Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии
оментом
инерции; он обозначается [pic].
В механике часто рассматривают полярный момент инерции точки,
равный произведению массы точки на квадрат ее расстояния до данной
точки - полюса. Полярный момент инерции пластинки относительно начала
координат будет равен
[pic]
4. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.
а) Объём.
Как мы знаем, объем V тела, ограниченного поверхностью [pic], где
[pic]- неотрицательная функция, плоскостью [pic] и цилиндрической
поверхностью, направляющей для которой служит граница области D, а
образующие параллельны оси Oz, равен двойному интегралу от функции
[pic] по области D :
[pic]
Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x=0,
у=0, х+у+z=1, z=0 (рис. 17).
[pic] [pic]
Рис.17
Рис.18
Решение. [pic] D - заштрихованная на рис. 17 треугольная
область в плоскости Оху, ограниченная прямыми x=0, у=0, x+y=1.
Расставляя пределы в двойном интеграле, вычислим объем: [pic]
Итак, [pic] куб. единиц.
Замечание 1. Если тело, объем которого ищется, ограничено сверху
поверхностью [pic] а снизу—поверхностью [pic], причем проекцией обеих
поверхностей на плоскость Оху является область D, то объем V этого тела
равен разности объемов двух «цилиндрических» тел; первое из этих
цилиндрических тел имеет нижним основанием область D, а верхним -
поверхность [pic] второе тело имеет нижним основанием также область D,
а верхним - поверхность [pic] (рис.18).
Поэтому объём V равен разности двух двойных интегралов :
[pic]
или
[pic] (1)
Легко, далее, доказать, что формула (1) верна не только в том
случае, когда [pic] и [pic] неотрицательны, но и тогда, когда [pic] и
[pic]- любые непрерывные функции, удовлетворяющие соотношению
[pic]
Замечание 2. Если в области D функция [pic]меняет знак, то
разбиваем область на две части: 1) область D1 где [pic] 2) область D2
,где [pic]. Предположим, что области D1 и D2 таковы, что двойные
интегралы по этим областям существуют. Тогда интеграл по области D1
будет положителен и будет равен объему тела, лежащего выше плоскости
Оху. Интеграл по D2 будет отрицателен и по абсолютной величине равен
объему тела, лежащего ниже плоскости Оху, Следовательно, интеграл по D
будет выражать разность соответствующих объемов.
б) Вычисление площади плоской области.
Если мы составим интегральную сумму для функции [pic] по области
D, то эта сумма будет равна площади S,
[pic]
при любом способе разбиения. Переходя к пределу в правой части
равенства, получим
[pic]
Если область D правильная , то площадь выразится двукратным
интегралом
[pic]
Производя интегрирование в скобках, имеем, очевидно,
[pic]
Пример 2. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми [pic]
[pic]
Рис.19
Решение. Определим точки пересечения данных кривых (Рис.19). В
точке пересечения ординаты равны, т.е. [pic], отсюда [pic]Мы получили
две точки пересечения
[pic]
Следовательно, искомая площадь
[pic]
5. Вычисление площади поверхности.
Пусть требуется вычислить площадь поверхности, ограниченной линией
Г (рис.20); поверхность задана уравнением [pic] где функция [pic]
непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Обозначим проекцию
линии Г на плоскость Oxy через L. Область на плоскости Oxy,
ограниченную линией L, обозначим D.
Разобьём произвольным образом область D на n элементарных площадок
[pic]В каждой площадке [pic] возьмём точку [pic] Точке Pi будет
соответствовать на поверхности точка [pic] Через точку Mi проведём
касательную плоскость к поверхности. Уравнение её примет вид
[pic] (1)
На этой плоскости выделим такую площадку [pic], которая
проектируется на плоскость Оху в виде площадки [pic]. Рассмотрим сумму
всех площадок [pic]
Предел [pic] этой суммы, когда наибольший из диаметров площадок
[pic]- стремится к нулю, мы будем называть площадью поверхности, т. е.
по определению положим
[pic] (2)
Займемся теперь вычислением площади поверхности. Обозначим через
[pic] угол между касательной плоскостью и плоскостью Оху.
[pic]
Рис.20
Рис.21
На основании известной формулы аналитической геометрии можно
написать (рис.21)
[pic]
или
[pic] (3)
Угол [pic] есть в то же время угол между осью Oz и перпендикуляром
к плоскости (1). Поэтому на основании уравнения (1) и формулы
аналитической геометрии имеем
[pic]
Следовательно,
[pic]
Подставляя это выражение в формулу (2), получим
[pic]
Так как предел интегральной суммы, стоящей в правой части
последнего равенства, по определению представляет собой двойной
интеграл [pic] то окончательно получаем
[pic] (4)
Это и есть формула, по которой вычисляется площадь поверхности
[pic]
Если уравнение поверхности дано в виде [pic] или в виде [pic] то
соответствующие формулы для вычисления поверхности имеют вид
[pic] (3’)
[pic] (3’’)
где D’ и D’’ - области на плоскостях Oyz и Oxz, в которые
проектируется данная поверхность.
а) Примеры.
Пример 1. Вычислить поверхность [pic] сферы
[pic]
Решение. Вычислим поверхность верхней половины сферы [pic]
(рис.22). В этом случае
[pic]
Следовательно, подынтегральная функция примет вид
[pic]
Область интегрирования определяется условием [pic]. Таким образом,
на основании формулы (4) будем иметь
[pic]
Для вычисления полученного двойного интеграла перейдём к полярным
координатам. В полярных координатах граница области интегрирования
определяется уравнением [pic] Следовательно,
[pic]
Пример2. Найти площадь той части поверхности цилиндра [pic] которая
вырезается цилиндром [pic]
[pic] [pic]
Рис.22 Рис.23
Решение. На рис.23 изображена [pic] часть искомой поверхности.
Уравнение поверхности имеет вид [pic]; поэтому
[pic]
[pic]
Область интегрирования представляет собой четверть круга, т.е.
определяется условиями [pic]
Следовательно, [pic]
Список использованной литературы.
1. А.Ф. Бермант ,И.Г. Араманович
Краткий курс математического анализа для втузов: Учебное
пособие для втузов: - М.: Наука, Главная редакция физико-
математической литературы , 1971 г.,736с.
2. Н.С. Пискунов
Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Том 2:
Учебное пособие для втузов.-13-е изд. -М. :Наука, Главная
редакция физико-математической литературы, 1985.-560с.
3. В.С. Шипачёв
Высшая математика: Учебное пособие для втузов: - М:
Наука,
Главная редакция физико-математической литературы.
| | скачать работу |
Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии |