Волны в упругой среде. Волновое уравнение
жительных a, b плоские волны,
распространяющиеся, не деформируясь, со скоростью и в сторону
соответственно возрастающих или убывающих значений х **).
Уравнение (2.6)—дифференциальное уравнение в частных производных,
играющее в физике очень важную роль. Оно называется волновым уравнением. В
математических курсах доказывается, что оно не имеет решений, отличных от
тех, которые могут быть представлены функциями вида (2.3) и (2.7) или
суперпозицией таких функций, например,
f1(at - bх) + f2(at+bx).
Всякий раз, когда из физических соображений можно установить, что та
или иная физическая величина s удовлетворяет уравнению вида
[pic]
(2.6а)
мы сможем на основании сообщенных здесь математических сведений
заключить, что процесс изменений этой величины носит характер плоской,
волны, распространяющейся в ту или другую сторону со скоростью и, или
суперпозиции таких волн.
Вид функций f1, f2 определяется характером движения источника волн, а
также явлениями, происходящими на границе среды.
Пусть источником волн является плоскость х=0, причем на этой плоскости
величина S колеблется но закону s =Acoswt. В этом случае от плоскости х=0
распространяются вправо и влево волны
s= Acos(wt[pic]kx), k =[pic].
Из линейности волнового уравнения следует, что если ему удовлетворяют
функции s1, s2,s3, ... в отдельности, то ему удовлетворяет также функция
S == S1 + S2 + S3 + ...
(принцип, суперпозиции).
Рассмотрим несколько примеров.
а) Волновому уравнению удовлетворяют синусоидальные бегущие волны
s1 = Aсоs(wt — kx), s2= Acos(wt+kx).
На основании принципа суперпозиции волновому уравнению удовлетворяет
стоячая волна
s=2Acoskx coswt
являющаяся суперпозицией только что рассмотренных синусоидальных
бегущих волн.
б) Волновому уравнению на основании принципа суперпозиции
удовлетворяет всякая функция вида
S=[pic]
Это—функция вида f(at—bx); она изображает несинусоидальную волну,
распространяющуюся без деформации в сторону возрастающих х.
[pic]
в) Пусть волны S1, S2, имеющие вид коротких импульсов,
распространяются навстречу одна другой. В некоторый момент моментальный
снимок суперпозиции S1 + S2 этих волн имеет вид, показанный на рис. 4,а.
Через некоторое время моментальный снимок волны будет иметь вид, показанный
на рис. 4, б, – волны пройдут «одна сквозь другую» и притом каждая так, как
будто другой не существует.
§2. Упругие волны в стержне.
1. волновое уравнение.
В предыдущем параграфе мы рассмотрели математическую сторону волнового
уравнения. В этом же параграфе я хотел бы на конкретном примере рассмотреть
как работает тот математический аппарат.
[pic]
Рисунок 4
Применим второй закон Ньютона и закон сложения сил к движению куска
стержня, заключенного между двумя плоскостями x и х+[pic]х. Масса этого
куска равна р0S0[pic]х, где р0 и S0 – соответственно плотность и сечение
в отсутствие деформации. Пусть [pic] – смещение центра тяжести
рассматриваемого куска. Тогда
[pic]
слева стоит произведение массы куска на ускорение д2[pic]/дt2 его
центра тяжести, справа – результирующая внешних сил, действующая на кусок.
Разделим уравнение на S0[pic]:
[pic] (2.7)
Перейдя к пределу при [pic], получим уравнение
[pic]
(2.8)
справедливое в каждой точке стержня. Оно указывает, что ускорение
данной точки пропорционально частной производной напряжения по ж в этой
точке.
Подставляя в (2.8) соотношение (2.7), получим:
[pic]
(2.9)
Вспомнив теперь формулу , содержащую определение деформации, и
подставив ее в (2.9), получаем:
[pic]
(2.10)
Это—волновое уравнение. Оно указывает, что смещение распространяется
но стержню в виде волн
[pic]
(2.11)
или образует суперпозицию таких волн. Скорость распространения этих
волн (скорость звука в стержне)
[pic]
(2.12)
(мы опускаем для краткости индекс 0 у р). Эта скорость тем больше, чем
жестче и чем легче материал. Формула (2.12)—одна из основных формул
акустики.
