Высшая математика
Задание №15. Вопрос №1.
Найдите пределы, используя правило Лопиталя: [pic].
Решение:
[pic].
|Ответ: |Заданный предел равен [pic]. |
Дополнительно Часть II.
Задание №7. Вопрос №1.
Написать в точке [pic] уравнение касательной плоскости к поверхности,
заданной уравнением: [pic].
Решение:
Уравнение касательной плоскости к графику функции [pic] в точке [pic]
имеет вид: [pic]. Поэтому, продифференцируем заданное уравнение
поверхности: [pic]. Подставив в полученное уравнение координаты точки [pic]
вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их
приращения, получим:
[pic]
[pic].
|Ответ: |Уравнение касательной плоскости к заданной |
| |поверхности в заданной точке [pic] имеет вид [pic]. |
Задание №9. Вопрос №8.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции [pic] в области:
[pic].
Решение:
Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной
области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в
стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе
области.
Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:
[pic], точка [pic] не принадлежит заданной области дифференцирования,
значит стационарных точек внутри области нет, следовательно,
наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области
дифференцирования. Граница области ограничена окружностями [pic] и [pic].
Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области
дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа:
1. [pic], тогда [pic], [pic], следовательно, система уравнений для
определения координат экстремальной точки имеет вид:
[pic]
Эта система имеет четыре решения:
|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |
|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |
|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного минимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |
|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного минимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |
2. [pic], тогда [pic], [pic],
следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной
точки имеет вид:
[pic]
Эта система также имеет четыре решения:
|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |
|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |
|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного минимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |
|[pic], [pic], |В точке [pic] – точка условного минимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |
Следовательно, заданная функция [pic] в заданной области дифференцирования
достигает наибольшего значения в точках [pic] и [pic] и наименьшего в
точках [pic] и [pic] при этом графики функций [pic] и [pic] касаются
окружности [pic] в точках [pic], [pic] и [pic], [pic] соответственно (см.
рис.6).
|Ответ: |Заданная функция [pic] при условии [pic] имеет [pic]|
| |и [pic]. |
Задание №11. Вопрос №6.
Вычислить неопределенный интеграл: [pic].
Решение:
[pic]
|Ответ: |Заданный неопределенный интеграл равен [pic]. |
Задание №15. Вопрос №1.
Решить уравнение: [pic].
Решение:
[pic]. Разделив обе части на [pic], получим [pic]. Проинтегрируем
полученное уравнение:
[pic]
[pic].
| |  скачать работу |
Высшая математика |
