область D-
треугольник,
[pic]
Рис. 6. Рис. 7.
ограниченный прямыми y=0, y=x и х=а (рис.7). Если интегрировать сначала
по у, а потом по х, то внутреннее интегрирование производится от линии
у=0 до линии у=х, а внешнее - от точки х=0 до точки х=а. Поэтому
[pic]
Меняя порядок интегрирования, получим
[pic]
2) Приведем к повторному интеграл [pic]если область D ограничена
линиями у=0, у=х2 и х+у=2.
Область D, а также координаты крайних ее точек показаны на рис.
158. Вид области указывает на то, что удобнее интегрировать сначала по
x, а потом по y:
[pic]
Если изменим порядок интегрирования, то результат уже не удастся
записать в виде одного повторного интеграла, так как линия OBA имеет на
разных участках разные уравнения.
[pic]
Рис.8
Разбивая область D на две : OBC и CBA, получим
[pic]
[pic]
Этот пример показывает, как важно с самого начала продумать порядок
интегрирования.
Формулы (А) и (Б) сведения двойного интеграла к повторному
справедливы и для случая областей более общего вида. Так, формула (А)
применима к области, указанной на рис.9, а формула (Б) - к области,
изображенной на рис.10. В случае области ещё более общего вида (Рис.11)
двойной интеграл следует разбить на сумму интегралов по более простым
областям, а затем каждый из них сводить отдельно к повторному,
пользуясь формулами (А) и (Б).
Рассмотрим теперь несколько примеров, связанных с вычислением
двойных интегралов.
Примеры. 1) Найдём двойной интеграл от функции
[pic]
по прямоугольной области D [pic]
[pic]
Геометрически I выражает объём четырёхугольной призмы
[pic]
(рис.12), основанием которой служит прямоугольник D, усечённый
плоскостью [pic].
Возьмём повторный интеграл сначала по y, затем по x:
[pic]
То же самое получим, интегрируя сначала по x, а затем по y:
[pic]
2) Вычислим двойной интеграл
[pic]
по области D, ограниченной линиями y=x и y=x2. Область D
[pic]
изображена на рис.13. Интегрируя сначала по y, а потом по x,
получаем
[pic]
Правильность результата можно проверить, изменив порядок
интегрирования :
[pic]
Вычислим объём тела, ограниченного цилиндрическими поверхностями
[pic] и плоскостью z=0 (рис.14,а).
[pic]
Поверхность, ограничивающая тело сверху, имеет уравнение z=4-y2.
Область интегрирования D получается в результате пересечения параболы
[pic] с линией пересечения цилиндра z=4-y2 и плоскости z=0, т.е. с
прямой y=2 (Рис. 14, б). Ввиду симметрии тела относительно плоскости
Oyz вычисляем половину искомого объёма :
[pic]
Следовательно, [pic] куб.ед.
4) Вычислим объём V тела, ограниченного поверхностью [pic]и
плоскостью Oxy.
Заданное тело представляет собой сегмент эллиптического
[pic]
параболоида, расположенный над плоскостью Оху (рис.15). Параболоид
пересекается с плоскостью Оху по эллипсу
[pic]
Следовательно, задача состоит в отыскании объема цилиндрического
тела, имеющего своим основанием внутренность указанного эллипса и
ограниченного параболоидом [pic]
В силу симметрии тела относительно плоскостей Oxz и Oyz можно
вычислить объем четвертой его части, заключенной в первом координатном
угле. Этот объем равен двойному интегралу, распространенному по
области, заданной условиями [pic]т. е. по четверти эллипса. Интегрируя
сначала по у, затем по х, получим
[pic]
Подстановка [pic] даёт
[pic]
откуда [pic]
3.Приложения двойных интегралов к задачам
механики.
а) Масса плоской пластинки переменной плотности.
Рассмотрим тонкую пластинку, расположенную на плоскости Оху и
занимающую область D. Толщину этой пластинки считаем настолько малой,
что изменением плотности по толщине ее можно пренебречь.
Поверхностной плотностью такой пластинки в данной точке называется
предел отношения массы площадки к ее площади при условии, что площадка
стягивается к данной точке.
Определенная таким образом поверхностная плотность будет зависеть
только от положения данной точки, т. е. являться функцией ее координат:
[pic]
[pic]
Если бы плотность была постоянной ([pic]), то масса всей пластинки
равнялась бы [pic], где S - площадь пластинки. Найдем теперь массу
неоднородной пластинки, считая, что ее плотность является заданной
функцией [pic]. Для этого разобьем область, занимаемую пластинкой, на
частичные области [pic] с площадями [pic] (рис. 16). Выбирая в каждой
частичной области произвольную точку [pic], будем считать, что
плотность во всех точках частичной области постоянна и равна плотности
[pic] в выбранной точке. Составим приближенное выражение для массы
пластинки в виде интегральной суммы
[pic] (*)
Для точного выражения массы следует найти предел суммы (*) при
условии [pic]и каждая частичная область стягивается к точке. Тогда
[pic]
б) Статические моменты и центр тяжести пластинки.
Перейдём теперь к вычислению статических моментов рассматриваемой
пластинки относительно осей координат. Для этого сосредоточим в точках
[pic]массы соответствующих частичных областей и найдем статические
моменты полученной системы материальных точек :
[pic]
Переходя к пределу при обычных условиях и заменяя интегральные
суммы интегралами, получим
[pic]
Находим координаты центра тяжести :
[pic][pic]
Если пластинка однородна, т.е. [pic] то формулы упрощаются :
[pic]
где S
- площадь пластинки.
в) Моменты инерции пластинки.
Моментом инерции материальной точки Р с массой m относительно какой-
либо оси называется произведение массы на квадрат расстояния точки Р от
этой оси.
Метод составления выражений для моментов инерции пластинки
относительно осей координат совершенно такой же, какой мы применяли для
вычисления статических моментов. Приведем поэтому только окончательные
результаты, считая, что [pic]:
[pic]
Отметим еще, что интеграл [pic] называется центробежным м
| | скачать работу |
Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии |