Развитие и взаимное влияние математики, философии и искусства
х отводится основополагающее место в
системе мировоззрения, то есть фактически математика объявляется
философией. Как писал Аристотель, “...у чисел они усматривали, казалось
бы, много сходных черт с тем, что существует и происходит, - больше, чем
у огня, земли и воды... У них, по-видимому, число принимается за начало и
в качестве материи для вещей, и в качестве выражения для их состояний и
свойств... Например, такое-то свойство чисел есть справедливость, а такое-
то - душа и ум, другое - удача, и можно сказать - в каждом из остальных
случаев точно также. “
Если сравнивать математические исследования ранней пифагорейской и
милетской школ, то можно выявить ряд существенных различий. Так,
математические объекты рассматривались пифагорейцами как первосущность
мира, то есть радикально изменилось само понимание природы математических
объектов. Кроме того, математика превращена пифагорейцами в составляющую
религии, в средство очищения души, достижения бессмертия. И наконец,
пифагорейцы ограничивают область математических объектов наиболее
абстрактными типами элементов и сознательно игнорируют приложения
математики для решения производственных задач. Но чем же обусловлены такие
глобальные расхождения в понимании природы математических объектов у
школ, существовавших практически в одно и то же время и черпавших свою
мудрость, по-видимому, из одного и того же источника - культуры Востока?
Впрочем, Пифагор, скорее всего, пользовался достижениями милетской школы,
так как у него, как и у Фалеса, обнаруживаются основные признаки
умственной деятельности, отличающиеся от догреческой эпохи; однако
математическая деятельность этих школ носила существенно различный
характер.
Аристотель был одним из первых, кто попытался объяснить причины
появления пифагорейской концепции математики. Он видел их в пределах самой
математики: “Так называемые пифагорейцы, занявшись математическими
науками, впервые двинули их вперед и, воспитавшись на них, стали считать
их началами всех вещей.” Подобна точка зрения не лишена основания хотя бы
в силу применимости математических положений для выражения отношений между
различными явлениями. На этом основании можно, неправомерно расширив
данный момент математического познания, прийти к утверждению о выразимости
всего сущего с помощью математических зависимостей, а если считать числовые
отношения универсальными, то “число есть сущность всех вещей”. Кроме того,
ко времени деятельности пифагорейцев математика прошла длинный путь
исторического развития; процесс формирования ее основных положений терялся
во мраке веков. Таким образом, появлялось искушение пренебречь им и
объявить математические объекты чем-то первичным по отношению к
существующему миру. Именно так и поступили пифагорейцы.
В советской философской науке проблема появления пифагорейской
концепции математики рассматривалась, естественно, с позиций
марксистско-ленинской философии. Так, О.И.Кедровский пишет:
“...Выработанная им (Пифагором) концепция объективно оказалась идеологией
вполне определенных социальных слоев общества. Это были ...представители
аристократии, теснимые демосом... Для них характерно стремление уйти от
тягот земной жизни, обращение к религии и мистике”. Эта точка зрения, как
и первая, не лишена смысла; истина же, вероятно, находится где-то
посередине. Однако, на мой взгляд, крах пифагорейского учения следует
связывать в первую очередь не с вырождением аристократии как класса, а с
попыткой пифагорейцев извратить саму природу процесса математического
познания, лишив математику таких важных источников прогресса, как
приложения к производству, открытое обсуждение результатов исследований,
коллективное творчество, удержать прогресс математики в рамках
рафинированного учения для посвященных. Кстати, сами пифагорейцы
подорвали свой основополагающий принцип “число есть сущность всех вещей”,
открыв, что отношение диагонали и стороны квадрата не выражается
посредством целых чисел.
Таким образом, уже в исходном пункте своего развития теоретическая
математика была подвержена влиянию борьбы двух типов мировоззрения -
материалистического и религиозно-идеалистического. Мы же убедились, что
наряду с влиянием мировоззрения на развитие математического познания имеет
место и обратное воздействие.
Глава 4
ЭЛЕЙСКАЯ ШКОЛА
Элейская школа довольно интересна для исследования, так как это одна из
древнейших школ, в трудах которой математика и философия достаточно тесно и
разносторонне взаимодействуют. Основными представителями элейской школы
считают Парменида (конец VI - V в. до н.э.) и Зенона (первая половина V в.
