Золотое Сечение
трический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна
раньше, чем «золотая» пропорция.
5. "Золотые" фигуры.
5.1.Золотой прямоугольник:
Если построить квадрат со стороной АВ=а, найти середину М отрезка АВ и
провести дугу окружности радиусом МС с центром в точке М до пересечения с
продолжением стороны АВ в точке Е, то точка В разделит отрезок АЕ в крайнем
и среднем отношении.
Чтобы убедиться в этом, заметим, что по теореме Пифагора
МС2=а2+(а/2)2=5а2/4
В силу чего
АЕ=а/2 +МЕ=(?5+1)а/2=?АВ
Прямоугольник АЕFD со сторонами АЕ=?АD называется золотым прямоугольником.
Четырехугольник АВСD - квадрат. Нетрудно видеть, что прямоугольник ВЕFС
также золотой, поскольку BC=a=?ВЕ. Это обстоятельство сразу наводит на
мысль о дальнейшем разбиении прямоугольника ВЕFС.
Можно ли считать, что прямоугольник с отношением сторон, равным ?, выглядит
изящнее, чем прямоугольники с отношением сторон, скажем, 2:1, 3:2 или 5:7?
Чтобы ответить на этот вопрос, были проведены специальные эксперименты.
Результаты их не вполне убедительны, но все же свидетельствуют о некотором
предпочтении, отдаваемом золотому сечению. Впрочем, может ли прямоугольник
сам по себе быть захватывающе прекрасным или отталкивающе безобразным?
5.2.Золотой треугольник:
Проводим прямую АВ. От точки А
откладываем на ней три раза отрезок О
произвольной величины, через
полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии
АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О.
Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1
откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в
пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения
«золотого»
прямоугольника.
5.3. Золотой пятиугольник; построение Евклида.
Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный
пятиугольник – выпуклый и звездчатый (рис. 5).
Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник.
Пусть О - центр окружности, А - точка на окружности и Е - середина отрезка
ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восстановленный в точке О, пересекается с
окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE =
ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна
DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для
начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через
один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят
друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.
Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник.
Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на
боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.
Есть и золотой кубоид- это прямоугольный параллелепипед с ребрами,
имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.
Теперь рассмотрим доказательство, предложенное Евклидом в «Началах».
Посмотрим теперь, как Евклид использует золотое сечение для того, чтобы
построить угол в 72 градуса – именно под таким углом видна сторона
правильного пятиугольника
из центра описанной окружности. Начнем с отрезка АВЕ, разделенного в
среднем и крайнем отношении точкой В. Проведем далее дуги окружностей с
центрами в точках В и Е и радиусах АВ, пересекающиеся в точке С. Чуть ниже
докажем, что АС=АЕ, а пока примем это на веру.
Итак, пусть АС=АЕ. Обозначим через ( равные углы ЕВС и СЕВ. Так как АС=АЕ,
то угол АСЕ также равен (. Теорема о том, что сумма углов треугольника
равна 180 градусов, позволяет найти угол ВСЕ: он равен 180-2(, а угол ЕАС
- 3( - 180. Но тогда угол АВС равен 180-(. Суммируя углы треугольника АВС
получаем,
180=(3( -180) + (3(-180) + (180 - ()
Откуда 5(=360, значит (=72.
Итак, каждый из углов при основании треугольника ВЕС вдвое больше угла при
вершине, равного 36 градусов. Следовательно, чтобы построить правильный
пятиугольник, необходимо лишь провести любую окружность с центром в точке
Е, пересекающую ЕС в точке Х и сторону ЕВ в точке Y: отрезок XY служит
одной из сторон вписанного в окружность правильного пятиугольника; Обойдя
вокруг всей окружности, можно найти и все остальные стороны.
Докажем теперь, что АС=АЕ. Предположим, что вершина С соединена отрезком
прямой с серединой N отрезка ВЕ. Заметим, что поскольку СВ=СЕ, то угол СNЕ
прямой. По теореме Пифагора:
CN2 = а2 – (а/2() 2= а2 (1-4( 2)
Отсюда имеем (АС/а) 2 = (1+1/2() 2 + (1-1/4( 2) = 2+1/( = 1 + ( =( 2
Итак, АС = (а = (АВ = АЕ, что и требовалось доказать
5.4.Спираль Архимеда.
Последовательно отсекая от золотых прямоугольников квадраты до
бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертью
окружности, мы получим довольно изящную кривую. Первым внимание на неё
обратил древнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит. Он изучал
её и вывел уравнение этой спирали.
[pic]
В настоящее время спираль Архимеда широко используется в технике.
7.Золотое сечение в искусстве.
7.1. Золотое сечение в живописи.
Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить
своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из
загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи
математиком, не дерзнет читать мои труды».
Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это
признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся
покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих
идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых
говорится «обо всем на свете».
Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание
исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на
золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого
пятиугольника..
Также пропорция золотого сечения проявляется в картине Шишкина. На этой
знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы
золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане)
делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный
солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по
горизонтали.
В картине Рафаэля "Избиение младенцев" просматривается другой элемент
золотой пропорции - золотая спираль. На подготовительном эскизе Рафаэля
проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки,
где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка - вдоль фигур ребенка,
женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль
фигур такой же группы в правой части эскиза. Неизвестно, строил ли Рафаэль
золотую спираль или чувствовал её.
Т.Кук использовал при анализе картины Сандро Боттичелли «рождение Венеры»
золотое сеченеие .
8. Заключение.
Необходимо сказать, что золотое сечение имеет большое применение в нашей
жизни.
Было доказано, что человеческое тело делится в пропорции золотого сечения
линией пояса.
Раковина наутилуса закручена подобно золотой спирали.
Благодаря золотому сечению был открыт пояс астероидов между Марсом и
Юпитером – по пропорции там должна находиться ещё одна планета.
Возбуждение струны в точке , делящей её в отношении золотого деления, не
вызовет колебаний струны, то есть это точка компенсации.
На летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии создаются
прямоугольные ячейки с пропорцией золотого сечения.
Джоконда построена на золотых треугольниках, золотая спираль
присутствует на картине Рафаэля «Избиение младенцев».
Пропорция обнаружена в картине Сандро Боттичелли «Рождение Венеры»
Известно много памятников архитектуры, построенных с использованием
золотой пропорции, в том числе Пантеон и Парфенон в Афинах, здания
архитекторов Баженова и Малевича.
Иоанну Кеплеру, жившему пять веков назад, принадлежит высказывание:
"Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое - это теорема
Пифагора, второе - деления отрезка в крайнем и среднем отношении"
Литература:
1. Д. Пидоу. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1979.
2. Журнал "Наука и техника"
3. Журнал «Квант», 1973, № 8.
4. Журнал «Математика в школе», 1994, № 2; № 3.
5. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выща школа, 1989.
6. Стахов А. Коды золотой пропорции.
7. «Математика. Я познаю мир». – М.: Аванта + 1998
1. "Математика - Энциклопедия для детей" М.: Аванта +, 1998
2. Мурутаев . «Вопросы философии» 1994г. №6 стр. 71 (О гармонии мира).
3. Информация из интернета:
www.yandex.ru & www.km.ru
| |  скачать работу |
Золотое Сечение |
