Упругие волны
ы. Аналогичные
вычисления для поперечных волн приводят к выражению
где G – модуль сдвига.
§ 6. Энергия упругой волны
Пусть в некоторой среде распространяется в направлении оси х плоская
продольная волна
( = a cos ( (t - kx + ( )
Выделим в среде элементарный объем ?V, настолько малый, чтобы скорость
движения и деформацию во всех точках этого объема можно было считать
одинаковыми и равными, соответственно, и .
Выделенный нами объем обладает кинетической энергией
(??V – масса объема, – его скорость).
Согласно формуле (25.4) 1-го тома рассматриваемый объем обладает также
потенциальной энергией упругой деформации
(? = – относительное удлинение цилиндра, Е — модуль Юнга среды).
Заменим в соответствии с (5.7) модуль Юнга через ?v2 (? – плотность среды,
v – фазовая скорость волны). Тогда выражение для потенциальной энергии
объема ?V примет вид
Выражения (6.2) и (6.3) в сумме дают полную энергию
Разделив эту энергию на объем ?V, в котором она содержится, получим
плотность энергии
Дифференцирование уравнения (6.1) один раз по t, другой раз по x дает
Подставив эти выражения в формулу (6.4) и приняв во внимание, что k2v2 =
?2, получим
В случае поперечной волны для плотности энергии получается такое же
выражение.
Из (6.5) следует, что плотность энергии в каждый момент времени в
разных точках пространства различна. В одной и той же точке плотность
энергии изменяется со временем по закону квадрата синуса. Среднее значение
квадрата синуса равно 1/2. Соответственно среднее по времени значение
плотности энергии в каждой точке среды равно
Плотность энергии (6.5) и ее среднее значение (6.6) пропорциональны
плотности среды ?, квадрату частоты ? и квадрату амплитуды волны а.
Подобная зависимость имеет место не только для незатухающей плоскости
волны, но и для других видов волн (плоской затухающей, сферической и т.
д.).
Итак, среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным
запасом энергии. Эта энергия доставляется от источника колебаний в
различные точки среды самой волной; следовательно, волна переносит с собой
энергию. Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность
в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность. Если
через данную поверхность переносится за время dt энергия dW, то поток
энергии ? равен
Поток энергии – скалярная величина, размерность которой равна размерности
энергии, деленной на размерность времени, т. е. совпадает с размерностью
мощности. В соответствии с этим ? измеряется в ваттах, эрг/с и т. п.
Поток энергии в разных точках среды может быть различной
интенсивности. Для характеристики течения энергии в разных точках
пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока
энергии. Эта величина численно равна потоку энергии через единичную
площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в
котором переносится энергия. Направление вектора плотности потока энергии
совпадает с направлением переноса энергии.
Пусть через площадку , перпендикулярную к направлению
распространения волны, переносится за время ?t энергия ?W. Тогда плотность
потока энергии равна
(см. (6.7)). Через площадку (рис. 6.1) будет перенесена за время ?t
энергия ?W, заключенная в объеме цилиндра с основанием и высотой v?t (v
– фазовая скорость волны). Если размеры цилиндра достаточно малы (за счет
малости и ?t) для того, чтобы плотность энергии во всех точках цилиндра
можно было считать одинаковой, то ?W можно найти как произведение плотности
энергии w на объем цилиндра, равный v?t:
Подставив это выражение в формулу (6.8), получим для плотности потока
энергии:
Наконец, введя вектор v, модуль которого равен фазовой скорости волны, а
направление совпадает с направлением распространения волны (и переноса
энергии), можно написать
j = wv
Мы получили выражение для вектора плотности потока энергии. Этот
вектор был впервые введен в рассмотрение выдающимся русским физиком Н. А.
Умовым и называется вектором Умова. Вектор (6.10), как и плотность энергии
w, различен в разных точках про-
странства, а в данной точке изменяется со временем по закону квадрата
синуса. Его среднее значение равно
(см. (6.6)). Выражение (6.11), так же как и (6.6), справедливо для волны
любого вида (сферической, затухающей и т. д.).
