Развитие аналитической геометрии
е прямой, проходящей через начальную точку, Ферма выводит в
форме
D на А равно В на Е,
т. е. dx = by (на рис. 7 нанесена лишь часть прямой NI, так как Ферма
пользуется положительными координатами). К этому случаю приводится общее
уравнение первой степени (с указанным ограничением) и несколько далее
однородное уравнение второй степени, причем здесь говорится лишь об одной
из двух возможных прямых. Первое приведение по существу состоит в
преобразовании координат, именно в параллельном сдвиге вдоль горизонтальной
оси: от уравнения вида с ( dx = by Ферма переходит к d (r ( х) = by, где dr
= с. Идею преобразования координат путем параллельного переноса системы
Ферма более отчетливо выражает в следующих примерах: установив сначала, что
в прямоугольной системе уравнение окружности с центром в начальной точке
есть b2 ( x2 = у2, он правильно характеризует общее уравнение окружности и
для образца преобразует к основной форме уравнение
b2 ( 2dx = у2 + 2rу.
[pic]
Для этого он производит дополнение до квадрата
p1 ( (х + d)2 = (у + r)2, где р2 = r2 + b2 + d2,
затем пишет снова x вместо x + d и y вместо у + r и получает
p2 ( x2 = у2.
Следует заметить все же, что Ферма обходит молчанием вопрос об
отрицательных координатах, какими оказываются координаты центра ((d, (r) в
данной задаче (ибо d и r у него положительные). Разумеется, построить центр
для него не представляло труда и в этом случае.
Основные уравнения конических сечений представляют собой у Ферма
непосредственное выражение в терминах алгебры их свойств, известных по
труду Аполлоиня. Для параболы это уравнения x2 = dy и симметричное у2 = dx,
для эллипса (b2 ( x2)/y2 = const (указывается, что в случае непрямого
координатного угла кривая будет эллипсом и при const = 1), для гиперболы
(b2 + x2)/y2 = const. Любопытно, что на рисунке в последнем случае
изображены обе ветви гиперболы, хотя опять-таки об отрицательных
координатах ничего не сказано. Кроме того, приводится уравнение
равносторонней гиперболы ху=с. Все это распространяется на соответствующие
уравнения, дополненные линейными членами.
На частном примере уравнения b2 ( 2x2 = 2xy + у2 Ферма разбирает и
наиболее трудный случай, когда группа старших членов содержит и член с
произведением координат. Его выкладки и построения соответствуют переходу к
новой системе координат X, Y с прежним началом и осью ординат и с осью
абсцисс, образующей угол 45° со старой. В этой системе Х = [pic]х, Y = x +
у, так что (2b2 — X2)/Y2 = 2 и фигура есть эллипс.
Изложив все это, Ферма писал: «Таким образом мы коротко и ясно изложили
все, что оставили невыясненным древние относительно плоских и телесных
мест»[4]. На самом деле был сделан лишь первый шаг к созданию нового типа
геометрии, которая, между прочим, получила свое нынешнее наименование лишь
в самом конце XVIII в.[5]
Аналитическая геометрия Декарта
«Введение» Ферма, долгое время остававшееся в рукописи, не нашло того
широкого распространения, какое получила «Геометрия» Декарта, изданная в
1637 г. О влиянии «Введения» на Декарта не может быть речи. Мы говорили
уже, что все основные идеи «всеобщей математики», как в алгебраической, так
и в геометрической части, имелись у ее творца не позднее 1632 г.
Изложение аналитической геометрии у Декарта во многом отличается от
данного Ферма. В одном оно уступает, ибо разбросано по всем трем книгам
«Геометрии» и даже во второй из них, содержащей наиболее важные элементы
новой дисциплины, не имеет систематического характера, как во «Введении».
Но в других отношениях геометрия Декарта имела решительные преимущества. Не
говоря уже о том, что Декарт применял более развитую символику, что его
изложение было доступнее и богаче примерами, он выдвинул несколько общих
идей и предложений, весьма существенных для последующего.
Один из основных вопросов для Декарта заключался в следующем: какие
линии служат предметом геометрии? Ответ определялся верой Декарта в то, что
единственным общим методом математики является алгебраический. Сначала этот
ответ формулируется в кинематических выражениях: геометрические линии — это
те, которые «описаны непрерывным движением или же несколькими такими
последовательными движениями. пз которых последующие вполне определяются им
предшествующими.— ибо этим путем всегда можно точно узнать их меру»[6].
