Аксиоматика теории множеств
c]X [pic]Z [pic]u [pic]v ([pic] [pic] Z [pic] u
[pic] X).
А к с и о м а В6. [pic]X [pic]Z [pic]u [pic]v [pic]w ([pic] [pic] Z
[pic] [pic] [pic] X).
А к с и о м а В7. [pic]X [pic]Z [pic]u [pic]v [pic]w ([pic] [pic] Z
[pic] [pic] [pic] X).
С помощью аксиом В2—В4 можно доказать
[pic] [pic]X [pic]Y [pic]1Z [pic]u (u [pic] Z [pic] u [pic] X & u
[pic] Y),
[pic] [pic]X [pic]1Z[pic]u (u [pic] Z [pic] u [pic] x),
[pic] [pic]X [pic]1Z[pic]u (u [pic] Z [pic][pic]v ([pic] [pic] X)).
Эти результаты оправдывают введение новых функциональных букв ?, -,
D.
Определения
[pic]u (u [pic] X ? Y [pic] u [pic] X & u [pic] Y) (пересечение
классов Х и Y).
[pic]u (u [pic][pic][pic] u [pic] X)
(дополнение к классу X).
[pic]u (u [pic] D (X) [pic][pic]v ([pic] [pic] X)) (область
определения класса X).
[pic] (объединение классов Х и Y).
V = [pic]
(универсальный класс).
X - Y = X ? [pic]
Общая теорема о существовании классов.
Предложение 4. Пусть ? (X1,…,Xn, Y1,…, Ym) – формула, переменные
которой берутся лишь из числа X1,…,Xn, Y1,…, Ym . Назовём такую формулу
предикативной, если в ней связными являются только переменные для множеств
(т.е. если она может быть приведена к такому виду с помощью принятых
сокращений). Для всякой предикативной формулы ? (X1,…,Xn, Y1,…, Ym)
[pic] [pic]Z[pic]x1 …[pic]xn ([pic][pic] Z [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Доказательство. Мы можем ограничиться рассмотрением только таких
формул ?, которые не содержат подформул вида Yi [pic] W, так как всякая
такая подформула может быть заменена на [pic]x (x = Yi & x [pic] W), что в
свою очередь эквивалентно формуле [pic]x ([pic]z (z [pic] x [pic] z [pic]
Yi) & x [pic] W). Можно также предполагать, что в ? не содержатся
подформулы вида X[pic]X, которые могут быть заменены на [pic]u (u = X & u
[pic] X), последнее же эквивалентно [pic]u ([pic]z (z [pic] u [pic] z
[pic] X) & u [pic] X). Доказательство проведем теперь индукцией по числу k
логических связок и кванторов, входящих в формулу ? (записанную с
ограниченными переменными для множеств).
1. Пусть k = 0. Формула ? имеет вид xi [pic] xj, или xj [pic] xi, или
xi [pic] Yi, где 1 ? i < j ? n. В первом случае, по аксиоме В1, существует
некоторый класс W1 такой, что
[pic]xi[pic]xj ([pic][pic]W1 [pic] xi [pic] xj).
Во втором случае, по той же аксиоме, существует класс W2 такой, что
[pic]xi[pic]xj ([pic][pic]W2 [pic] xj [pic] xi),
и тогда, в силу
[pic] [pic]X[pic]Z [pic]u [pic]v ([pic][pic] Z [pic] [pic] [pic] X),
существует класс W3 такой, что
[pic]xi[pic]xj ([pic][pic]W3 [pic] xj [pic] xi).
Итак, в любом из первых двух случаев существует класс W3 такой, что
[pic]xi[pic]xj ([pic][pic]W [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Тогда, заменив в
[pic] [pic]X[pic]Z [pic]v1…[pic]vk[pic]u[pic]w ([pic] [pic] Z [pic] [pic]
[pic] X)
X на W, получим, что существует некоторый класс Z1 такой, что
[pic]x1… [pic]xi-1[pic]xi[pic]xj ([pic][pic]Z1 [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…,
Ym)).
Далее, на основании
[pic] [pic]X[pic]Z [pic]v1…[pic]vm[pic]x1…[pic]xn ([pic] [pic]
[pic] Z[pic][pic][pic]X)
там же при Z1 = X, заключаем, что существует класс Z2 такой, что
[pic]x1 … [pic]xi [pic]xi+1 … [pic]xj ([pic] [pic] Z2 [pic] ? (x1,…,xn,
Y1,…, Ym)).
Наконец, применяя
[pic] [pic]X[pic]Z [pic]v1…[pic]vm[pic]x1…[pic]xn ([pic][pic] Z
[pic][pic][pic]X)
(1)
там же при Z2 = Х, получаем, что существует класс Z такой, что
[pic]x1…[pic]xn ([pic] [pic] Z [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Для остающегося случая xi [pic] Yi теорема следует из (1) и
[pic] [pic]X[pic]Z [pic]x[pic] v1…[pic]vm ([pic] [pic] Z [pic] x [pic] X).
2. Предположим, что теорема доказана для любого k < s и что ?
содержит s логических связок и кванторов.
(a) ? есть [pic] ?. По индуктивному предположению, существует класс W
такой, что
[pic]x1…[pic]xn ([pic] [pic] W [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Теперь остается положить Z = [pic].
(b) ? есть ? [pic]?. По индуктивному предположению, существуют классы
Z1 и Z2 такие, что
[pic]x1…[pic]xn ([pic] [pic] Z1 [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) и
[pic]x1…[pic]xn ([pic] [pic] Z2 [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Искомым классом Z в этом случае будет класс [pic].
