Специфика физики микрообъектов
направлении его движения, приводит к
возникновению неопределенности импульса микрообъекта в указанном
направлении, чем и объясняется наблюдаемое на опыте явления дифракции.
Соотношения неопределенностей и состояния микрообъектов; понятие о полном
наборе физических величин. Для задания состояния классического объекта
надо, как известно, задать определенную совокупность чисел – координаты и
составляющие скорости. При этом, в частности, будут определены и другие
величины: энергия, импульс, момент импульса объекта. соотношения
неопределенностей показывают, что для микрообъектов такой способ задания
состояния неприемлем. Так, например, наличие у микрообъекта определенной
проекции импульса на данное направление означает, что положение
микрообъекта на указанном направлении не может быть предсказано однозначно:
согласно формуле ДpxДx > h, соответствующая пространственная координата
характеризуется бесконечно большой неопределенностью. Электрон в атоме
имеет определенную энергию; при этом его координаты характеризуются
неопределенностью порядка линейных размеров атома, что, согласно той же
формуле, приводит к неопределенности проекций импульса электрона, равной
отношению постоянной Планка к линейному размеру атома.
Можно указать следующие принципиальные для квантовой механики положения,
вытекающие из соотношений неопределенностей: а) различные динамические
переменные микрообъекта объединяются в наборы одновременно определенных
(одновременно измеримых) величин, так называемые полные наборы величин; б)
различные состояния микрообъекта объединяются в группы состояний,
отвечающим разным полным наборам величин; каждая такая группа определяет
состояния микрообъекта, в которых объединены величины соответствующего
полного набора (принято говорить, что каждому полному набору соответствует
свой способ задания состояний).
Укажем примеры полных наборов, используемых для задания состояний,
например, электрона и фотона. Каждый из наборов включает четыре величины (в
связи с этим говорят, что микрообъект имеет четыре степени свободы). Для
описания состояний электрона используют следующие наборы:
x, y, z, у,
Дpx, Дpy, Дpz, у,
E, l, m, у
(напомним, что l, m, у – соответственно орбитальное, магнитное и спиновое
квантовые числа). Подчеркнем, что координаты и составляющие импульса
микрообъекта (в данном случае электрона) попадают в разные полные наборы
величин; указанные физические величины одновременно неизмеримы. Именно
поэтому классические соотношения E = p2/2m + U(r), M = (r . p) не
работают при переходе к микрообъектам; ведь в каждое из этих соотношений
входит и координата, и импульс.
Второй из перечисленных наборов используют, в частности, для описания
состояний, свободно движущегося электрона; при этом оказывается
определенной также и энергия электрона: E = (px2 + py2 + pz2) / 2m.
Третий набор используют обычно для описания состояний электрона в атоме.
Для описания состояний фотона используют чаще всего следующие наборы:
kx, ky, kz, б,
E, M2, Mz, P.
Здесь kx, ky, kz – проекции волнового вектора излучения; б – поляризация
фотона; M2 и Mz – соотвественно квадрат момента и проекция момента фотона;
P – квантовое число, называемое пространственной четностью. Заметим, что
коль скоро определены проекции волнового вектора излучения, то определены и
проекции импульса фотона. Поляризация фотона принимает два значения – в
полном значении с двумя независимыми поляризациями классической волны (так,
например, можно говорить о фотонах, имеющих правую эллиптическую
поляризацию). Пространственная четность – специфическая характеристика
микрообъекта; она может рассматриваться как интеграл движения, сохранение
которого есть следствие симметрии по отношению к операции отражения в
зеркале. Четность может принимать два значения: Р = 1, -1.
Набор kx, ky, kz, б используют для описания состояний фотонов, отвечающим
плоским классическим волнам; при этом оказывается определенной также
энергия фотона (Е = hщ). О состояниях, описываемых этим набором, говорят,
как о kб-состояниях. Набор E, M2, Mz, P б используют для описания состояний
фотонов, отвечающим сферическим классическим волнам. Заметим, что подобно
тому, как сферическая волна может быть представлена в виде суперпозиции
плоских волн, состояние фотона, определяемое этим набором, может быть
представлено в виде «суперпозиции» состояний, определяемых набором kx, ky,
kz, б. Верно также и противоположное заключение – о представлении плоской
волны в виде суперпозиции сферических волн. Здесь мы коснулись одного из
наиболее важных и тонких аспектов квантомеханического описания материи –
специфики «взаимоотношений» состояний микрообъекта, описываемых разными
полными наборами. Эта специфика отражается в наиболее конструктивном
принципе квантовой механики – принципе суперпозиции состояний.
