Аксиоматика теории множеств
тью значений класса Y.
Очевидно, [pic] R(Y) = D([pic]).
Заметим, что аксиомы В1 — В7 являются частными случаями теоремы о
существовании классов, т. е. предложения 4. Иными словами, вместо того,
чтобы выдвигать предложение 4 в качестве схемы аксиом, можно с тем же
результатом ограничиться лишь некоторым конечным числом его частных
случаев. Вместе с тем, хотя предложение 4 и позволяет доказывать
существование большого числа самых разнообразных классов, нам, однако,
ничего еще не известно о существовании каких-либо множеств, кроме самых
простых множеств таких, как 0, {0}, {0, {0}}, {{0}} и т. д. Чтобы
обеспечить существование множеств более сложной структуры, введем
дальнейшие аксиомы.
А к с и о м а U. (Аксиома объединения.)
[pic]x[pic]y[pic]u (u [pic] y [pic] [pic]v (u [pic] v & v [pic] x)).
Эта аксиома утверждает, что объединение [pic](х) всех элементов множества х
является также множеством, т. е. [pic] [pic]x (M([pic](х))). Множество и
[pic](х) обозначают также через и [pic]v.
Средством порождения новых множеств из уже имеющихся является
образование множества всех подмножеств данного множества.
А к с и о м а W. (Аксиома множества всех подмножеств.)
[pic]x[pic]y[pic]u (u [pic] y [pic] u [pic] x).
Эта аксиома утверждает, что класс всех подмножеств множества х есть
также множество; его будем называть множеством всех подмножеств множества
х. В силу этой аксиомы, [pic] [pic]x (M(P (х))).
Примеры.
[pic] P (0) = {0}.
[pic] P ({0}) = {0, {0}}.
[pic] P ({0, {0}}) = {0, {0}, {0, {0}}, {{0}}}.
Значительно более общим средством построения новых множеств является
следующая аксиома выделения.
А к с и о м а S.
[pic]x[pic]Y [pic]z[pic]u (u [pic] z [pic] u [pic] x & u [pic] Y).
Таким образом, для любого множества х и для любого класса Y
существует множество, состоящее из элементов, общих для х и Y.
Следовательно, [pic] [pic]x[pic]Y (M (x ? Y)), т. е. пересечение множества
с классом есть множество.
Предложение 5. [pic] [pic]x[pic]Y (Y [pic] x [pic] M (Y)) (т. е.
подкласс множества есть множество).
Доказательство. [pic] [pic]x (Y [pic] x [pic]Y ? x = Y) и [pic]
[pic]x (M (Y ? x)).
Так как всякая предикативная формула A(у) порождает соответствующий
класс (предложение 4), то из аксиомы S следует, что для любого множества х
класс всех его элементов, удовлетворяющих данной предикативной формуле
A(у), есть множество.
Однако для полного развития теории множеств потребуется аксиома,
более сильная, чем аксиома S. Введем предварительно несколько определений.
Определения
Un (X) означает [pic]x[pic]y[pic]z ([pic] [pic] X & [pic]
[pic] X [pic] y = z).
(X однозначен.)
Fnc (X) означает X [pic] V2 & Un (X). (X есть функция.)
Y 1 X означает X ? (Y [pic]V). (Ограничение Х областью Y.)
Un1 (X) означает Un (X) & Un ([pic]). (X взаимно однозначен.)
X‘Y [pic]
Если существует единственное z такое, что [pic] [pic] X, то z = X‘y;
в противном случае X‘y = 0. Если Х есть функция, а у — множество из
области определения X, то X‘y есть значение этой функции, примененной к у
(В дальнейшем будем по мере необходимости вводить новые функциональные
буквы и предметные константы, как только будет ясно, что соответствующее
определение может быть обосновано теоремой о единственности. В настоящем
случае происходит введение некоторой новой функциональной буквы h с
сокращенным обозначением Х‘Y вместо h (X, Y)).
X‘‘Y = R(Y 1 X). (Если Х есть функция, то X‘‘Y есть область значений
класса X, ограниченного областью Y.)
А к с и о м а R. (Аксиома замещения.)
[pic]x (Un (X) [pic] [pic]y[pic]u (u [pic] y [pic] [pic]v ([pic][pic]
X & v [pic] X))).
Аксиома замещения утверждает, что если класс Х однозначен, то класс
вторых компонент тех пар из X, первые компоненты которых принадлежать,
является множеством (эквивалентное утверждение: M(R (x 1X))) Из этой
аксиомы следует, что если Х есть функция, то область значений результата
ограничения Х посредством всякой области, являющейся множеством, также есть
множество.
Следующая аксиома обеспечивает существование бесконечных множеств.
А к с и о м а I. (Аксиома бесконечности.)
[pic]x (0 [pic] x & [pic]u (u [pic] x [pic] u [pic] {u} [pic] x)).
