Задача Лагранжа
будем в
дальнейшем обозначать оптимальный размер одной поставки i-го товара.
Тогда в соответствии с (2) полные издержки по завозу и хранению i-го
товара будут равны:
а суммарные издержки по всем видам товара принимают вид:
Далее Vi * qi – объем складских помещений, которые занимают i-ый вид
товара, (Vi qi - объем складских помещений, занимаемых всеми видами товара
и должно выполняться очевидные соотношения,
[pic]
qi ( Ri, qi ( 0 (30).
Итак, приходим к следующей задаче Лагранжа:
Найти минимум нелинейной функции (12) при линейных ограничениях (29) и
(30). Функция Лагранжа рассматриваемой задачи (28) – (30) имеет вид:
Функция Лагранжа (31) совпадает с целевой функцией (28) в случаи если в
(31)
или
Следуя алгоритму решения задачи Лагранжа, найдем частные производные
функции (31) по всем qi и прировняем их к нулю:
Каждое из уравнений системы (34) определяет соответствующее значение
где в правой части все значения параметров известны за исключением
множителя (. Для определения значения подставим выражения qi в условие
(32). Получаем:
В соотношении (36) все величины, кроме (, заранее известны, т.е. оно
является иррациональным уравнением с одним неизвестным. Его всегда можно
разрешить относительно множителя (. Найдя значения ( = (0, можно определить
оптимальные величины поставок каждого из товаров по формулам:
Теперь можно рассматривать конкретный пример.
Пусть торговое предприятие намерено завести и реализовать товар трех
видов (n = 3) объемами соответственно 24 тыс. ед, 20 тыс. ед. и 16 тыс. ед.
Весь объем складских помещений составляет 18 000 куб. м. Стоимость хранения
одной единицы первого вида товара 6 руб., второго – 8 руб., третьего – 10
руб. Расходы по завозу одной партии первого вида товара 1200 руб., второго
– 1600 руб., третьего – 2000 руб. При этом одна единица первого вида товара
занимает 3 куб. м., второго – 4 куб. м., третьего – 5 куб. м. Найти
оптимальные размеры поставок каждого из видов товара. По условию имеем:
R1 = 24000, R2 = 20000, R3 = 16000;
C11 = 6, C12 = 8, C13 = 10;
Cs1 = 1200, Cs2 = 1600, Cs3 = 2000;
V1 = 3, V2 = 4, V3 = 5;
V = 18000;
Составляем уравнение вида (36) для определения значения множителя (;
или
откуда (о = - 2,41.
Найдем величины оптимальных поставок каждого из товаров по формулам (37):
Проверим выполнимость условия (29) при найденных объемах оптимальных
поставок. Должно выполняться:
V1 * q1о + V2 * q2о + V3 * q3о ( V = 18000.
Имеем:
3 * 1677 + 4 * 1531 + 5 * 1369 = 5031 + 6124 + 6845 = 18000.
Выполнимость неравенства (29) служит подтверждением того, что объемы
оптимальных поставок определены верно. Более того. Неравенство (29) в нашем
примере выполнилось как равенство, что говорит о том, что при первом завозе
товара все складские помещения будут заполнены максимально полно. С
течением времени, при последующих завозах товара, картина будет конечно же
не столь идеальной и какая та часть складских помещений будет не заполнена.
Здесь можем заметить одну небольшую “уловку” в этом примере исходные
данные в примере подобраны так, что иррациональное уравнение (*) вида (36)
имеет во всех трех слагаемых один и тот же знаменатель, что конечно же
упрощает решение уравнения. Эта “уловка” использована для облегчения
рассмотрения примера, поскольку нашей главной целью в настоящий момент не
является возможность разрешения иррационального уравнения. И тем не менее,
возникает вопрос: а что же делать, когда при использовании этой модели на
практике исходные данные будут таковы, что нашей “уловкой” воспользоваться
будет невозможно. Ответ на этот вопрос достаточно прост: в современной
математике разработаны десятки методов приближенных решений уравнений и
потому значения множителя ( можно определить из уравнения (36) приближенно
с любой степенью точности. К тому же несмотря на нашу “уловку” облегчающую
нахождения значения (, тем не менее мы определили его приближение. С учетом
выше сказанного, можем прийти к выводу, что использованная “уловка” не
сужается общностью рассмотрения модели.
8. Рацион Робинзона
Обратимся теперь к задаче о потреблении примерно в таком виде, в каком ее
ставил Госсен.
Человек может потреблять блага n видов в количествах хi, i = 1, …, n.