Соотношения неопределенностей и квантовые переходы. Указанное ранее
основное противоречие квантовых переходов фактически снимается, если
воспользоваться идеей дуализма, а, точнее, соотношениями неопределенностей.
Предположим, что рассматривается переход электрона в атоме с уровня Е1 на
уровень Е2 при поглощении фотона с энергией hщ = Е2-Е1. Напомним, что
противоречие перехода было связано с выяснением вопроса о том, что именно
происходит сначала: поглощение фотона или переход электрона. легко видеть,
что теперь этот вопрос попросту теряет смысл. Действительно, если до и
после взаимодействия с излучением мы имеем связанный электрон с энергией
соответственно Е1 и Е2, то во время взаимодействия с излучением получаем
единую квантомеханическую систему, включающее в себя и электрон, и
излучение. Эта система существует конечное время (пока происходит
взаимодействие с излучением) и, согласно соотношению ДEДt > h, не может
иметь какой-либо определенной энергии. Поэтому нет смысла выяснять, что
именно в подробностях происходит в такой системе. Во время взаимодействия
электронов с фотонами нет, строго говоря, ни электронов, ни фотонов, а есть
нечто единое целое, которое и следует рассматривать как единое целое – без
уточнения деталей. Этот пример показывает, что в квантовой механике нельзя
бесконечно детализировать во времени физический процесс. Вопрос: что
происходит после чего? – не всегда можно ставить в отношении микроявлений.
Соотношение неопределенностей «число фотонов – фаза». Используемые в
квантовой теории соотношение неопределенностей отнюдь не исчерпываются
вышеприведенными соотношениями. В качестве еще одного такого соотношения
укажем соотношения неопределенностей для числа фотонов и фазы волны.
Пусть имеется монохроматическое излучение частотой щ. С одной стороны,
оно может рассматриваться как коллектив фотонов, каждый из которых имеет
энергию hщ; с другой стороны – как классическая электромагнитная волна.
Пусть N – число фотонов в рассматриваемом объеме, Ф = щt – фаза
классической волны. Корпускулярная характеристика излучения (число фотонов
N) и волновая характеристика (фаза Ф) не могут иметь одновременно
определенные значения; существует соотношения неопределенностей
ДNДФ > 1.
Чтобы прийти к этому соотношению, будем исходить из соотношения
неопределенности для энергии и времени. Напомним, что для измерения энергии
квантового объема ДЕ надо затратить время Дt > h / ДE. Если в качестве
квантового объекта рассматривается коллектив фотонов, то в этом случае
ДE = hДNщ,
где ДN – неопределенность числа фотонов. В течение времени Дt, необходимого
для измерения энергии объекта с точностью до hДNщ, фаза Ф объекта изменится
на величину ДФ = щДt. Подставляя сюда соотношение Дt > h / hщДN, находим ДФ
> 1 / ДN, что и требовалось показать.
В соотношении ДNДФ > 1 отразилось противоречивое единство корпускулярных
и волновых свойств излучения. Неопределенность ДФ мала, когда ярко выражены
волновые свойства излучения; в этом случае велика плотность фотонов (велико
N), а следовательно, и неопределенность ДN. С другой стороны,
неопределенность ДN мала, когда в коллективе мало фотонов; в этом случае
ярко выражены корпускулярные свойства излучения, поэтому велика
неопределенность ДФ.
4 . Некоторые результаты, вытекающие из соотношений неопределенностей.
Оценка энергии основного состояния атома водорода. Позволяя довольно
простым путем получать важные оценки, соотношения неопределенностей
оказываются полезным рабочим инструментом квантовой теории.
В качестве первого примера рассмотрим атом водорода в основном состоянии.
Воспользуемся известным классическим выражением для энергии заряженной
частицы, движущейся в кулоновском поле
Е = p2 / 2m - e2 / r,
где m и е – соответственно масса и заряд электрона. чтобы использовать это
классическое выражение в квантовой теории, будем рассматривать величины р и
r, входящего в него, как неопределенности соответственно импульса и
координаты электрона. Согласно соотношению ДpxДx > h, эти величины связаны
друг с другом. Положим pr h, или проще pr = h. Используя это равенство,
исключим r из формулы. Получим
| |  скачать работу |
Специфика физики микрообъектов |
