Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Развитие аналитической геометрии

е прямой, проходящей через  начальную  точку,  Ферма  выводит  в
форме
                            D на А равно В на Е,
   т. е. dx = by (на рис. 7 нанесена лишь часть прямой NI,  так  как  Ферма
пользуется положительными координатами). К  этому  случаю  приводится  общее
уравнение первой  степени  (с  указанным  ограничением)  и  несколько  далее
однородное уравнение второй степени, причем здесь говорится  лишь  об  одной
из  двух  возможных  прямых.  Первое  приведение  по  существу   состоит   в
преобразовании координат, именно в параллельном сдвиге вдоль  горизонтальной
оси: от уравнения вида с ( dx = by Ферма переходит к d (r ( х) = by, где  dr
= с. Идею преобразования  координат  путем  параллельного  переноса  системы
Ферма более отчетливо выражает в следующих примерах: установив сначала,  что
в прямоугольной системе уравнение окружности с  центром  в  начальной  точке
есть b2 ( x2 = у2, он правильно характеризует общее уравнение  окружности  и
для образца преобразует к основной форме уравнение
                            b2 ( 2dx = у2 + 2rу.

                                    [pic]
   Для этого он производит дополнение до квадрата
              p1 ( (х + d)2 = (у + r)2, где р2 = r2 + b2 + d2,
   затем пишет снова x вместо x + d и y вместо у + r и получает
                                p2 ( x2 = у2.
   Следует  заметить  все  же,  что  Ферма  обходит  молчанием  вопрос   об
отрицательных координатах, какими оказываются координаты центра ((d,  (r)  в
данной задаче (ибо d и r у него положительные). Разумеется, построить  центр
для него не представляло труда и в этом случае.
   Основные  уравнения  конических  сечений  представляют  собой  у   Ферма
непосредственное выражение в  терминах  алгебры  их  свойств,  известных  по
труду Аполлоиня. Для параболы это уравнения x2 = dy и симметричное у2 =  dx,
для эллипса (b2 ( x2)/y2  =  const  (указывается,  что  в  случае  непрямого
координатного угла кривая будет эллипсом и при const  =  1),  для  гиперболы
(b2 +  x2)/y2  =  const.  Любопытно,  что  на  рисунке  в  последнем  случае
изображены  обе  ветви   гиперболы,   хотя   опять-таки   об   отрицательных
координатах  ничего   не   сказано.   Кроме   того,   приводится   уравнение
равносторонней гиперболы ху=с. Все это распространяется  на  соответствующие
уравнения, дополненные линейными членами.
   На частном примере уравнения b2 ( 2x2 =  2xy  +  у2  Ферма  разбирает  и
наиболее трудный случай, когда группа  старших  членов  содержит  и  член  с
произведением координат. Его выкладки и построения соответствуют переходу  к
новой системе координат X, Y с прежним началом  и  осью  ординат  и  с  осью
абсцисс, образующей угол 45° со старой. В этой системе Х = [pic]х, Y =  x  +
у, так что (2b2 — X2)/Y2 = 2 и фигура есть эллипс.
   Изложив все это, Ферма писал: «Таким образом мы коротко и ясно  изложили
все, что оставили  невыясненным  древние  относительно  плоских  и  телесных
мест»[4]. На самом деле был сделан лишь первый шаг к  созданию  нового  типа
геометрии, которая, между прочим, получила свое нынешнее  наименование  лишь
в самом конце XVIII в.[5]

