Проявление симметрии в различных формах материи
кулярным осям. Таким
образом, пространство имеет группу симметрии относительно произвольных
переносов по трем взаимно перпендикулярным направлениям (см. выше).
Время задается одной величиной, а не тремя, как точка в пространстве.
Насколько можно считать, что симметрия времени напоминает симметрию прямой
относительно переносов, т. е. что их абстрактная группа симметрии одна и та
же? Ведь 12 часов дня вчера и сегодня, или завтра, совсем не одно и то же
для нас. Но симметрия — понятие относительное. Симметрия времени уже, чем
симметрия бесконечной прямой, если рассматривать время во всех его
аспектах, но тем не менее не исключена возможность, что время симметрично
по отношению к одному определенному классу законов природы.
К этому классу принадлежат законы механики, которым подчинены движения
тел в пространстве и во времени. Удобнее всего выбрать пример чисто
механического движения, не осложненного силами трения или каким-либо иным
трудно контролируемым влиянием внешней среды. Трение всегда сопровождается
переходом движения к молекулам, составляющим тела, и поэтому сильно
осложняет процесс механического движения.
Без трения, или почти без трения, движутся небесные тела (небольшое
трение при их движении происходит от приливных волн, но мы отвлечемся от
этого явления). Именно небесные тела послужили моделью Ньютону, когда он
формулировал законы механики, потому что в астрономических явлениях они
проявлялись в наименее осложненном виде. Обращение Земли вокруг Солнца
совершается одинаково в течение десятков тысяч лет; если бы не влияли
другие планеты и приливы и Солнце не теряло постепенно свою массу
вследствие излучения, орбита Земли оставалась бы неизменной сколь угодно
долго. Отсюда надо заключить, что время однородно, т. е. все его моменты
равноценны, по крайней мере по отношению к чисто механическим явлениям.
Год в нашу эпоху и на варе человеческой истории равнялся Зб51/4 дня.
Следовательно, в качестве начальной даты летосчисления может быть взята
любая. Законы небесной механики совершенно симметричны по отношению к
любому выбору начального момента времени.
Поскольку пространство изотропно и однородно, то уравнения движения не
меняют своего вида при изменении направления движения. Не меняют они своего
вида и при смещении точки отсчёта начала движения в пространстве и во
времени. Математически преобразования координат и времени, отвечающие таким
изменениям, образуют группу. Эту группу часто называют группой Галилея-
Ньютона. Поэтому говорят, что уравнения движения классической механики
инвариантны (не меняют своей формы) относительно группы Галилея-Ньютона.
Таким образом, в классической механике симметрия утратила наглядный
геометрический смысл. Теперь она вступает в абстрактной форме как условие,
при котором уравнение, описывающее тот или иной физический закон, не меняет
своего вида. При этом сами условия должны образовывать группу в
математическом смысле.
Симметрия в живой природе
Живой организм не имеет кристаллического строения в том смысле, что даже
отдельные его органы не обладают пространственной решеткой.
Однако упорядоченные структуры в ней представлены очень широко. Если они
жидкие, то их называют жидкими кристаллами. В этих структурах сильно
вытянутые молекулы расположены так, что их длинные оси в среднем
ориентированы в одну сторону. В некоторых случаях образуются дополнительные
сверхструктуры: возникает закручивание или слоистые структуры.
Жидкие кристаллы, как и твердые, обладают анизотропией физических
свойств. Однако пространственной решетки жидкие кристаллы не имеют.
К жидким кристаллам относятся отдельные компоненты желчи и крови,
хрусталик глаза, оболочки нервов, серое вещество мозга, головка
сперматозоида и т. д. Но особенно важное значение играет
жидкокристаллическая структура мембран клеток. Это та «кожица», которая
удерживает вещество клетки от растекания и служит ей как бы внешним
органом. Мембрана — вязкая жидкость, в которой молекулы фосфолипидов
(жиров) имеют длинные оси, расположенные параллельно. При комнатной
температуре молекулы фосфолипидов свободно перемещаются вдоль плоскости
мембраны, пространственной решетки нет, и это состояние — нормальное
состояние живой клетки. При понижении температуры мембрана «замерзает»,
молекулы фосфолипидов останавливаются, образуется пространственная решетка.
Лишенная подвижности мембрана не может выполнять свои функции, и клетка
гибнет. Наступила кристаллизация, клетка оказалась «пойманной» решеткой.
Интересную попытку объяснить пятерную симметрию морского ежа предпринял
профессор Оксфордского университета Девид Никлз. Он считает, что все дело в
прочности. Скелет ежа составлен из десятков хрупких, тонких пятиугольных
.пластинок, однако он надежно служит своему хозяину. Самые слабые места
скелета — это швы, где одна пластинка соединяется с другой. Если первая
пластинка — квадрат или шестиугольник, то на линии действия силы будут два
продольных шва. Если же первая пластинка пятиугольная, то шов только один.
