Развитие аналитической геометрии
последняя стремилась превратить
геометрические проблемы целиком в задачи исчисления»[14]. И до тех пор,
пока средством исследования оставалась геометрическая алгебра,
синтетическое рассмотрение неизбежно переплеталось с аналитическим, а в
глазах некоторых ученых являлось принципиально господствующим. Ньютон,
завершая свой вывод теоремы о том, что место к четырем прямым есть
коническое сечение, писал: «Такое решение, как приведенное выше, т. е.
исполняемое не с помощью исчисления, но геометрическим построением, и
изыскивалось древними»[15]. Между тем после Ферма и Декарта и благодаря им
начинает развиваться чисто аналитический метод исследования геометрических
образов, в принципе не нуждающийся в обращении к геометрическим построениям
и опирающийся лишь на алгебраическое исчисление. Такова общая, идейная
сторона дела. К этому следует добавить, что новая алгебра давала средства
изучения кривых любого порядка, первые примеры чего имеются уже у
Декарта[16] (такое применение геометрической алгебры было невозможно), что
система координат становилась свободной от связи с теми или иными
исключительными точками и направлениями (например, диаметром и вершиной
конического сечения), что приобретали право на существование отрицательные
координаты и т. д. Мы не говорим уже о том, что в новой геометрии впервые
нашло явное выражение понятие о функции, заданной формулой.
В свете сказанного второстепенное значение имеют недостатки, присущие
аналитической геометрии Декарта и Ферма, пользовавшегося к тому же менее
совершенной алгеброй Виета, например не разработанность вопроса об
отрицательных координатах или отсутствие на большинстве чертежей второй
оси, а также то обстоятельство, что оба они ограничились немногими
примерами приложения нового метода.
Современники восприняли новую геометрию с энтузиазмом. Уже в латинских
изданиях «Геометрии» Декарта мы находим отдельные, заслуживающие упоминания
вещи.
-----------------------
[1] В первом издаиии этот весьма распространенный в XVII в. труд
назывался «Основы арифметики в числах и видах» (Arithmeticae in numeris et
speciebus institutio).
[2] Еще в переводе арабского трактата Ибн ал-Хайсама о параболических
зеркалах, сделанном в XII в., употребляется оборот linea secunduin ordinem,
т. е. «линия по порядку». Н. Орем в середине XIV в. писал о перпендикулярно
приложенных отрезках — perpendiculariter applicatae.
[3] П. Ферма. Введение в изучение плоских и пространственных мест. В
книге: Р. Декарт. Геометрия, стр. 137—138.
[4] См. Р. Декарт. Геометрия, стр. 146.
[5] Термин «аналитическая геометрия» в применении к любым геометрическим
приложениям алгебры употреблялся в XVIII в. не раз. В более специальном
смысле. совпадающем с общепринятыми в XIX в., его начал применять С. Ф.
Лакруа, а первую книгу, озаглавленную «Начала аналитической геометрии»
(Elements de geometric analytique. Paris, 1801), опубликовал профессор
Политехнической школы Ж. Г. Гарнье (1766-1840).
[6] Р. Декарт. Геометрия, стр. 30.
[7] Там же, стр. 30-31
[8] Р. Декарт. Геометрия, стр. 30.
[9] Там же, стр. 33
[10] Р. Декарт. Геометрия, стр. 34
[11] «Прямая сторона» — термин, восходящий к древности, есть отрезок,
равный нашему удвоенному параметру. Слово «параметр» (измеряю) предложил в
этом смысле употреблять друг Декарта Кл. Мидорж во «Введения в катоптрику и
диоптрику или труде о конических сечениях» (Prodromus catoptricorum et
dioptri-corum sive conicoruni opus, Parisiis, 1631).
[12] В подвижной системе координат ЕВ = у, LB = х' уравнение параболы
CKN есть у2 = а (a — х'), при этом х' = ху/(2а — х).
[13] Р. Декарт. Геометрия, стр. 73
[14] Г. Цейтен. История математики в древности и в средние века. Перевод
П. С. Юшкевича. М.— Л., 1938, стр. 138.
[15] И. Ньютон. Математические начала натуральной философии. Перевод А.
Н. Крылова. Собрание трудов А. Н. Крылова, т. VII. М.— Л., стр. 122.
[16] Помимо трезубца Декарт рассмотрел (в переписке 1638 г.) так
называемый декартов лист x3 + y3 = 3axy и еще некоторые высшие кривые.
| |  скачать работу |
Развитие аналитической геометрии |
