Волны в упругой среде. Волновое уравнение
(2.17)
Введем обозначения
[pic],
(2.18) где [pic]и [pic] — соответственно изменения
давления и плотности при нарушении равновесия.
Подставляя первую формулу (2.18) в (2.16) и принимая во внимание, что
при равновесии давление не зависит от х, т. е.
[pic]
получаем:
[pic]
(2.19)
Найдем теперь связь между [pic] и деформацией [pic] = [pic]. Мы
сначала выразим[pic] через [pic], а затем [pic] через [pic]:
а) Подставляя (6.28) в (6.27), имеем:
P0+[pic]=f([pic]+[pic])
разлагая f([pic]+[pic]) в ряд по степеням [pic],
P0+[pic]=f([pic])+f’([pic])[pic]+1/2f’([pic])([pic])2......
Так как P0=f([pic]), то получаем:
[pic]=f’([pic])[pic]+1/2f’’([pic])([pic])2.....
(2.20)
Здесь мы сделаем существенное предположение: будем считать уплотнения
и разрежения настолько малыми, что допустимо пренебречь в разложении (2.20)
членами, пропорциональными ([pic])2, ([pic])3, . . ., и заменить (2.20)
линейным соотношением
[pic]=f’([pic])[pic]
Тем самым мы ограничиваем себя исследованием волн малой интенсивности.
f’([pic]) —постоянный при данных условиях опыта коэффициент,
определяемый состоянием среды при равновесии.
б) Объем V0 в результате деформации превращается в объем
V=V0 (1+[pic]),
(2.21)
так как здесь поперечный размер (в отличие от твердого стержня)
остается, постоянным, а длина превращается в . Но
произведение плотности на объем, равное массе рассматриваемой порции
вещества, не меняется:
Подставляя (2.18) и (2.21), получаем:
Пренебрегая и здесь высшими степенями малой величины ,
получаем:
Таким образом,
(2.22)
Подставляя, наконец, (2.22) в (2.19), мы получаем волновое уравнение
(2.23)
(2.24)
Отсюда заключаем, что рассматриваемые малые деформации
распространяются в виде плоских не деформирующихся волн; скорость
распространения (скорость звука) тем больше, чем сильное в данной среде
возрастает давление при адиабатическом возрастании плотности; она раина
квадратному корню из производной давления по плотности, взятой при значении
последней в отсутствие волны ( ).
2. Случай идеального газа. Идеальным газом называется газ, для
которого справедливо уравнение состояния
pV=RT,
(2.25)
где p – давление, V—объем одного моля, R—универсальная газовая
постоянная, равная 8,3143 эрг/град, T—температура, измеренная по
термодинамической шкале («абсолютная температура»), или
где М— масса 1 моля, = M/V— плотность.
Воздух, кислород, азот, водород и многие другие газы при комнатной
температуре и давлении порядка атмосферного можно рассматривать с
достаточным для акустики приближением как идеальные газы.
Как учит термодинамика, в случае идеального газа соотношение (2.17)
имеет вид
(2.26)
где
постоянная величина (С и С — теплоемкости газа соответственно при
постоянном давлении и постоянном объеме). Следовательно, здесь
(2.27)
(формула Лапласа).
Еще задолго до Лапласа вопросом о скорости звука в воздухе занимался
Ньютон. Он считал, что
(2.26а)
т. е. не учитывал изменения температуры воздуха при распространении в
нем звуковой волны, вследствие чего получил для скорости звука соотношение
(2.27а)
Это соотношение можно получить из уравнения (2.24), подставляя в него
(2.26а) вместо (2.26).
Для воздуха ( =1,4) при комнатной температуре (20° С, Т =293°)
формула Ньютона дает u =290 м/сек, формула Лапласа и =340 м/сек. Сравнивая
эти значения с теми, которые дает опыт (гл. V, § 3), мы видим, что формула
Лапласа, в отличие от формулы Ньютона, хорошо согласуется с опытом. Формула
Лапласа хорошо подтверждается на опыте и для других газов (но крайней мере
при не очень высоких частотах.
Этим оправдывается предположение о том, что сжатие и разрежение газа в
звуковой волне являются практически адиабатическими процессами.
Список использованной литературы.
Горелик, Колебания и волны,
И.В. Савельев, курс общей физики, т.2, М, 1988г.
Б.М. Яворский, А.А. Пинский, Основы физики, т.2, М., 1972г.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ.
Задача №1.
Амплитуда вынужденных колебаний реактора при очень малой частоте 2 мм, а
при резонансе 16 мм. Предполагая, что декремент затухания меньше единицы,
определить его.
Задача №2.
Две волны Х1=Аsin(wt-kl) и Х2=Аsin(wt+kl) с одинаковыми частотами 4Гц
распространяются со v=960 см/сек. Они интерферируют между собой и образуют
стоячую волну. Определить амплитуды точек стоячей волны через каждые 20 см,
начиная отсчет от узла. Определить величину смещения и скорость этих точек
для момента времени 7/24 сек.
Задача №3.
Между приемником и стенкой расположен источник звуковых колебаний с
частотой – 100 Гц. Линия, проведенная через приемник и источник, нормальна
к стенке, которая движется к источнику вдоль этой линии со v=7 м/с.
Скорость звука 340 м/с. Возможно ли возникновение акустического биения.
| |  скачать работу |
Волны в упругой среде. Волновое уравнение |