до н.э.).
Философия Парменида заключается в следующем: всевозможные системы
миропонимания базируются на одной из трех посылок: 1)Есть только бытие,
небытия нет; 2)Существует не только бытие, но и небытие; 3)Бытие и
небытие тождественны. Истинной Парменид признает только первую посылку.
Согласно ему, бытие едино, неделимо, неизменяемо, вневременно, закончено
в себе, только оно истинно сущее; множественность, изменчивость,
прерывность, текучесть - все это удел мнимого.
С защитой учения Парменида от возражений выступил его ученик Зенон.
Древние приписывали ему сорок доказательств для защиты учения о единстве
сущего (против множественности вещей) и пять доказательств его
неподвижности (против движения). Из них до нас дошло всего девять.
Наибольшей известностью во все времена пользовались зеноновы доказательства
против движения; например, “движения не существует на том основании, что
перемещающееся тело должно прежде дойти до половины, чем до конца, а чтобы
дойти до половины, нужно пройти половину этой половины и т.д.”.
Аргументы Зенона приводят к парадоксальным, с точки зрения
“здравого смысла”, выводам, но их нельзя было просто отбросить как
несостоятельные, поскольку и по форме, и по содержанию удовлетворяли
математическим стандартам той поры. Разложив апории Зенона на составные
части и двигаясь от заключений к посылкам, можно реконструировать
исходные положения, которые он взял за основу своей концепции. Важно
отметить, что в концепции элеатов, как и в дозеноновской науке
фундаментальные философские представления существенно опирались на
математические принципы. Видное место среди них занимали следующие
аксиомы:
1. Сумма бесконечно большого числа любых, хотя бы и бесконечно малых, но
протяженных величин должна быть бесконечно большой;
2. Сумма любого, хотя бы и бесконечно большого числа непротяженных
величин всегда равна нулю и никогда не может стать некоторой заранее
заданной протяженной величиной.
Именно в силу тесной взаимосвязи общих философских представлений с
фундаментальными математическими положениями удар, нанесенный Зеноном по
философским воззрениям, существенно затронул систему математических
знаний. Целый ряд важнейших математических построений, считавшихся до
этого несомненно истинными, в свете зеноновских построений выглядели как
противоречивые. Рассуждения Зенона привели к необходимости переосмыслить
такие важные методологические вопросы, как природа бесконечности,
соотношение между непрерывным и прерывным и т.п. Они обратили внимание
математиков на непрочность фундамента их научной деятельности и таким
образом оказали стимулирующее воздействие на прогресс этой науки.
Следует обратить внимание и на обратную связь - на роль математики в
формировании элейской философии. Так, установлено, что апории Зенона
связаны с нахождением суммы бесконечной геометрической прогрессии. На
этом основании советский историк математики Э. Кольман сделал
предположение, что “именно на математический почве суммирования таких
прогрессий и выросли логико-философские апории Зенона”. Однако такое
предположение, по-видимому, лишено достаточных оснований, так как оно
слишком жестко связывает учение Зенона с математикой при том, что имеющие
исторические данные не дают основания утверждать, что Зенон вообще был
математиком.
Огромное значение для последующего развития математики имело
повышение уровня абстракции математического познания, что произошло в
большой степени благодаря деятельности элеатов. Конкретной формой
проявления этого процесса было возникновение косвенного доказательства
(“от противного”), характерной чертой которого является доказательство не
самого утверждения, а абсурдности обратного ему. Таким образом был сделан
шаг к становлению математики как дедуктивной науки, созданы некоторые
предпосылки для ее аксиоматического построения.
Итак, философские рассуждения элеатов, с одной стороны, явились мощным
толчком для принципиально новой постановки важнейших методологических
вопросов математики, а с другой - послужили источником возникновения
качественно новой формы обоснования математических знаний.
Глава 5
ДЕМОКРИТ
Аргументы Зенона вскрыли внутренние противоречия, которые имели место в
сложи
| |  скачать работу |
Развитие и взаимное влияние математики, философии и искусства |