Отметим, что, когда говорят об интенсивности волны в данной точке, то
имеют в виду среднее по времени значение плотности потока энергии,
переносимой волной.
Зная j во всех точках произвольной поверхности S, можно вычислить
поток энергии через эту поверхность. С этой целью разобьем поверхность на
элементарные участки dS. За время dt через площадку dS пройдет энергия dW,
заключенная в изображенном на рис. 6.2 косом цилиндре. Объем этого цилиндра
равен dV = v dt dS cos? . В нем содержится энергия dW = w dV = w v dtdS
cos ? (w — мгновенное значение плотности энергии в том месте, где
расположена площадка dS). Приняв во внимание, что
w v dS cos ? = j dS cos ? = j dS
(dS = n dS; см. рис. 6.2), можно написать: dW = j dS dt. Отсюда для потока
энергии d? через площадку dS получается формула
(ср. с формулой (11.5)). Полный поток энергии через поверхность равен сумме
элементарных потоков (6.12):
В соответствии с (11.7) можно сказать, что поток энергии равен потоку
вектора j через поверхность S.
Заменив в формуле (6.13) вектор j его средним по времени значением,
получим среднее значение ?:
Вычислим среднее значение потока энергии через произвольную волновую
поверхность незатухающей сферической волны. В каждой точке этой поверхности
векторы j и dS совпадают по направлению. Кроме того, модуль вектора j для
всех точек поверхности одинаков. Следовательно,
(r — радиус волновой поверхности). Согласно (6.11)
. Таким образом,
(ar – амплитуда волны на расстоянии r от источника). Поскольку энергия
волны не поглощается средой, средний поток энергии через сферу любого
радиуса должен иметь одинаковое значение, т. е. должно выполняться условие
Отсюда следует, что амплитуда а, незатухающей сферической волны обратно
пропорциональна расстоянию r от источника волны (см. формулу (5.10)).
Соответственно средняя плотность потока энергии обратно
пропорциональна квадрату расстояния от источника.
В случае плоской затухающей волны амплитуда убывает с расстоянием по
закону a = = a0 e-?x (см. (2.9)). Соответственно средняя плотность потока
энергии (т. е. интенсивность волны) убывает по
Здесь ( = 2? – величина, называемая коэффициентом поглощения волны. Она
имеет размерность, обратную размерности длины. Легко сообразить, что
величина, обратная (, равна расстоянию, на котором интенсивность волны
уменьшается в е раз.
§ 7. Стоячие волны
Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то
колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые
совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности.
Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг
друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.
В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой
из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются
когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление
интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают,
а в других точках ослабляют друг друга.
Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух
встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате
колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны
возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и
бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, образуют
стоячую волну.
Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в
противоположных направлениях:
(1 = a cos ( (t - kx + (1 ), (2 = a cos ( (t + kx + (2 ).
Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по формуле для
суммы косинусов, получим
Уравнение (7.1) есть уравнение стоячей волны. Чтобы упростить его, выберем
начало отсчета х так, чтобы разность ?1 – ?2 стала равной нулю, а начало
отсчета t — так, чтобы оказалась равной нулю сумма ?1 – ?2. Кроме того,
заменим волновое число k его значением 2?/?. Тогда уравнение (7.1) примет
вид
Из (7.2) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания
той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда зависит от х:
В точках, координаты которых удовлетворяют условию 2?x/? = ( n? (n ( N) –
(3.3), амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки
называются пучностями стоячей волны. Из (3.3) получаются значения координат
пучностей:
Следует иметь в виду, что пучность представляет собой не одну
единственную точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты x,
определяемые формулой (7.4).
В точках, координаты которых удовлетворяют условию
амплитуда колебаний обращается в нуль. Эт
| |  скачать работу |
Упругие волны |