                       Аналитическая геометрия Декарта

   «Введение» Ферма, долгое время остававшееся в рукописи,  не  нашло  того
широкого распространения, какое получила  «Геометрия»  Декарта,  изданная  в
1637 г. О влиянии «Введения» на Декарта не  может  быть  речи.  Мы  говорили
уже, что все основные идеи «всеобщей математики», как в алгебраической,  так
и в геометрической части, имелись у ее творца не позднее 1632 г.
   Изложение аналитической геометрии у  Декарта  во  многом  отличается  от
данного Ферма. В одном оно уступает, ибо  разбросано  по  всем  трем  книгам
«Геометрии» и даже во второй из них,  содержащей  наиболее  важные  элементы
новой дисциплины, не имеет систематического характера,  как  во  «Введении».
Но в других отношениях геометрия Декарта имела решительные преимущества.  Не
говоря уже о том, что Декарт применял  более  развитую  символику,  что  его
изложение было доступнее и богаче примерами,  он  выдвинул  несколько  общих
идей и предложений, весьма существенных для последующего.
   Один из основных вопросов для  Декарта  заключался  в  следующем:  какие
линии служат предметом геометрии? Ответ определялся верой Декарта в то,  что
единственным общим методом математики является алгебраический. Сначала  этот
ответ формулируется в кинематических выражениях: геометрические линии —  это
те,  которые  «описаны  непрерывным  движением  или  же  несколькими  такими
последовательными движениями. пз которых последующие вполне определяются  им
предшествующими.— ибо этим путем всегда  можно  точно  узнать  их  меру»[6].
Напротив, из геометрии, т. е. собственно  всеобщей  математики,  исключаются
механические  линии,  описываемые  «двумя   отдельными   движениями,   между
которыми и существует  никакого  отношения,  которое  можно  было  бы  точно
измерить»[7]. Примеры механических линий—спираль и квадратриса:  в  качестве
примера геометрических приводятся кривые,  описываемые  некоторым  шарнирным
механизмом, число звеньев которого  можно  неопределенно  увеличивать.  Этот
механизм, по идее сходный смезолабием предложенным Эратосфеном в III  в.  до
н. э. для построения двух средних  пропорциональных,  Декарт  изобрел  между
1619 и 1621 гг.: в третьей части  «Геометрии»  показано,  как  можно  с  его
помощью строить любое число средних  пропорциональных  между  двумя  данными
отрезками
                 а : x1 = x1 : x2 = x2 : х3 = ... = xn : b.
   Уравнения описываемых этим прибором линий
                  r2 (x2 + у2)2n-1 = x4n   (n = 0,1, 2,...)
   Декарт не привел ни в общем виде, ни для частных значений п.
   Кинематическое образование линий являлось  отправным  пунктом  геометрии
Декарта и применяется в  ней  неоднократно.  Конечно,  данная  им  при  этом
кинематическая характеристика геометрических линий как  кривых,  описываемых
одним   или    несколькими    непрерывными    движениями,    последовательно
определяющими друг друга, не вполне отчетлива, так же как и  заявление,  что
для проведения всех таких линий «нужно только то предположение, что две  или
несколько линий можно перемещать вдоль  друг  друга  и  что  их  пересечения
образуют другие линии»[8]. Но в этих  утверждениях,  по  сути  дела,  Декарт
предвосхитил уже упоминавшуюся важную теорему английского ученого  А.  Кемпе
(1876), согласно которой  посредством  плоских  шарнирных  механизмов  можно
описать  дуги  любых  алгебраических  кривых  и  нельзя  описать  ни   одной
трансцендентной. Свой кинематический способ деления линий на  геометрические
и механические Декарт тотчас облекает в более ясную  аналитическую  форму  и
здесь же предлагает классификацию первых.  «Все  точки  линий,—  пишет  он,—
которые можно назвать геометрическими, т. е.  которые  подходят  под  какую-
либо  точную  и  определенную  меру,  обязательно  находятся   в   некотором
отношении  ко  всем  точкам  прямой  линии,  которое  может  быть   выражено
некоторым уравнением, одним и тем же для  всех  точек  данной  линии»[9].  В
этом поистине замечательном по глубине месте своего сочинения Декарт  вводит
и метод прямолинейных координат и понятие об уравнении кривой,  а  вместе  с
тем  понятие  о  функции  как  аналитическом  выражении,   составленном   из
«неопределенных» отрезков x и у. Несколько перед тем  Декарт  объяснил,  как
описывать кривую  или,  вернее,  строить  любое  число  ее  точек,  вычисляя
значения х по данным значениям у,— первой координатой у него служила у.
   В 1684 г. Лейбниц назвал геометрические кривые Декарта  алгебраическими,
а механические — трансцендентными, мотивируя отказ от  терминологии  Декарта
тем, что и механические линии не подлежат исключению из геометрии.
   Непосредственно за  изложенными  общими  соображениями  Декарт  приводит
первую общую классификацию алгебраических кривых в  зависимости  от  степени
их уравнений, отнеся к роду п кривые с уравнениями степени  2п  —  1  и  2п.
Классификация требовалась  прежде  всего  для  всеобщей  математики  Декарта
(стр. 30), а  также  была  нужна  в  аналитической  геометрии.  Предложенное
Декартом разделение кривых по родам,  себя  не  оправдавшее,  мотивировалось
тем, что, по его мнению, кривые с уравнением степени 2п вообще  не  сложнее,
чем с уравнением степени 2п  —  1.  Все  трудности,  связанные  с  четвертой
степенью, писал он, приводятся к третьей, а трудности,  связанные  с  шестой
степенью,— к пятой и т. д. Общепринятой  классификацией  плоских  кривых  по
порядкам мы обязаны Ньютону.
   Но  классификация  кривых  в  прямолинейных  координатах  по  родам  или
порядкам имеет смысл, если род или  порядок  кривой  не  зависит  от  выбора
координатной системы. Это было Декарту ясно,  и  он,  правда  мимоходом,  но
вполне   отчетливо,    сформулировал    фундаментальное    предложение    об
инвариантности рода кривой при замене одной системы прямолинейных  координат
другой: «Действительно,  хотя  для  получения  более  короткого  и  удобного
уравнения и нужен весьма тщательный выбор, но все же,  какими  бы  прямую  и
точку ни взяли, всегда можно сделать так,  чтобы  линия  оказалась  того  же
самого  рода:  это   легко   доказать»[10].   Впрочем,   доказательство   не
приводится, да и формулы линейного преобразования координат  у  Декарта  еще
отсутствовали.
   В качестве первого примера Декарт выводит уравнение линии ЕС,  описанной
точкой пересечения линейки  GL  и  неопределенно  продолженной  стороны  CNK
плоской прямолинейной фигуры NKL, сторона которой KL движется  вдоль  данной
прямой ВА, заставляя вращаться вокруг точки G линейку, неизменно  п
1234
скачать работу

Развитие аналитической геометрии

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