Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Аксиоматика теории множеств

такие
порядковые числа ? и ?, что х [pic] ?  и  y [pic]  ?. Но так как ?  [pic]  ?
или ? [pic] ?, то либо x [pic] y, либо y [pic] x.
       2. [pic] Trich [pic]  (W.  O.).  Пусть  дано  множество  х.  Согласно
теореме  Хартогса,  существует  такое  порядковое  число   ?,   которое   не
равномощно никакому  подмножеству  множества  х.  Тогда,  в  силу  Trich,  х
равномощно  некоторому  подмножеству  у  порядкового  числа  ?,   и   вполне
упорядочение  Еу  множества  у  порождает  некоторое   вполне   упорядочение
множества х.
       3. [pic] (W.  O.)  [pic]  Mult.  Пусть  х  есть  некоторое  множество
непустых, попарно непересекающихся множеств. Согласно  (W.  O.),  существует
отношение  R,  вполне  упорядочивающее  множество  [pic](х).  Следовательно,
существует такая определенная на х функция f, что f‘u для любого и  [pic]  х
есть наименьший относительно R элемент и. (Заметим, что и [pic] [pic](х).)
       4. [pic] Mult [pic]AC. Для любого множества х  существует  функция  g
такая, что если и есть непустое подмножество х, то g‘и = u  [pic]{и}.  Пусть
х1 —область значении функции g. Легко видеть,  что  х1  является  множеством
непустых попарно  непересекающихся  множеств.  На  основании  Mult,  для  х1
существует выбирающее множество у. Отсюда, если 0  ?  u  и  u  [pic]  х,  то
            и  [pic]{и}  [pic]  х1   и  у  содержит  и  притом  единственный
элемент[pic] из и [pic]{и}. Функция f‘ u =  v  является  искомой  выбирающей
функцией для х.
       5. [pic]  АС  [pic]Zorn.  Пусть  у  частично  упорядочивает  непустое
множество х таким образом, что всякая y-цепь в х имеет в  х  верхнюю  грань.
На  основании  АС,  для  х  существует  выбирающая  функция  f.   Рассмотрим
произвольный элемент b множества х, и по  трансфинитной  индукции  определим
функцию F такую, чтобы выполнялось F‘0 = b и F‘? = f‘u для любого ?,  где  u
есть множество всех таких верхних граней  v  множества  F‘‘  ?  относительно
упорядочения у, что v [pic] х  и  v [pic] F‘‘ ?.  Пусть  ?  есть  наименьшее
порядковое число, которому соответствует пустое множество верхних  граней  v
множества  F‘‘  ?  относительно  упорядочения  v,  принадлежащих  x   и   не
принадлежащих  F‘‘  ?.  (Порядковые  числа,  обладающие   таким   свойством,
существуют; в противном случае функция  F  была  бы  взаимно  однозначной  с
областью определения Оп и с некоторым подмножеством множества х  в  качестве
области значений, откуда по аксиоме замещения R следовало бы,  что  Оп  есть
множество.) Пусть  g = ? 1 F. Функция g взаимно однозначна и что если  ?  <0
? <0 ?, то           [pic]g‘?, g‘?[pic][pic]  y.  Поэтому  множество  g‘‘  ?
является y-цепью в x. Согласно условию,  и  x  существует  верхняя  грань  w
множества g‘‘ ?. Так как множество верхних граней множества  F‘‘  ?  (=  g‘‘
?), не содержащихся в g‘‘ ?, пусто, то  w [pic] g‘‘ ?, и,  следовательно,  w
является единственной верхней гранью множества g‘‘ ? (ибо  всякое  множество
может содержать в себе не более одной своей верхней грани). Отсюда  следует,
что w есть максимальный относительно упорядочения  y  элемент  множества  х.
(Действительно, если           [pic][pic]y  и  z[pic]х,  то  z  должно  быть
верхней гранью g‘‘ ?, что невозможно.)
       6. [pic] Zorn [pic](W. O.). Пусть z есть множество, а  X  есть  класс
всех взаимно однозначных функций f таких, что D(f)[pic]Оп и  R(f)[pic]z.  Из
теоремы Хартогса следует, что X есть множество. Очевидно также, что 0  [pic]
X. Отношение [pic] частично упорядочивает X. Каковы бы ни были две  функции,
принадлежащие одной и той же цени в X, одна  из  них  является  продолжением
другой. Поэтому для  любой  цепи  в  Х  объединение  всех  принадлежащих  ей
функций есть снова взаимно однозначная функция, принадлежащая той  же  цепи.
Следовательно, на основании  Zorn,  в  X  имеется  максимальный  элемент  g,
представляющий собой взаимно однозначную функцию, определенную на  некотором
порядковом числе я и принимающую значения из z. Допустим, что       z -  g‘‘
? ? 0. Пусть b[pic] z - g‘‘ ?, и положим f = g[pic]{[pic]}. Тогда  f  [pic]X
и          g[pic]f, что противоречит максимальности g. Следовательно, g‘‘  ?
= z, т. е.         ? [pic] z. Посредством функции  g  отношение  Е?,  вполне
упорядочивающее множество ?, преобразуется  в  некоторое  отношение,  вполне
упорядочивающее z.



                                 Заключение
       Система аксиом  теории  множеств  была  создана  для  решения  задачи
обоснования  базовых  положений  современной   математики.   Таким   образом
существующие разделы математики можно считать  a  priori  непротиворечивыми,
поскольку все их доказанные высказывания  логически  могут  быть  сведены  к
аксиомам.  В этом отношении аксиоматика выполнила свое предназначение.



                              Список литературы
     1. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1984.
     2. Ляпин Е. С. Полугруппы. – М.: Физматгиз, 1960.
     3. Стол Роберт Р. Множества. Логика. Аксиоматические  теории.  Пер.  с
        англ. Ю.А. Гастаева и И.Х. Шмаина. Под ред.  Ю.А.  Шихановича.  М.:
        «Просвещение», 1968.
      [pic]

1234
скачать работу

Аксиоматика теории множеств

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