Такая конструкция гораздо прочнее. Однако возникает законный вопрос: почему
первая пластинка не семиугольная, девятиугольная и т. д.? Ответ может быть
только один: при пятиугольнике число швов наименьшее и, следовательно,
такой скелет прочнее. Но еще меньше швов дает треугольник. Тогда почему не
он? Дело в том, утверждает Никлз, что морские ежи почти круглые организмы,
а из треугольников труднее составить многоугольник, близкий к сфере.
Представители другого класса обитателей глубин— морские черви — имеют
цилиндрическое тело, а в ротовой полости - массу острых зубов. Зубы
расположены так, что если соединить их прямыми .линиями, то получится
пятиугольник. Такой феномен Никлз объясняет следующим образом. Если бы
число зубов было четным, то они мешали бы друг другу. Минимальное нечетное
число — три, но треугольник сильно отличается от круга и не соответствует
цилиндрическому телу червя. Семь, девять и больше зубов - излишняя роскошь,
которую природа не может себе позволить. Поэтому реализуется оптимальный
случай, наиболее соответствующий круговому сечению ротового отверстия,
пятиугольник.
Если рассматривать царство живого, то любому его представителю, от
простейшей водоросли до эвкалипта, от крошечного жучка до кита, от червяка
до человека, можно приписать одну из групп симметрии (точечных или
пространственных), выведенных для материальных фигур.
Биологические дроби
Винтовые оси симметрии видны в расположениях чешуек шишек и укладке коры
пальм, структуре костной ткани и в побегах различных растений. На стебле
подсолнечника явно видна винтовая ось пятого порядка. Каждый вновь выросший
лист связан с предыдущим поворотом на 72°, а при повороте та 360° листья
перемещаются на целую величину трансляции. По правилам, принятым в
кристаллографии, такую ось следует обозначать 51. Но в ботанике принято
представлять винтовые оси в виде дроби, в знаменателе которой стоит число
оборотов в листовом цикле (количество оборотов вокруг стебля для перехода
от нижнего листа к вышестоящему, расположенному над ним), а в числителе —
число листьев в этом цикле. В соответствии с этим расположение листьев у
подсолнечника задается дробью 5/1.
У растений существуют только определенные, строго фиксированные оси, но
в большинстве своем не такие, как у кристаллов. Так, если злаки, липа, бук,
береза образуют ось 21 (ботаническая дробь 2/1), осока, тюльпан, орешник,
виноград и ольха — 31 (3/1), то дуб, вишня смородина, слива имеют ось 52
(5/2), капуста, малина, груша, тополь, редька, лен, барбарис — 83 (8/3), а
ель, миндальник, облепиха и жасмин — 1З5 (13/5). Для хвойных шишек типичны
оси 218 (21/8), 3413 (34/13) и 5521 (55/21).
Почему именно такие оси, а не другие — неизвестно. Но уже давно было
подмечено, что биологические дроби не произвольны, а представляют собой
члены двух последовательностей, составленных из чисел Фибоначчи. Их ввел в
математику итальянский купец Леонардо из Пизы по прозвищу Фибоначчи, что
означает сын Боначчо. В его «Книге абака» приведена оригинальная задача о
кроликах, решение которой принадлежит самому Фибоначчи. В задаче
спрашивалось, сколько пар кроликов может произойти от одной пары в течение
года, если каждая пара каждый месяц порождает новую пару, которая со
второго месяца тоже становится производителем, и кролики не дохнут.
Решение этой задачи сопряжено с появлением числового ряда 0, 1, 1, 2, 3,
5, 8, 13, 21, 34, 55. ... Эти числа и называются числами Фибоначчи.
Биологические дроби, описывающие винтовую симметрию растений, составлены
из членов двух рядов. В обоих рядах числители есть числа Фибоначчи, начиная
с четвертого члена — двойки. Знаменатели рядов различны. В первом числа
Фибоначчи начинаются с третьего числа, а во втором — со второго.
Итак, первый ряд:
2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13…
Второй ряд:
2/1, 3/1, 5/2, 8/3, 13/5, 21/8…
До сих пор совершенно непонятно, почему симметричное винтовое
расположение листьев или чешуек в шишках точно связано с величиной
определенного отношения, присутствующего в пространственных объектах,
производящих особое эстетическое впечатление? Здесь можно высказать только
самое общее утверждение, что формирование эстетичес
| |  скачать работу |
Проявление симметрии в различных формах материи |