Наряду со смещением [pic] нас интересуют скорость v =[pic] , с
которой
.движутся отдельные плоскости х = const (не смешивать с u), деформация
[pic] и напряжение [pic]. Дифференцируя (2.11) по t и но x, получаем:
v=[pic]uf’(x [pic]ut)
(2.13a)
[pic]=f'(x [pic] ut),
(2.13б)
[pic]=Ef’ (x [pic] ut).
(2.13в)
Таким образом, смещение, скорость, деформация и напряжение
распространяются в виде связанных определенным образом между собой
недеформирующихся волн, имеющих одну и ту же скорость и одинаковое
направление распространения.
На рис. 5 показан пример «моментальных снимков», относящихся к одному
и тому же моменту времени, смещения, деформации и скорости в одной и той же
упругой волне. Там, где смещение имеет максимум или минимум, деформация и
скорость равны нулю, так как они обе пропорциональны производной f'{x [pic]
ut). Физическая интерпретация здесь очевидна: около максимума или минимума
смещения соседние (бесконечно близкие) точки одинаково смещены и,
следовательно, нет ни растяжения, ни сжатия; в тот момент, когда смещение
достигает максимума (минимума), его возрастание сменяется убыванием (или
наоборот).
Сравнивая формулы (2.13а), (2.13в) и принимая во внимание (2.12) мы
видим, что
[pic]
(2.14)
где
[pic]
(2.15)
есть величина, не зависящая от вида функции f и целиком определяемая
свойствами материала. Эта величина называется удельным акустическим
сопротивлением материала. Она является, как мы видим, наряду с u его
важнейшей акустической характеристикой. Название величины [pic] связано с
формальной аналогией между уравнениями (2.14) и законом Ома (р аналогично
разности потенциалов, v - силе тока).
§ 2. Упругие волны в газах и жидкостях
Волновое уравнение.
Мы рассматриваем здесь газ или жидкость (так же как твердое тело в
предыдущих параграфах) как сплошную непрерывную среду, отвлекаясь от его
атомистической структуры. Под смещением [pic] мы здесь понимаем (как и в §
1) общее смещение вещества, заполняющего объем, заключающий в себе очень
много атомов, но малый по сравнению с длиной волны.
Будем считать, что рассматриваемый газ или жидкость находятся в очень
длинной цилиндрической трубе, образующие которой параллельны оси х, и что
смещение зависит только от одной координаты х. Мы можем применить к столбу
газа или жидкости, заполняющему трубу, те же рассуждения, что и к стержню
(§ 1). Мы придем, таким образом, к уравнению
[pic]
(2.16)
где р = —[pic] есть давление в газе или жидкости. Здесь [pic]— значение
плотности в состоянии равновесия. Пусть ей соответствует давление р0.
Величины р0, [pic] не зависят ни от х, ни от t.
Уравнение (2.16) применимо и в случае плоских волн в неограниченной
жидкой или газообразной среде (можно мысленно выделить цилиндрический
столб, параллельный направлению распространения и применить к нему те же
рассуждения, что к столбу, заключенному в трубе).
Как известно из термодинамики, р есть функция плотности данной массы
газа (или жидкости) и ее температуры. Температура в свою очередь изменяется
при сжатии и разрежении. Теплопроводность газов и жидкостей очень мала,
поэтому можно считать в первом приближении, что при распространении звука
процесс сжатия и разрежения каждой части газа или жидкости происходит
адиабатически, т. е. без заметного теплообмена с соседними частями. В
термодинамике показывается, что в этом случае (если можно пренебречь
внутренним трением и некоторыми другими явлениями температура является
однозначной функцией плотности , и следовательно, давление также.
При заданной деформации [pic] в твердом теле также зависит от
температуры. Но в акустике твердых тел это обстоятельство не играет,
существенной роли.
В газах и в жидкостях за некоторыми исключениями (например вода, при
температуре ниже 4° С) температура растет при сжатии и уменьшается при
расширении.
Есть однозначная функция плотности:
p=f(p).
| |  скачать работу |
Волны в упругой среде. Волновое уравнение |
