Аксиоматика теории множеств
такие
порядковые числа ? и ?, что х [pic] ? и y [pic] ?. Но так как ? [pic] ?
или ? [pic] ?, то либо x [pic] y, либо y [pic] x.
2. [pic] Trich [pic] (W. O.). Пусть дано множество х. Согласно
теореме Хартогса, существует такое порядковое число ?, которое не
равномощно никакому подмножеству множества х. Тогда, в силу Trich, х
равномощно некоторому подмножеству у порядкового числа ?, и вполне
упорядочение Еу множества у порождает некоторое вполне упорядочение
множества х.
3. [pic] (W. O.) [pic] Mult. Пусть х есть некоторое множество
непустых, попарно непересекающихся множеств. Согласно (W. O.), существует
отношение R, вполне упорядочивающее множество [pic](х). Следовательно,
существует такая определенная на х функция f, что f‘u для любого и [pic] х
есть наименьший относительно R элемент и. (Заметим, что и [pic] [pic](х).)
4. [pic] Mult [pic]AC. Для любого множества х существует функция g
такая, что если и есть непустое подмножество х, то g‘и = u [pic]{и}. Пусть
х1 —область значении функции g. Легко видеть, что х1 является множеством
непустых попарно непересекающихся множеств. На основании Mult, для х1
существует выбирающее множество у. Отсюда, если 0 ? u и u [pic] х, то
и [pic]{и} [pic] х1 и у содержит и притом единственный
элемент[pic] из и [pic]{и}. Функция f‘ u = v является искомой выбирающей
функцией для х.
5. [pic] АС [pic]Zorn. Пусть у частично упорядочивает непустое
множество х таким образом, что всякая y-цепь в х имеет в х верхнюю грань.
На основании АС, для х существует выбирающая функция f. Рассмотрим
произвольный элемент b множества х, и по трансфинитной индукции определим
функцию F такую, чтобы выполнялось F‘0 = b и F‘? = f‘u для любого ?, где u
есть множество всех таких верхних граней v множества F‘‘ ? относительно
упорядочения у, что v [pic] х и v [pic] F‘‘ ?. Пусть ? есть наименьшее
порядковое число, которому соответствует пустое множество верхних граней v
множества F‘‘ ? относительно упорядочения v, принадлежащих x и не
принадлежащих F‘‘ ?. (Порядковые числа, обладающие таким свойством,
существуют; в противном случае функция F была бы взаимно однозначной с
областью определения Оп и с некоторым подмножеством множества х в качестве
области значений, откуда по аксиоме замещения R следовало бы, что Оп есть
множество.) Пусть g = ? 1 F. Функция g взаимно однозначна и что если ? <0
? <0 ?, то [pic]g‘?, g‘?[pic][pic] y. Поэтому множество g‘‘ ?
является y-цепью в x. Согласно условию, и x существует верхняя грань w
множества g‘‘ ?. Так как множество верхних граней множества F‘‘ ? (= g‘‘
?), не содержащихся в g‘‘ ?, пусто, то w [pic] g‘‘ ?, и, следовательно, w
является единственной верхней гранью множества g‘‘ ? (ибо всякое множество
может содержать в себе не более одной своей верхней грани). Отсюда следует,
что w есть максимальный относительно упорядочения y элемент множества х.
(Действительно, если [pic][pic]y и z[pic]х, то z должно быть
верхней гранью g‘‘ ?, что невозможно.)
6. [pic] Zorn [pic](W. O.). Пусть z есть множество, а X есть класс
всех взаимно однозначных функций f таких, что D(f)[pic]Оп и R(f)[pic]z. Из
теоремы Хартогса следует, что X есть множество. Очевидно также, что 0 [pic]
X. Отношение [pic] частично упорядочивает X. Каковы бы ни были две функции,
принадлежащие одной и той же цени в X, одна из них является продолжением
другой. Поэтому для любой цепи в Х объединение всех принадлежащих ей
функций есть снова взаимно однозначная функция, принадлежащая той же цепи.
Следовательно, на основании Zorn, в X имеется максимальный элемент g,
представляющий собой взаимно однозначную функцию, определенную на некотором
порядковом числе я и принимающую значения из z. Допустим, что z - g‘‘
? ? 0. Пусть b[pic] z - g‘‘ ?, и положим f = g[pic]{[pic]}. Тогда f [pic]X
и g[pic]f, что противоречит максимальности g. Следовательно, g‘‘ ?
= z, т. е. ? [pic] z. Посредством функции g отношение Е?, вполне
упорядочивающее множество ?, преобразуется в некоторое отношение, вполне
упорядочивающее z.
Заключение
Система аксиом теории множеств была создана для решения задачи
обоснования базовых положений современной математики. Таким образом
существующие разделы математики можно считать a priori непротиворечивыми,
поскольку все их доказанные высказывания логически могут быть сведены к
аксиомам. В этом отношении аксиоматика выполнила свое предназначение.
Список литературы
1. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1984.
2. Ляпин Е. С. Полугруппы. – М.: Физматгиз, 1960.
3. Стол Роберт Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. Пер. с
англ. Ю.А. Гастаева и И.Х. Шмаина. Под ред. Ю.А. Шихановича. М.:
«Просвещение», 1968.
[pic]
| | скачать работу |
Аксиоматика теории множеств |