Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии

оментом
    инерции; он обозначается [pic].
         В механике часто рассматривают полярный момент инерции точки,
    равный произведению массы точки на квадрат ее расстояния до данной
    точки - полюса. Полярный момент инерции пластинки относительно начала
    координат будет равен
         [pic]


       4. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.

                                  а) Объём.


          Как мы знаем, объем V тела, ограниченного поверхностью [pic], где
    [pic]- неотрицательная функция, плоскостью [pic] и цилиндрической
    поверхностью, направляющей для которой служит граница области D, а
    образующие параллельны оси Oz, равен двойному интегралу от функции
    [pic] по области D :
         [pic]
         Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x=0,
    у=0, х+у+z=1, z=0 (рис. 17).
         [pic]                               [pic]
               Рис.17
                   Рис.18

         Решение. [pic] D - заштрихованная на рис. 17         треугольная
    область в плоскости Оху, ограниченная прямыми x=0, у=0, x+y=1.
    Расставляя пределы в двойном интеграле, вычислим объем: [pic]

         Итак, [pic] куб. единиц.
         Замечание 1. Если тело, объем которого ищется, ограничено сверху
    поверхностью [pic] а снизу—поверхностью [pic], причем проекцией обеих
    поверхностей на плоскость Оху является область D, то объем V этого тела
    равен разности объемов двух «цилиндрических» тел; первое из этих
    цилиндрических тел имеет нижним основанием область D, а верхним -
    поверхность [pic] второе тело имеет нижним основанием также область D,
    а верхним - поверхность [pic] (рис.18).
         Поэтому объём V равен разности двух двойных интегралов :
         [pic]
         или
         [pic]                   (1)
         Легко, далее, доказать, что формула (1) верна не только в том
    случае, когда [pic] и [pic] неотрицательны, но и тогда, когда [pic] и
    [pic]- любые непрерывные функции, удовлетворяющие соотношению
         [pic]
         Замечание 2. Если в области D функция [pic]меняет знак, то
    разбиваем область на две части: 1) область D1 где [pic] 2) область D2
    ,где [pic]. Предположим, что области D1 и D2 таковы, что двойные
    интегралы по этим областям существуют. Тогда интеграл по области D1
    будет положителен и будет равен объему тела, лежащего выше плоскости
    Оху. Интеграл по D2 будет отрицателен и по абсолютной величине равен
    объему тела, лежащего ниже плоскости Оху, Следовательно, интеграл по D
    будет выражать разность соответствующих объемов.

                   б) Вычисление площади плоской области.

          Если мы составим интегральную сумму для функции [pic] по области
    D, то эта сумма будет равна площади S,
         [pic]
         при любом способе разбиения. Переходя к пределу в правой части
    равенства, получим
         [pic]
         Если область D правильная , то площадь выразится двукратным
    интегралом

         [pic]
         Производя интегрирование в скобках, имеем, очевидно,
         [pic]

         Пример 2. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми [pic]
          [pic]
                      Рис.19
         Решение. Определим точки пересечения данных кривых (Рис.19). В
    точке пересечения ординаты равны, т.е. [pic], отсюда [pic]Мы получили
    две точки пересечения
         [pic]
         Следовательно, искомая площадь
         [pic]

                     5. Вычисление площади поверхности.

         Пусть требуется вычислить площадь поверхности, ограниченной линией
    Г (рис.20); поверхность задана уравнением [pic] где функция [pic]
    непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Обозначим проекцию
    линии Г на плоскость Oxy через L. Область на плоскости Oxy,
    ограниченную линией L, обозначим D.
         Разобьём произвольным образом область D на n элементарных площадок
    [pic]В каждой площадке [pic] возьмём точку [pic] Точке Pi будет
    соответствовать на поверхности точка [pic] Через точку Mi проведём
    касательную плоскость к поверхности. Уравнение её примет вид
         [pic]                 (1)
         На этой плоскости выделим такую площадку [pic], которая
    проектируется на плоскость Оху в виде площадки [pic]. Рассмотрим сумму
    всех площадок [pic]
         Предел [pic] этой суммы, когда наибольший из диаметров площадок
    [pic]- стремится к нулю, мы будем называть площадью поверхности, т. е.
    по определению положим
         [pic]                                 (2)

         Займемся теперь вычислением площади поверхности. Обозначим через
    [pic]  угол между касательной плоскостью и плоскостью Оху.
         [pic]
                           Рис.20
       Рис.21
         На основании известной формулы аналитической геометрии можно
    написать (рис.21)
         [pic]
         или
         [pic]                               (3)
         Угол [pic] есть в то же время угол между осью Oz и перпендикуляром
    к плоскости (1). Поэтому на основании уравнения (1) и формулы
    аналитической геометрии имеем
         [pic]
    Следовательно,
         [pic]
         Подставляя это выражение в формулу (2), получим
         [pic]
         Так как предел интегральной суммы, стоящей в правой части
    последнего равенства, по определению представляет собой двойной
    интеграл [pic] то окончательно получаем
         [pic]                      (4)
         Это и есть формула, по которой вычисляется площадь поверхности
    [pic]
         Если уравнение поверхности дано в виде [pic] или в виде [pic] то
    соответствующие формулы для вычисления поверхности имеют вид
         [pic]                (3’)

         [pic]                 (3’’)
         где D’ и D’’ - области на плоскостях Oyz и Oxz, в которые
    проектируется данная поверхность.

         а) Примеры.

         Пример 1. Вычислить поверхность [pic] сферы
                      [pic]
         Решение. Вычислим поверхность верхней половины сферы [pic]
    (рис.22). В этом случае
         [pic]
         Следовательно, подынтегральная функция примет вид
         [pic]
         Область интегрирования определяется условием [pic]. Таким образом,
    на основании формулы (4) будем иметь
         [pic]
         Для вычисления полученного двойного интеграла перейдём к полярным
    координатам. В полярных координатах граница области интегрирования
    определяется уравнением [pic] Следовательно,
         [pic]
         Пример2. Найти площадь той части поверхности цилиндра [pic] которая
    вырезается цилиндром [pic]

         [pic]                          [pic]
          Рис.22                                                     Рис.23
         Решение. На рис.23 изображена [pic] часть искомой поверхности.
    Уравнение поверхности имеет вид [pic]; поэтому
         [pic]
         [pic]
         Область интегрирования представляет собой четверть круга, т.е.
    определяется условиями [pic]
         Следовательно,                  [pic]



                      Список использованной литературы.


      1. А.Ф. Бермант ,И.Г. Араманович
             Краткий курс математического анализа для втузов: Учебное
         пособие для втузов: - М.: Наука, Главная редакция физико-
         математической литературы , 1971 г.,736с.

        2. Н.С. Пискунов
            Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Том 2:
            Учебное пособие для втузов.-13-е изд. -М. :Наука, Главная
         редакция физико-математической литературы, 1985.-560с.

        3. В.С. Шипачёв
                       Высшая математика: Учебное пособие для втузов: - М:
Наука,
             Главная редакция физико-математической литературы.


123
скачать работу

Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