Общая полезность потребления i-того блага описывается функцией TUi(xi).
Предельная полезность MUi(хi) = dTUi(хi)/dxi убывает с ростом хi - в этом
состоит закон Госсена. Полезность потребления всех: благ суммируется по
отдельным благам, так что
[pic]
Будем считать, опять-таки следуя Госсену, что потребительские возможности
человека ограничены лишь временем, которое он может затачивать на добывание
и потребление благ, как это имело место у Робинзона Крузо. Если на единицу
i-того блага ему приходится тратить ti единиц времени, то ресурсное
ограничение выражается равенством
[pic]
где Т — фонд времени, выделяемый на потребление благ.
Задача рационального потребления теперь сводится к определению такого
“рациона” - набора благ Х = (х1,…,хn), - который доставляет максимум TU(X)
при ограничении (38).
Лагранжиан этой задачи:
[pic].
Условия оптимума выражается системой
[pic]
или
[pic]
Итак, предельные полезности различных благ в точке оптимума
пропорциональны удельным затратам времени. Это значит, что для любой пары
благ (i, j) отношение их предельных полезностей равно отношению удельных
затрат времени:
[pic]
А отсюда следует, что дополнительная малая порция времени (скажем,
минута), затрачиваемая на любое из благ, дает один и тот же прирост
полезности.
Величина этого прироста, определяется коэффициентом (: если Робинзон
сможет выделить на потребление благ дополнительно (Т единиц времени, то
общая полезность возрастет при этом на величину
(TU ( ((T. (40)
Заметим, что убывание предельной полезности гарантирует единственность
оптимума. Если взять другие значения хi, (обозначим их хi'), также
удовлетворяющие условиям, пропорциональности предельных полезностей
удельным затратам времени:
MUi(xi') = (i' ti
то либо (’ ( (, тогда xi' ( xi. для всех продуктов (предельная полезность
убывает с ростом xi); либо (’ < ( - для всех i. В первом случаи потребное
количество времени меньше Т, во втором – больше, но ни в одном из них не
ограничений будет выполнено.
Попутно отметим следующее обстоятельство. Система уравнений (40)
определяет наилучший набор благ при любом фиксированном количестве Т
выделенного времени; с величиной Т связано лишь численное значение (.
Считая величину Т переменной, введем как в предыдущем пункте, функцию.
[pic]
которую можно трактовать как общую полезность времени. Это – “вторичная”
полезность: её величина определяется максимальной полезностью набора благ,
достижимой при данном количестве выделенного времени. Точный смысл
приближенного равенства (31) состоит в том что
[pic]
то есть ( - предельная полезность времени для Робинзона.
Как мы только что видели, сравнивая ( и (' для различных наборов благ,
чем больше Т, тем меньше (. Поскольку природа выделяемого ресурса
несущественна, мы можем сделать следующий общий вывод:
если предельная полезность каждого блага снижается с ростом объема его
потребления, а затраты ресурса пропорциональны объему, то предельная
полезность ресурса падает с увеличением количества используемого ресурса.
Проиллюстрируем эти результаты числовым примером. Допустим, что Робинзон
потребляет 3 вида благ, причем все частные функции полезности имеют один и
тот же вид
[pic]
с различными коэффициентами ai. Он может выделить на потребление 15 часов в
сутки; остальные данные приведены в таблице:
|t |ai |ti |
|1 |50 |1 |
|2 |100 |2 |
|3 |50 |2 |
Воспользуемся системой (30):
[pic]
Отсюда
[pic]
Подставим числовые значения известных параметров:
[pic]
Используем теперь ресурсное ограничение:
[pic]
откуда ( = 200 / (15 + 5) = 10. Теперь найдем количество каждого блага:
[pic]
Остальные результаты расчета приведены в таблице:
|i |xi |tixi |TUi |
|1 |4 |4 |80,5 |
|2 |4 |8 |160,9 |
|3 |1,5 |3 |45,8 |
|( | |15 |287,2 |
9. Взаимные экстремальные задачи
Задачу Лагранжа с одним ограничением можно было бы записать в следующей
форме:
f(X) – c ( max
при условии (41)
h(X) = r.
Вычитание константы с из целевой функции не изменяет положения оптимума.
Лагранжиан этой задачи:
L(X; () = f(X) - с - ([h(X) - r],
а условия оптимума имеют вид
[pic]
Рассмотрим теперь задачу, в которой целевая и ограни
| |  скачать работу |
Задача Лагранжа |
