П.1. Выпуклый многоугольник с n сторонами можно разбить на треугольники
диагоналями, которые пересекаются лишь в его вершинах. Вывести формулу для
числа таких разбиений.
Определение: назовем правильным разбиением выпуклого n-угольника на
треугольники диагоналями, пересекающимися только в вершинах n-угольника.
Пусть P1, P2 , … ,Pn–вершины выпуклого n-угольника, Аn- число его
правильных разбиений. Рассмотрим диагональ многоугольника PiPn.В каждом
правильном разбиени P1Pn принадлежит какому-то треугольнику P1PiPn,
где1<=>n-2=k+m<=>m=n-k-2(m=n-(k+2)Значит, в n-угольник можно вписать
(k+3)угольник (n-(k+2))раз, то есть существуют
такие (n-(k+2)) дополнительные диагонали, которые пересекут k главных
диагоналей.
Окончательно получаем: Pkn=(n- (k+2))Аn , где (*).
