Задача Лагранжа
чивающая функции
поменялись ролями:
h(X) – r ( min
при условии (43)
f(X) = с.
Для новой задачи лагранжиан равен
L1(Х; () = h(Х) - r - ([f(X) - с],
а условие оптимальности –
[pic]
Задачи (41) и (43) называют взаимными по отношению друг к другу. Если,
например, исходная задача состояла в максимизации полезности некоторого
набора продуктов при заданном ресурсном ограничении, то взаимная задача
состоит в минимизации расхода ресурса при обеспечении заданного уровня
полезности.
Сравнение равенств (42) и (43) показывает, что условия оптимальности у
обеих задач одни и те же: достаточно положить ( = 1/(, чтобы в этом
убедиться. Если ( - предельная полезность ресурса, то ( можно было бы
назвать “предельной ресурсоемкостью полезности”.
10. Модель потребительского выбора
Перейдем к рассмотрению рационального потребительского выбора в
пространстве благ с теми же отношениями предпочтения. Введем в рассмотрение
функцию полезности u(Х), согласованную с предпочтениями данного
потребителя: u(Х) > u(у) тогда и только тогда, когда Х ( У. Функцию u(Х)
будем считать непрерывно дифференцируемой.
При этих допущениях моделью потребительского оптимума служит задача
Лагранжа
u(Х) ( max
при условии
( рiхi = m,
где рi - цена i - го блага, а m - денежный доход потребителя. Условия
оптимальности имеют вид
[pic]
Введем для удобства обозначение [pic] и представим условия оптимальности в
форме
[pic]
Формально эта система похожа на систему (39), описывающую оптимальность в
задаче о рационе Робинзона. Но здесь имеются и существенные отличия. Во-
первых, теперь мы отказались от предположения о суммируемости полезностей
различных благ, и ui, - не производные полезностей отдельных благ, а лишь
частные производные общей функции полезности. Во-вторых, u(Х) - это не
полезность в некоторой абсолютной количественной шкале, а лишь функция,
согласованная с предпочтениями и отражающая только порядковые отношения.
Тем не менее, перечень аналогичных свойств можно продолжить. Для любой пары
благ (i, j) в точке оптимума должны выполняться соотношения
[pic]
Отметим, что выражение в левой части — это норма замещения i-го блага j-м
при постоянстве объемов всех остальных благ: в пределах поверхности
безразличия должно выполняться равенство
[pic]
то есть
[pic]
Как мы уже выяснили, значение множителя Лагранжа должно выражать
предельную полезность лимитирующего ресурса, в данном случае - денежного
дохода (или, проще, - предельную полезность денег). Но поскольку значения
функции u(Х) не являются абсолютными значениями полезности, постольку и
полная полезность денег
[pic]
имеет смысл лишь по отношению к выбранной шкале полезностей. То же
относится и к предельной полезности денег.
Что произойдет, если функцию полезности u(Х) заменить равносильной ей
функцией u*(Х)? Отношение предпочтения сохранится, если u*(Х) = ((u(Х)),
где ((u) - монотонно возрастающая функция. Правило дифференцирования
сложной функции позволяет утверждать, что
[pic]
где ('(u) - значение производной d( (u)/du. Заметим, что множитель ((u)
является одним и тем же для всех благ. Поэтому условия оптимальности
ui(Х) = (pi
и
ui(Х) = ( рi
определяют одно и то же положение потребительского оптимума в пространстве
благ. Различаются лишь значения множителей Лагранжа:
( = ('(u) ( (47)
К этому результату можно подойти с другой стороны. Задавшись некоторым
значением m дохода, при использовании функций u(Х) и u*(Х) мы получим один
и тот же оптимальный набор благ Х0 . Общая полезность денег в одной шкале
примет значение U(m) = u(Х0), в другой [pic]. Таким образом, при любом
уровне дохода
U'(m) = ((U(m)), (48)
то есть общие полезности дохода в разных шкалах связаны между собой точно
так же, как и полезности наборов благ. А так как множитель Лагранжа в
рассматриваемой задаче - это предельная полезность денежного дохода, то,
применяя к равенству (48) правило дифференцирования сложной функции, мы
снова придем к равенству (47).
Заметим, что оптимум потребителя не всегда может быть определен в рамках
задачи Лагранжа. Множество допустимых решений ограничено не только бюджетом
потребителя, но и условиями неотрицательности объемов благ:
[pic]
Если на бюджетной поверхности норма замещения каких-либо двух благ всюду
больше или всюду меньше отношения цен, то равенство (46) не может
выполняться ни в одной точке. Задача не имеет внутреннего решения, а имеет
угловое решение. В рамках задачи Лагранжа не могут быть описаны решения,
которые лежат на границах области, определяемой неравенствами.
| |  скачать работу |
Задача Лагранжа |