Напротив, из геометрии, т. е. собственно всеобщей математики, исключаются
механические линии, описываемые «двумя отдельными движениями, между
которыми и существует никакого отношения, которое можно было бы точно
измерить»[7]. Примеры механических линий—спираль и квадратриса: в качестве
примера геометрических приводятся кривые, описываемые некоторым шарнирным
механизмом, число звеньев которого можно неопределенно увеличивать. Этот
механизм, по идее сходный смезолабием предложенным Эратосфеном в III в. до
н. э. для построения двух средних пропорциональных, Декарт изобрел между
1619 и 1621 гг.: в третьей части «Геометрии» показано, как можно с его
помощью строить любое число средних пропорциональных между двумя данными
отрезками
а : x1 = x1 : x2 = x2 : х3 = ... = xn : b.
Уравнения описываемых этим прибором линий
r2 (x2 + у2)2n-1 = x4n (n = 0,1, 2,...)
Декарт не привел ни в общем виде, ни для частных значений п.
Кинематическое образование линий являлось отправным пунктом геометрии
Декарта и применяется в ней неоднократно. Конечно, данная им при этом
кинематическая характеристика геометрических линий как кривых, описываемых
одним или несколькими непрерывными движениями, последовательно
определяющими друг друга, не вполне отчетлива, так же как и заявление, что
для проведения всех таких линий «нужно только то предположение, что две или
несколько линий можно перемещать вдоль друг друга и что их пересечения
образуют другие линии»[8]. Но в этих утверждениях, по сути дела, Декарт
предвосхитил уже упоминавшуюся важную теорему английского ученого А. Кемпе
(1876), согласно которой посредством плоских шарнирных механизмов можно
описать дуги любых алгебраических кривых и нельзя описать ни одной
трансцендентной. Свой кинематический способ деления линий на геометрические
и механические Декарт тотчас облекает в более ясную аналитическую форму и
здесь же предлагает классификацию первых. «Все точки линий,— пишет он,—
которые можно назвать геометрическими, т. е. которые подходят под какую-
либо точную и определенную меру, обязательно находятся в некотором
отношении ко всем точкам прямой линии, которое может быть выражено
некоторым уравнением, одним и тем же для всех точек данной линии»[9]. В
этом поистине замечательном по глубине месте своего сочинения Декарт вводит
и метод прямолинейных координат и понятие об уравнении кривой, а вместе с
тем понятие о функции как аналитическом выражении, составленном из
«неопределенных» отрезков x и у. Несколько перед тем Декарт объяснил, как
описывать кривую или, вернее, строить любое число ее точек, вычисляя
значения х по данным значениям у,— первой координатой у него служила у.
В 1684 г. Лейбниц назвал геометрические кривые Декарта алгебраическими,
а механические — трансцендентными, мотивируя отказ от терминологии Декарта
тем, что и механические линии не подлежат исключению из геометрии.
Непосредственно за изложенными общими соображениями Декарт приводит
первую общую классификацию алгебраических кривых в зависимости от степени
их уравнений, отнеся к роду п кривые с уравнениями степени 2п — 1 и 2п.
Классификация требовалась прежде всего для всеобщей математики Декарта
(стр. 30), а также была нужна в аналитической геометрии. Предложенное
Декартом разделение кривых по родам, себя не оправдавшее, мотивировалось
тем, что, по его мнению, кривые с уравнением степени 2п вообще не сложнее,
чем с уравнением степени 2п — 1. Все трудности, связанные с четвертой
степенью, писал он, приводятся к третьей, а трудности, связанные с шестой
степенью,— к пятой и т. д. Общепринятой классификацией плоских кривых по
порядкам мы обязаны Ньютону.
Но классификация кривых в прямолинейных координатах по родам или
порядкам имеет смысл, если род или порядок кривой не зависит от выбора
координатной системы. Это было Декарту ясно, и он, правда мимоходом, но
вполне отчетливо, сформулировал фундаментальное предложение об
инвариантности рода кривой при замене одной системы прямолинейных координат
другой: «Действительно, хотя для получения более короткого и удобного
уравнения и нужен весьма тщательный выбор, но все же, какими бы прямую и
точку ни взяли, всегда можно сделать так, чтобы линия оказалась того же
самого рода: это легко доказать»[10]. Впрочем, доказательство не
приводится, да и формулы линейного преобразования координат у Декарта еще
отсутствовали.
В качестве первого примера Декарт выводит уравнение линии ЕС, описанной
точкой пересечения линейки GL и неопределенно продолженной стороны CNK
плоской прямолинейной фигуры NKL, сторона которой KL движется вдоль данной
прямой ВА, заставляя вращаться вокруг точки G линейку, неизменно п
| | скачать работу |
Развитие аналитической геометрии |