Аксиома бесконечности утверждает, что существует такое множество х,
что 0 [pic] x, и если и [pic] x, то и [pic]{и} также принадлежит х. Для
такого множества х, очевидно, {0} [pic] x, {0, {0}} [pic] x, {0, {0}, {0,
{0}}} [pic] x и т. д. Если теперь положим 1 = {0}, 2 = {0, 1}, … , n = {0,
1, … , n – 1}, то для любого целого п ? 0 будет выполнено п [pic] х, и при
этом 0 ? 1, 0 ? 2, 1 ? 2, 0 ? 3, 1 ? ? 3, 2 ? 3, …
Список аксиом теории NBG завершен. Видно, что NBG имеет лишь конечное
число аксиом, а именно: аксиому Т (объемности), аксиому Р (пары), аксиому N
(пустого множества), аксиому S (выделения), аксиому U (объединения),
аксиому W (множества всех подмножеств), аксиому R (замещения), аксиому I
(бесконечности) и семь аксиом существования классов В1—В7.
Убедимся теперь в том, что парадокс Рассела невыводим в NBG. Пусть Y
= [pic](x [pic] x) ,т. е. [pic]х (х [pic] Y [pic] х [pic] х). (Такой класс
Y существует, в силу теоремы о существовании классов (предложение 4), так
как формула х [pic] х предикативна.) В первоначальной, т. е. не
сокращенной, символике эта последняя формула записывается так: [pic]X (M(X)
[pic] (X [pic] Y [pic] X [pic] X)). Допустим M(Y). Тогда Y [pic] Y [pic] Y
[pic] Y, что, в силу тавтологии (A [pic][pic] A) [pic]A & & [pic] A, влечет
Y [pic] Y [pic] Y [pic] Y. Отсюда по теореме дедукции получаем
[pic] M(Y)[pic](Y [pic] Y [pic] Y [pic] Y), а затем, в силу тавтологии (B
[pic] (A & [pic] A))[pic][pic] B , получаем и [pic] М(Y). Таким образом,
рассуждения, с помощью которых обычно выводится парадокс Рассела, в теории
NBG приводят всего лишь к тому результату, что Y есть собственный класс, т.
е. не множество. Здесь имеем дело с типичным для теории NBG способом
избавления от обычных парадоксов (например, парадоксов Кантора и Бурали-
Форти).
Определения
X Irr Y означает [pic]y (y [pic]Y [pic][pic] [pic] X) & Rel (X).
(X есть иррефлексивное отношение на Y.)
X Tr Y означает Rel (X) & [pic]u[pic]v[pic]w (u[pic]Y & v[pic]Y &
w[pic]Y &
& [pic][pic]X &[pic][pic]X & X [pic][pic][pic]X).
(X есть транзитивное отношение на Y.)
X Part Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y).
(X частично упорядочивает Y.)
X Con Y означает Rel(X) & [pic]u[pic]v (u[pic]Y & v[pic]Y & u ? v
[pic][pic][pic]
[pic] X [pic] [pic] [pic] X).
X Tot Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y) & (X Con Y).
(X упорядочивает Y.)
X We Y служит обозначением для Rel(X) & (X Irr Y) & [pic]Z (Z[pic]Y &
& Z ? 0 [pic][pic]y (y [pic] Z & [pic]v (v [pic] Z & v ?
y [pic][pic] [pic] X &
& [pic] [pic] X))).
(X вполне упорядочивает Y, т. е. отношение Х иррефлексивно на Y, и
всякий непустой подкласс класса Y имеет наименьший в смысле отношения Х
элемент.)
§2. Аксиома выбора. Лемма Цорна.
Аксиома выбора является одним из самых знаменитых и наиболее
оспариваемых утверждений теории множеств.
Следующие формулы эквивалентны:
А к с и о м а в ы б о р а (АС): Для любого множества х существует
функция f такая, что для всякого непустого подмножества у множества х
f‘ y [pic] y (такая функция называется в ы б и р а ю щ е й ф у н к ц и е й
для х).
М у л ь т и п л и к а т и в н а я а к с и о м а (Mult): Для любого
множества х непустых и попарно непересекающихся множеств, существует
множество у (называемое в ы б и р а ю щ и м м н о ж е с т в о м для х),
которое содержит в точности по одному элементу из каждого множества,
являющегося элементом х.
[pic]u (u [pic] x [pic] u ? 0 & [pic]v (v [pic] x & v ? u [pic]v ? u
= 0))[pic]
[pic][pic]y[pic]u (u [pic] x [pic][pic]1w (w [pic] u ? y)).
П р и н ц и п в п о л н е у п о р я д о ч е н и я (W. O.): Всякое
множество может быть вполне упорядочено. [pic]x [pic]y (y We x).
Т р и х о т о м и я (Trich): [pic]x[pic]y (x [pic] y[pic] y [pic] x).
Л е м м а Ц о р н а (Zorn): Если в частично упорядоченном множестве
х всякая цепь (т. е. всякое упорядоченное подмножество) имеет верхнюю
грань, то в х существует максимальный элемент.
[pic]x[pic]y ((y Part x) & [pic]u (u [pic] x & y Tot u [pic][pic]v (v [pic]
x &[pic]w (w [pic] u [pic]w =
= v [pic] [pic] [pic] y))) [pic] [pic]v (v [pic] x &[pic]w (w [pic] x
[pic][pic] [pic] y))).
Доказательство.
1. [pic] (W. O.) [pic]Trich. Пусть даны множества х и у. Согласно (W.
O.), х и у могут быть вполне упорядочены. Поэтому существуют
| |  скачать работу |
Аксиоматика теории множеств |