(c) ? есть [pic]x ?. По индуктивному предположению, существует класс
W такой, что
[pic]x1…[pic]xn[pic]x ([pic] [pic] W [pic] ? (x1,…, xn, x, Y1,…,
Ym)).
Применим сперва
[pic] [pic]X[pic]Z [pic]x1 … [pic]xn ([pic] [pic] Z [pic][pic]y
([pic][pic] X)).
при X = [pic] и получим класс Z1 такой, что
[pic]x1 … [pic]xn ([pic] [pic] Z1[pic][pic]x[pic] ? (x1,…, xn, x,
Y1,…, Ym)).
Теперь положим окончательно Z = [pic], замечая, что [pic]x ? эквивалентно
[pic][pic]x[pic] ?.
Примеры. 1. Пусть ? (X, Y1, Y2) есть формула [pic]u[pic]v (X = [pic]
& u [pic] [pic] Y1 & v [pic] Y2). Здесь кванторы связывают только
переменные для множеств. Поэтому, в силу теоремы о существовании классов,
[pic] [pic]Z [pic]x (x [pic] Z [pic] [pic]u[pic]v (x = [pic] & u [pic] Y1 &
v [pic] Y2)), а на основании аксиомы объемности, [pic] [pic]1Z [pic]x (x
[pic] Z [pic] [pic]u[pic]v (x = [pic] & u [pic] Y1 & v [pic] Y2)). Поэтому
возможно следующее определение, вводящее новую функциональную букву [pic]:
Определение. [pic]x (x [pic] Y1 [pic] Y2 [pic] [pic]u[pic]v (x =
[pic] & u [pic] Y1 & v [pic] [pic]Y2)). (Декартово произведение классов Y1
и Y2).
Определения.
X2 обозначает X [pic] X (в частности, V2 обозначает класс всех
упорядоченных пар).
…………………………………………………………………………………………………
Xn обозначает Xn-1 [pic] X (в частности, Vn обозначает класс всех
упорядоченных n-ок).
Rel(X) служит сокращением для Х [pic]V2 (X есть отношение).
2. Пусть ? (X, Y) обозначает Х [pic]Y. По теореме о существовании
классов и на основании аксиомы объемности, [pic] [pic]1Z[pic]x (x [pic] Z
[pic] x [pic]Y). Таким образом, существует класс Z, элементами которого
являются все подмножества класса Y.
Определение. [pic]x (x [pic]P (Y) [pic] x [pic]Y). (P (Y): класс
всех подмножеств класса Y.)
3. Рассмотрим в качестве ? (X, Y) формулу [pic]v (X [pic] v & v [pic]
Y).
По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности,
[pic] [pic]1Z[pic]x (x [pic] Z [pic][pic]v (x [pic] v & v [pic] Y)), т.е.
существует единственный класс Z, элементами которого являются все элементы
элементов класса Y и только они.
Определение. [pic]x (x [pic] [pic](Y) [pic] [pic]v (x [pic] v & v
[pic] Y)). ([pic](Y): объединение всех элементов класса Y)
4. Пусть ? (X) есть [pic]u (X = [pic]). По теореме о существовании
классов и на основании аксиомы объемности, существует единственный класс Z
такой, что [pic]x (x [pic] Z [pic][pic]u (x = [pic])).
Определение. [pic]x (x [pic]I [pic] [pic]u (x = [pic])). (Отношение
тождества.)
Следствие. Для всякой предикативной формулы ? (X1,…,Xn, Y1,… …,
Ym)
[pic] [pic]1W( W [pic] Vn & [pic]x1…[pic]xn ([pic][pic] W [pic]
[pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Доказательство. В силу предложения 4, существует класс Z, для
которого [pic]x1…[pic]xn ([pic][pic] Z [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Очевидно, искомым классом W является класс W = Z ? Vn; его единственность
вытекает из аксиомы объемности.
Определение. Для всякой предикативной формулы ? (X1,…,Xn, Y1,… …,
Ym) через [pic]? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) обозначается класс всех n-ок [pic] ,
удовлетворяющих формуле ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)), т. е. [pic]u (u [pic] [pic]
[pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym) [pic] [pic]x1…[pic]xn (u = [pic] & ? (x1,…,xn,
Y1,… …, Ym))). Следствие оправдывает такое определение. В частности, при n
= 1 получим [pic] [pic]u (u [pic] [pic] ? (x, Y1, …, Ym) [pic] ? (u, Y1,…,
Ym)) (иногда вместо [pic]? (x1,…,xn, Y1,…, Ym) применяют запись {[pic]| ?
(x1,…,xn, Y1,…, Ym)}).
Примеры. 1. Пусть ? есть [pic][pic]Y. Обозначим [pic][pic]([pic][pic]
Y) сокращенно через [pic], тогда [pic] [pic][pic] V2 &
[pic]x1[pic]x2([pic][pic] Y [pic][pic][pic] Y). Назовем [pic] обратным
отношением класса Y.
2. Пусть ? есть [pic]v ([pic][pic] Y). Обозначим через R(Y) выражение
[pic]([pic]v ([pic][pic] Y)). Тогда [pic] [pic]u (u [pic]R(Y) [pic][pic]v
([pic][pic] Y)). Класс R(Y) называется облас
| |  скачать работу |
Аксиоматика теории множеств |
